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【优化方案】2012高中数学 第2章2.5.2数列求和习题课课件 新人教A版必修5


2.5.2 数列求和习题课

2. 5.2 数 列 求 和 习 题 课

课堂互动讲练

知能优化训练

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考点突破 公式法
如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适 当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列, 从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解.

例1

(2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为

零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数 列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2an}的前n项和Sn. 【思路点拨】 利用a1,a3,a9成等比数列,可

求公差d,从而得出an.

【解】

(1)由题设知公差 d≠0,

1+2d 1+8d 由 a1=1, 1, 3, 9 成等比数列, a a a 得 = , 1 1+2d 解得 d=1 或 d=0(舍去). 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. n (2)由(1)知 2an=2 ,由等比数列前 n 项和公式, 2?1-2n? 2 3 n n+1 得 Sn=2+2 +2 +…+2 = =2 -2. 1-2

分组法 如果一个数列的每一项都是由几个独立的项组合 而成,并且各独立项可组成等差或等比数列,则 可利用其求和公式分别求和,从而得到原数列的 和.

例2 求数列 1 ,2 ,3 ,…,(n+

1 2

1 4

1 8

1 n),…的前 2

n 项和.

【思路点拨】

1 数列{an}:an=n+ n可看作是由 2

1 等差数列{n}与等比数列{ n}对应项求和得到的, 2 1 因此,可拆分成两个数列:{n},{ n}分别求和(用 2 公式),再将两和相加即得.

1 1 1 1 【解】 Sn=1 +2 +3 +…+(n+ n) 2 4 8 2 1 1 1 1 =(1+2+3+…+n)+( + + +…+ n) 2 4 8 2 n?n+1? 1 = +1- n. 2 2

倒序相加法
若所给数列{an}中与首、末项等距的两项之和相 等,如何求此数列的前n项和呢? 方法:把所给数列按下标从小到大的顺序书写和

的等式,再按下标从大到小的顺序书写和的等式,
再把这两个等式左、右两边相加即得数列的前n

项和.此种方法通称为倒序相加法.例如:等差
数列前n项和公式的推导方法.

12 22 32 例3 求 和 : 2 2+ 2 2+ 2 2+…+ 1 +10 2 +9 3 +8 10 2 2. 10 +1
【思路点拨】 由于数列的第k项与倒数第k项的
2

和为常数1,故宜采用倒序相加法求和.

【解】
2

12 22 32 设 S= 2 2+ 2 2+ 2 2 +…+ 1 +10 2 +9 3 +8

10 2 2, 10 +1 102 92 82 12 则 S= 2 2+ 2 2+ 2 2+…+ 2 2, 1 +10 2 +9 3 +8 10 +1 两式相加,得 2S= 1+1+…+1 10个=10, 所以 S=5.

裂项相消法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在
求和时常用“裂项法”,分式的求和多利用此

法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消
时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪

些项.常见的拆项公式有:

1 1 1 1 ① = ·- ( ); k n n+k n?n+k? ②若{an}为等差数列,公差为 d, 1 1 1 1 则 =d(a - ). an·n+1 a an+1 n
例4 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,

{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;

1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 an-1 T n.
【思路点拨】 由a3,a5+a7的值可求a1,d,利

用公式可得an,Sn.对于{bn},利用裂项变换,便

可求得Tn.

【解】

(1)设等差数列{an}的公差为 d,

因为 a3=7,a5+a7=26,
?a1+2d=7, ?a1=3, 所以? 解得? ?2a1+10d=26, ?d=2.

所以 an=3+2(n-1)=2n+1, n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2

(2)由(1)知 an=2n+1, 1 1 1 1 所以 bn= 2 = = · 2 an-1 ?2n+1? -1 4 n?n+1? 1 1 1 = ·- ( ), 4 n n+1 1 1 1 1 1 1 所以 Tn= · (1- + - +…+n- ) 4 2 2 3 n+1 1 1 n = · (1- )= . 4 n+1 4?n+1? n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1?

错位相减法

对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中
{an}是等差数列,{bn}是等比数列),可采用错位

相减法.具体解法是:Sn乘以某一个合适的常
数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后,与Sn错

位相减,使其转化为等比数列问题来解.

例5

(2010年高考课标全国卷改编)设数列{an}

满足a1=2,a4=512. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 减法求Sn. 利用公式求得an,再利用错位相

【解】 (1)因 a1=2,a4=512,∴q=4, n-1 2n-1 ∴an=2×4 =2 . 2n-1 (2)由 bn=nan=n· 2 知 3 5 2n-1 Sn=1· 2+2· +3· +…+n· ,① 2 2 2 2 3 5 7 2n+1 从而 2 ·n=1· +2· +3· +…+n· .② S 2 2 2 2 2 3 5 2n- 1 ① -②得(1-2 )Sn=2+2 +2 +…+2 - 2n+1 n· , 2 1 2n+1 即 Sn= [(3n-1)2 +2]. 9

方法感悟 1.注意对以下求和方式的理解 (1)倒序相加法用的时候有局限性,只有与首、末 两项等距离的两项之和是个常数时才可以用. (2)裂项相消法用得较多,一般是把通项公式分解 为两个式子的差,再相加抵消.在抵消时,有的 是依次抵消,有的是间隔抵消,特别是间隔抵消 时要注意规律性. (3)错位相减法是构造了一个新的等比数列,再用 公式法求和.

2.常见求和类型及方法 (1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求 解; (2)an=a·n-1,利用等比数列前n项和公式直接求 q 解(但要注意对q要分q=1与q≠1两种情况进行讨论); (3)an=bn±cn,数列{bn},{cn}是等比数列或等差 数列,采用分组转化法求{an}前n项和; (4)an=bn·n,{bn}是等差数列,{cn}是等比数列, c 采用错位相减法求{an}前n项和; (5)an=f(n)-f(n-1),采用裂项相消法求{an}前n项 和; (6)an-k+ak=cbn,可考虑采用倒序相加法求和.


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