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空间几何体的结构及其三视图和直观图


第七章 立体几何初步 第一节 空间几何体的结构及其三视图 和直观图

1.多面体的结构特征
多面体 棱 柱 棱 锥 结 构 特 征

相等 ,上下底面是_____ 平行 平行 且_____ 棱柱的侧棱都_____
全等 的多边形 且_____ 棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个 公共顶点 的三角形 _________




平行于 棱锥底面的平面截棱锥得到, 棱台可由_______
平行 且_____ 相似 的多边形 其上下底面是_____

2.旋转体的结构特征
旋转体 圆柱 圆锥 结 构 特 征 矩形 绕其任意一边旋转得到 圆柱可由_____

直角边 旋转得到 圆锥可以由直角三角形绕其_______
圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底

圆台

平行 于圆锥底面的平 中点连线旋转得到,也可由_____

面截圆锥得到


直径 旋转得到 球可以由半圆或圆绕_____

3.三视图 正视图 、_______ 侧视图 、_______. 俯视图 (1)名称:几何体的三视图有:_______ (2)画法: ①画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线;

正前 方、 ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_____ 正左 方、_____ 正上 方观察几何体得到的正投影图. _____
(3)规则: ①画法规则:长对正、高平齐、宽相等; ②摆放规则:侧视图在正视图的右侧,俯视图在正视图的下方.

4.空间几何体的直观图的画法
斜二测 画法来画,其规则是: 空间几何体的直观图常用_______

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、
45°(或135°) ,z′轴与x′轴和y′轴所在 y′轴的夹角为______________ 垂直 平面_____. 仍平行于坐标 (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中_____________ 轴 ,平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中长度_____ 不变 ,平行 ___

原来的一半 于y轴的线段长度在直观图中长度为___________.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.

(

)

(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ( (3)一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点, 顶点最少的一个棱台有3条侧棱.( ) )

(4)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行 于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°.( (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( ) )

【解析】(1)错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都 是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行 .

如图

,该几何体并不是棱柱.

(2)错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角 形,但不能保证三角形具有公共顶点. (3)正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最少的棱锥为 三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱. (4)错误.∠A应为45°或135°. (5)错误.正方体的三视图由于正视的方向不同 ,其三视图的形状 可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同 .

答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

1.下列结论中正确的是(

)

(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥 (B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成 的曲面所围成的几何体叫圆锥

(C)棱锥的侧棱长与底面正多边形的边长相等,则该棱锥可能
是六棱锥

(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

【解析】选D.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两 侧的两个三棱锥构成时,尽管各面都是三角形,但它不是三棱 锥,故A错误;若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋 转轴不是直角边所在直线,所得几何体就不是圆锥,故 B错误; 以正六边形为底面,则棱长必然要大于底面边长,故 C错误, 所以选D.

2.用任意一个平面截一个几何体,各截面都是圆面,则这个几何
体一定是( )

(A)圆柱
(C)球体

(B)圆锥
(D)圆柱、圆锥、球体的组合体

【解析】选C.由几何体的结构特征可知,该几何体一定是球体.

3.一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯 视图不可能是( )

【解析】选D.∵该几何体的正视图和侧视图都是正方形,∴其 可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体及底面是等腰直角 三角形且其腰长等于棱柱高的直三棱柱,但不可能是一个底面 长与宽不相等的长方体.

4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所 示的一个正方形,则原来的图形是( )

【解析】选A.由直观图的画法规则可知,平行于x轴的线段长度 不变,平行于y轴的线段长度减半.

5.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形, 则这个三棱柱的高和底面边长分别为________,________.

【解析】由三视图的画法可知,该三棱柱的高为2,底面正三 角形的高为 2 3 ,则底面边长为4. 答案:2 4

考向 1 空间几何体的结构特征 【典例1】(1)给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; ④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱 柱为直四棱柱;

⑤存在每个面都是直角三角形的四面体; ⑥棱台的侧棱延长后交于一点.

其中正确命题的序号是(
(A)①②③④

)

(B)②③④⑤

(C)③④⑤⑥

(D)①②③④⑤⑥

(2)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是

圆柱的母线;
②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是

圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确命题的序号是( (A)①② (B)②③ ) (C)①③ (D)③

【思路点拨】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义或借助常见的 几何模型作出判断.(2)根据母线的定义和性质作出判断. 【规范解答】(1)选C.①错误,因为棱柱的侧面不一定是全等的 平行四边形;②错误,必须用平行于底面的平面去截棱锥 ,才能 得到棱台;③正确,根据面面垂直的判定定理判断;④正确,因为 两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱 ,又垂直于底面;

⑤正确,如图所示,正方体AC1中的三
棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形; ⑥正确,由棱台的概念可知.因此,正 确命题的序号是③④⑤⑥. (2)选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知 ,只有③是正 确的,所以选D.

【拓展提升】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,

依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的
线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定 .

(2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误
的,只要举出一个反例即可.

【变式训练】(1)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等 腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,是假命题的 是( )

(A)等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 (B)等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

(C)等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
(D)等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

【解析】选B.因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它
的顶点在底面上的射影到底面的四个顶点的距离相等 ,故A,C正 确,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等 ,故D正 确,B不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立.

(2)下列命题中,正确的是(

)

(A)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 (B)侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 (C)侧面都是矩形的四棱柱是长方体 (D)底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是 正棱柱

【解析】选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面

多边形的形状两方面去分析,故A,C都不准确,B中对等腰三角
形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确 .

考向 2

空间几何体的三视图

【典例2】(1)(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均

如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(

)

(2)(2013·深圳模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正

方形,PC与底面垂直.若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长
为1的等腰直角三角形,则该四棱锥中最长的棱的长度为( )

(A)1

(B) 2

(C) 3

(D)2

【思路点拨】(1)可根据正视图与侧视图相同逐项排除. (2)根据三视图的画法求出四棱锥P-ABCD中最长棱的长度. 【规范解答】(1)选C.由于该几何体的正视图和侧视图相同, 且上部分是一个矩形,矩形中间无虚线.因此俯视图不可能是C. (2)选C.在四棱锥P-ABCD中,连接AC,由正视图和侧视图可得 PC=BC=CD=1,故 AC ? 2, 最长的棱为 PA ? PC2 ? AC2 ? 3.

【互动探究】若本例题(2)中的四棱锥P-ABCD为正四棱锥,且
正视图和侧视图是边长为1的正三角形,求该四棱锥的侧棱长. 【解析】如图,由条件知,正四棱锥的底边AB=1,高PO= 3 .
2

则在正方形ABCD内,OB=

2 AB= 2 , 2 2

故侧棱长 PB ? PO2 ? OB2 ? 3 ? 2 ? 5 .
4 4 2

【拓展提升】三视图的画法技巧 (1)画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正 左方和正上方观察,它的轮廓线是什么,然后再去画图 . (2)对于简单几何体的组合体的三视图, ①要确定正视、侧视、俯视的方向; ②要注意组合体是由哪些几何体组成,弄清楚它们的生成方式; ③注意它们的交线的位置.

【变式备选】(1)已知正三
棱柱的侧棱长与底面边长都

是2,给出以下a,b,c,d四种
不同的三视图,其中可以正

确表示这个正三棱柱的三视
图的有( )

(A)1个
(C)3个

(B)2个
(D)4个

【解析】选D.根据正三棱柱的位置,以及画三视图的规则,容易
得出4种不同的三视图都正确.

(2)一个几何体的正视图和俯视图如图所示,则其侧视图的面 积为( )

(A)7

(B) 13
2

(C)6

(D) 15
2

【解析】选B.由分析可知其侧视图
如图所示,其上面是一个两直角边 均为1的直角三角形,则侧视图的面 积为 2 ? 3 ? 1 ? 1? 1 ? 13 .
2 2

考向 3

空间几何体的直观图

【典例3】(1)如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出

它的直观图.

(2)如图所示,△A′B′C′是△ABC的直观图,且△A′B′C′ 是边长为a的正三角形,求△ABC的面积.

【思路点拨】(1)先由三视图确定几何体的结构,然后画出直
观图. (2)根据斜二测画法,作出△ABC的边AB上的高在平面直观图中 所对应的线段,并用平面几何的知识求其长度即可求得原 △ABC的面积.

【规范解答】(1)该几何体类似棱台,先画底面矩形,中心 轴,然后画上底面矩形,连线即成. 画法:如图,先画轴,依次画x′,y′,z′轴,三轴相交于 点O′,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°.在z′轴 上取O′O″=8 cm,再画x″,y″轴. 在坐标系x′O′y′中作直观图ABCD, 使得AD=20 cm,AB=8 cm;在坐标系 x″O″y″中作直观图A1B1C1D1,使

得A1D1=12 cm,A1B1=4 cm.
连接AA1,BB1,CC1,DD1,即得到所求直观图. (2)如图所示,△A′B′C′是边长为a的正三角形, 作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′,则D′到x′轴的 距离为
3 , a 2 6 a, 2

∵∠D′A′B′=45°, ∴A′D′=

由斜二测画法的法则知,
在△ABC中,AB=A′B′=a,AB边上的高是A′D′的二倍, 即为 6a,∴S△ABC=1 a ? 6a ? 6 a 2 .
2 2

【互动探究】本例题(2)若改为“已知△ABC是边长为a的等边 三角形,求其直观图△A′B′C′的面积”,则如何求解? 【解析】如图所示,△A′B′C′为△ABC的直观图, O′为A′B′的中点. 由直观图的画法知A′B′=a,
1 3a 3a O?C? ? ? ? , 2 2 4 1 ∴S ? ?A?B??(O?C?? sin 45?) ?A ? B? C ? 2 1 3a 2 6 2 ? ?a ?( ? )? a . 2 4 2 16

2 6a 即边长为a的等边三角形的直观图的面积为 . 16

【拓展提升】直观图的画法 直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐 标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度,然后运用“水平长 不变,垂直长减半”的方法确定出点,最后连线即得直观图. 【提醒】画直观图时注意被遮挡的部分画成虚线.

【变式备选】如图,矩形O′A′B′C′
是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原 图形是( (A)正方形 (C)菱形 ) (B)矩形 (D)一般的平行四边形

【解析】选C.将直观图还原得? OABC,
∵O′D′= 2 O′C′= 2 2 (cm),

∴OD=2O′D′= 4 2 (cm),
∵C′D′=O′C′=2(cm),

∴CD=2(cm),
∴ OC ? CD2 ? OD2 ? 22 ? (4 2)2 ? 6(cm), ∴OA=O′A′=6(cm)=OC, 故原图形为菱形.

【易错误区】三视图画法中的易错点 【典例】(2012·陕西高考)将正方体(如图1所示)截去两个三 棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )

【误区警示】本题易出现的错误为实虚不分致误,不能正确区 别哪些棱为可见,哪些棱为不可见,从而画错实虚线导致错误.

【规范解答】选B. 图2所示的几何体的侧视图可由点A,D,
D1,B1确定其外形为正方形,判断的关键是两条对角线 AD1和B1C 是一实一虚,且要把AD1和B1C区别开来,故选B.

【思考点评】画三视图应注意的问题
(1)在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮 挡的部分的轮廓线用虚线表示出来 ,即“眼见为实,不见为虚”. (2)在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”.

1.(2013·郑州模拟)如图1,已知E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1D1,B1C1,CC1,DD1的中点,平面EFGH将正方体截 去一个三棱柱后,得到图2所示的几何体,则此几何体的正视图 和侧视图是( )

【解析】选C.由三视图的画法规则可知,在正视图中HG应为虚线.

2.(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同,大小均

相等,那么这个几何体不可以是(
(A)球 (B)三棱锥 (C)正方体

)
(D)圆柱

【解析】选D. 圆柱的三视图,分别为矩形,矩形,圆,不可
能三个视图都一样,而球的三视图都是圆,三棱锥的三视图可以

都是三角形,正方体的三视图可以都是正方形.

3.(2013·宿州模拟)已知一个几何体的三视图如图所示,则此

几何体的组成为(

)

(A)上面为棱台,下面为棱柱 (B)上面为圆台,下面为棱柱 (C)上面为圆台,下面为圆柱 (D)上面为棱台,下面为圆柱 【解析】选C.由三视图可知此几何体的上面为圆台,下面为圆 柱,故选C.

4.(2013·广州模拟)如图,三棱柱
ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1A= AB=2,BC=1,AC= 5 ,若规定正视方 向垂直平面ACC1A1,则此三棱柱的 侧视图的面积为( (A) 4 5
5

)

(B) 2 5 (D)2

(C)4

【解析】选A.依题意,注意到AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,点B到 直线AC的距离等于 AB?BC ? 2 ?1 ? 2 5 , 所以此三棱柱的侧视
AC 5 5

图的面积为 2 ? 2 5 ? 4 5 , 故选A.
5 5

5.(2013·长沙模拟)如图,一平面图形
的直观图是一个等腰梯形OABC,且该梯 形的面积为 2 ,则原图形的面积为( (A)2 (B) 2 (C)2 2 ) (D)4

【解析】选D.由斜二测画法知原图形仍为梯形,上、下两底 长度不变,高为直观图中梯形高的 4 倍,故原图形的面积为
2? 4 ? 4. 2

2

1.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均
为2 cm,其三视图中的俯视图如图所示, 则其侧视图的面积是( (A)4 3 cm2 (C)8 cm2 )

(B)2 3 cm2 (D)4 cm2

【解析】选A.正六棱柱的侧视图是一个 以AB长为宽,高为2 cm的矩形,AB= 2 3 cm, 所以侧视图的面积为 2 3 ? 2 ? 4 3 (cm2),故选A.

2.一个几何体的三视图如图所示,其
正视图的面积等于8,俯视图是一个面 积为 4 3 的正三角形,则其侧视图的 面积为( (A) 4 3 (C)8 2 ) (B) 8 3 (D)4

【解析】选A.由三视图知该几何体是正三棱柱,设其底面边
长为a,高为h,则其正视图为矩形,矩形的面积S1=ah=8,俯视 图为边长为a的正三角形,三角形的面积 S ? 3 a 2 ? 4 3, 则 2 a=4,h=2,而侧视图为矩形,底边为 3 a ,高为h,故侧视图的面 积为 S ? 3 ah ? 4 3.
2 2 4


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