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37、2007年全国高中数学联合竞赛江苏省预赛(含答案)


2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题

2012 年 6 月 27 日

2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y ? sin x ,则(
2

).

(B) 有最小正周期为 ? ? (C) 有最小正周期为 (D

) 无最小正周期 2 2.关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值 (A) 有最小正周期为 2? 的和是( ). (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) ? 1

3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线 的三点是( ). (A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D 4.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( ). (B) ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? ? ? n,m ? n (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ? 2 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0, 1, 2, 5. 若 m 、 其中 ai ??1 并且 m ? n ? 636 , n ??x x ? a2 ?10 ? a1 ?10 ? a0 ? , 则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为( (A) 60 个 (B) 70 个 6 . 已 知 f ( x)? x? 1 ? x ? 2 ? ) (C) 90 个 ). (C)4 个 (D) 120 个 (A) ? ? ? , ?

?x ? 2 0 0 7 ?x ? 1 ? x ?2 ?

x ?

? 2( 0 0x 7? R ) ,且

f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1), 则 a 的值有(

(A)2 个 (B)3 个 (D)无数个 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 S n 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 S 5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 8. 设 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, 1) ,它的反函数的图象经过点 (2, 8) ,则 9.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图, 则满足 f (

a ? b 等于

y

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 x 的取值范围为 2 x ? 2x ?1

O

1

10.圆锥曲线 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 10 ? | x ? y ? 3 |? 0 的离心率是 11.在 ?ABC 中,已知 tan B ?

(第 9 题)

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3 12. 设命题 P : a 2 ? a ,命题 Q : 对任何 x ? R,都有 x2 ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中有且仅有一 个成立,则实数 a 的取值范围是 ________

3 , sin C ?

1

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2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分) 13. 设不等式组 ?

2012 年 6 月 27 日

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 和直线 ?x ? y ? 0

0) 的直线 l 与曲线 C 交于 A 、 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AA1C1C , A1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. A B A1 B1

C

C1

2

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2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题 15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

2012 年 6 月 27 日

3

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2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题

2012 年 6 月 27 日

16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证 明你的结论.

4

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2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题

2012 年 6 月 27 日

2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷【参考答案】 1 1.解: y ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ,则最小正周期 T ? ? . 故选(B) . 2 2.解:方程 x 2 ? ax ? 20a 2 ? 0 的两根是 x1 ? ?4a , x2 ? 5a ,则由关于 x 的不等式
得 | x1 ? x2 | ? | 9a | ? 9 , 即 ? 1 ? a ? 1 . 故选 (C) . x2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9 , 3.解: BD ? BC ? CD ? 2 a ?4 b ? 2 AB ,所以 A、B、D 三点共线. 故选(A) . 4.解: (A)选项缺少条件 m ? ? ; (B)选项当 ? // ? , ? ? ? 时, m // ? ; (C)选项当 ? 、 ? 、 ? 两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角) , m ? ? ? 时, m ? ? ; (D)选项同时垂直 于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故选(D) . 5? 1? 4? 2? 3? 3 5.解: 由6 ? 及题设知, 个位数字的选择有 5 种. 因为 3 ? 2 ? 1 3 ? 7 ? 6 ? 10 , 故 (1) 由 3 ? 2 ? 1知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 10 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ? 10 及 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2 ? 4 ? 8 种. 于是,符合题设的不同点的个数为 5 ? (10 ? 8) ? 90 种. 故选(C) . 6. 解 : 由 题 设 知

f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ?

f ( x) 为 偶 函 数 , 则 考 虑 在 ? 1 ? x ? 1 时 , 恒 有 ? 2007) ? 2008 ? 2007 .
2

所以当 ?1 ? a 2 ? 3a ? 2 ? 1 ,且 ?1 ? a ? 1 ? 1时,恒有 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) . 由于不等式 ?1 ? a 2 ? 3a ? 2 ? 1 的解集为 为0 ? a ? 2. 因此当

3? 5 3? 5 ,不等式 ? 1 ? a ? 1 ? 1 的解集 ?a? 2 2

3? 5 . ? a ? 2 时,恒有 f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) . 故选(D) 2 ?5a1 ? 10d ? 10, ?a1 ? 2d ? 2, 7.解: 设等差数列 ?a n ? 的首项为 a1 , 公差为 d . 由题设得 ? 即 ? ?10a1 ? 45d ? ?5, ?2a1 ? 9d ? ?1, 解之得 d ? ?1. ? log a (2 ? b) ? 1, ?a1 ? 3, ?a2 ? ?2, ?(2 ? b) ? a, 8.解:由题设知 ? 化简得 ? 解之得 (舍去). ? ? 2 ? (8 ? b) ? a . ? b1 ? 1; ? b2 ? ?4. ?log a (8 ? b) ? 2,
故 a ? b 等于 4. 9.解: 因为 lg x 2 ? 6 x ? 20 ? lg ( x ? 3)2 ? 11 ? lg11 ? 1 ,所以 lg x 2 ? 6 x ? 20 ? 0 . 于是,

?

?

?

?

?

?

x?2 2x ?1 ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, ? 1 ,即 1) . x ?1 x ?1 | x ? y ?3| 10.解: 原式变形为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ?| x ? y ? 3 | , 即 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 . 所 2 以动点 ( x, y ) 到定点 (?31) , 的距离与它到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离之比为 2 .故此动点轨迹为双
由图象可知, 曲线,离心率为 2 . 11. 解 :在 ?ABC 中,由 tan B ?

3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ?


AC ? sin C ? 8 . 因为 sin B
钝 角 , 从 而

arcsin

2 2 ? 60? 3







C
5











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2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题

2012 年 6 月 27 日

2 3 1 .故 cos C ? ? . sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? ? 3 3 6 AC ? AB S?ABC ? sin A ? 8 3 ? 6 2 . 2 12.解:由 a 2 ? a 得 0 ? a ? 1 .由 x 2 ? 4ax ? 1 ? 0 对于任何 x ? R 成立,得 ? ? 16a 2 ? 4 ? 0 ,即 1 1 1 ? ? a ? .因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,故实数 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 或 B 2 2 2 1 ? a ? 1. 2
13.无 14.证: (1)设 AA1 中点为 D ,连 C 、 D . 因为 A1 B ? AB ,所以 BD ? AA1 . 因为面 ABB1 A1 ? AA1C1C ,所以 BD ? 面 AA1C1C . C 又 ?ACC1 为正三角形, AC1 ? C1 A1 ,所以 C1 D ? AA1 . 从 BC1 ? AA1 . 则 …………6 分 C1 (2) 由(1) ,有 BD ? C1D , BC1 ? CC1 , CC1 ? 面 C1 DB .设 A1 到面 ABC 的距离为 h , A

A1

1 hS?ABC ? VB ?CAC1 ? VB ?CDC1 . 3 S?C1DB 1 因为 VC ?C1DB ? CC1 ? S?C1DB ,所以 h ? . S?ABC 3
又 C1D ? BD ,且 2S ?C1DB ? C1 D ? BD ? BD 2 ? 设 ?ABC 的高为 AE , 则

A

3 . 4


B

E ,

BC 2 ? BC12 ? CC12 ? 2 BD 2 ? 1 ?

3 5 ?1 ? 2 2

1 5 3 AE ? 1 ? ? ? 4 2 8

5 3 15 ? ? . 2 8 4 3 15 15 于是有 h ? ,即 A1 到平面 ABC 的距离为 . ………………15 分 ? 5 5 15 an? 2 ? an ? 2 15. 解 : 由 题 设 , , a2 ? 0 2 a 0 ? 7 ?2 a 2 2? a5 2 ? 5分 1 2? 00 ? 00 ……… 0 0 ? . an? 2 ? an ? 2 an ? an? 2 ? 2 由 , 得 , an?3 ? 3an ? 2 3 ? an……… 1 10 ? 分 (n ? 1 ) ? ? 2? a n ?2 . ? 2S ?ABC ?
于 是



33?


a2 ?

? a1 3

1


0

a ?

? 6

1

所以 a2007=2007. 易 知 数 列 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,

, an ? n 符 合 本 题 要 A1 A2 A k B m
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求. ………………15 分 注意:猜得答案 a n ? n 或 a2007 ? 2007 ,给 2 分.
6

B2 B1

2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题

2012 年 6 月 27 日

16.解:存在直线 l ,与每个圆都有公共点. 证明如下: 如图,先作直线 l0 ,设第 i 个圆在直线 l0 上的正投影是线段 Ai Bi ,其中 Ai 、 Bi 分别是线段的左 右端点. 10 个圆有 10 个投影线段,有 10 个左端点,有 ………………5 分 10 个右端点. 因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段都有重叠的部分,设 Ak 是最右边的左端点, 则所有右端点都在 Ak 的右边,否则必有两条投影线段无重叠部分,与对应的两个 圆相交矛盾. ………………10 分 再设 Bm 是最左边的右端点,同理所有左端点都在 Bm 的左边. Ak 与 Bm 不重合,线段

Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分,过线段 Ak Bm 上某一点作直线 l0 的垂线 l ,则 l 与10
个圆都相交. ………………15 分

7

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