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第二章 牛顿运动定律


力 学

质点运动学 质点动力学 刚体力学 狭义相对论

1

三个定律

牛顿第一定律 牛顿第二定律 牛顿第三定律

三个定理

动量定理 角动量定理 动能定理
动量守恒定律 角动量守恒定律 机械能守恒定律
2

三个

守恒定律

牛顿运动定律
(Newton?s Laws of Motion)

3

本章目录
Δ §2.1 牛顿运动定律 Δ §2.2 SI单位和量纲(书§2.2 )

Δ §2.3 常见的几种力(书§2.3 )
Δ §2.4 基本的自然力(书§2.4 ) §2.5 牛顿定律应用举例

§2.6 惯性系与非惯性系

4

Δ §2.1 牛顿运动定律


第一定律(惯性定律) (First law,Inertia law) 除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。

任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态,

第一定律 定义了“惯性系”(inertial frame) 的意义: 定性给出了“力”与“惯性”的概念
惯性系:牛顿第一定律成立的参考系。 力:改变物体运动状态的原因 (并非维持 物体运动状态的原因)。
5



第二定律(Second law)
? d ? F? (mv ) dt

? F :物体所受的合外力。
m :质量(mass), 它是物体惯性大小的量
度,也称惯性质量(inertial mass)。

若m = const. , 则有:

? 物体的加速度。 a:

? ? F ? ma
6



第三定律(Third Law)

m1

· F

12

F21

·

m2

? ? F12 ? ? F21
对牛顿定律的说明:
1.牛顿定律只适用于惯性系;

而一般物体可认 2.牛顿定律是对质点而言的, 为是质点的集合, 故牛顿定律具有普遍意义。
7

牛顿会高兴的(Newton would have been pleased) 1978年发射空间飞船ISEE3, 4年后经37次点火和5次 飞近太阳而进入了一个复杂的轨道。 85年拦截了一个 彗星,86年与哈雷慧星相遇。 2012年将返回地球。 8

详细讨论牛顿第二定律
1. 数学表达式:

? ? F ? ma

牛顿第二定律只适用于质点及惯性系。 质量:描述物体惯性的物理量; ? a :相对于惯性参照系; ? F :合外力 2. 瞬时性:质点所受力与加速度同时出现,同时消失 3. 矢量性 矢量方程分解成标量方程求解

9

★ 矢量方程

分解力

标量方程
ix

?F

? F合外x ? ma x

? ? F ? ma

?F ?F

iy

? F合外y ? ma y

iz

? F合外z ? ma z

dv ? Fit ? F合外t ? mat ? m dt v2 ? Fin ? F合外n ? man ? m ?
10

4. 解决问题的步骤 隔离体、分析力、取坐标、分解力、 列方程、 求解未知力或 a x a y az
微分方程积分

x y z
5. 力学中常见的几种力 ① 重力 P ? mg ②万有引力

v x v y vz

F?

Gm1m2 r2

③弹性力 F ? ? kx ④摩擦力 f ? ? N ⑤流体阻力 f ? kv
11

§2.5 牛顿定律应用举例
例1 (0534)飞机降落时的着地速度大小 v = 90km/h,方向与地面平行,飞机 与地面间的磨擦系数 ? = 0.10 ,迎面 空气阻力为Cxv2,升力为Cyv2 (v是 飞机在跑道上的滑行速度, Cx和Cy均 为常数)。已知飞机的升阻比 k = Cy/Cx =5,求飞机从着地到停止这 段时间所滑行的距离。(设飞机刚着 地时对地面无压力)
12

解: 分析力 水平方向: 迎面空气阻力、摩擦力
竖直方向: 升力、重力、地面支持力

取坐标 水平前进方向: x 方向
竖直向上:

y 方向

13

列方程

x方向 ? ? N ? C x v ?
2

dv x ma x ? m dt

y方向 N ? C y v 2 ? mg ? ma y ? 0
★ 注意: 上两式中的 v ? 90km / h
、 它是飞机 滑行过程中任意时刻 x 方向的速度, 是v x
2 y x

N ? mg ? C v
2 x x

dv x ?? N ? C v ? m dt

dv x dx ? ? ( mg ? C v ) ? C v ? m dx dt
2 y x 2 x x

14

dv x dx ? ? ( mg ? C y v ) ? C x v ? m dx dt
2 x 2 x

条件: v x ? v0 ? 90km / h 时,
N ?0

vx

1000 2 mg ? C v ? C y ? (90 ? ) 3600
2 y 0

结果: 滑行距离 S ? 221(m)

15

例2 (0036)一条质量分布均匀的绳子,质 量为M、长度为L,一端拴在转轴上, 并以恒定角速度?在水平面上旋转。设 转动过程中绳子始终伸直不打弯,且 忽略重力,求距转轴为r处的张力T(r)

?

16

解:在距转轴为r处取质量元dm
T( r ) ? T( r ? dr ) v2 ? dm r

?

0

T( r )

dT ? ?

L

r

M 2 ? ? rdr L

M T ? (T ? dT ) ? dr ? 2 r L
dm

M ?dT ? dr ? 2 r L
r ? L时,无约束(自由端)

r

T( L ) ? 0
17

结果:

M 2 2 2 T( r ) ? ? (L ? r ) 2L

18

① 惯性系 加速度 a相对 ? 0

§2.6 惯性系和非惯性系 ?
牛顿运动定律适用的参照系;牛顿第一 定律定义的参照系。
太阳参照系 地心参照系 地面参照系

性质:所有相对于惯性系做匀速运动的参照系 也一定都是惯性系;相对于惯性系做变 速运动的参照系一定不是惯性系。
19

伽利略相对性原理(力学相对性原理):
在相互作匀速直线运动的一切惯性系 中,一切力学现象是等同的;或力学

定律在所在惯性系中都是相同的。
② 非惯性系

? a相对 ? 0

牛顿运动定律不适用的参照系。

20

*若在加速平动参照系:
?? a?

动画

m

? a
?? ? a ? ? ?a

奇怪?

? N

? ?F ? 0

? mg

? a

球对车

? ?0
21

问题出在:在非惯性系中用了牛顿第二定律!

动画

? a
没问题!

? ?F ? 0

? a球 对 地 ? 0
22

哦!

?* f

? N
? mg

? ? f *惯性力 ? ?ma

?* f

车厢中的观察者以车厢为参照系(非惯性系)他认为, ? ? ?* 小球受三个力的作用: , N, f 惯性力 mg

? ? ? ?* 合外力: ? F ? mg ? N ? f 惯性力
? ?F :
真实力

? ma?
虚拟力

?* ? ? 为非惯性系对惯性系的加速度 f惯性力 ? ? ma a
?? ma? :

质点在非惯性系受到的合力

?? a? 是质点对非惯性系的加速度

?? ? ? F ? ma?

23

非惯性系的牛顿第二定律:

? ? ? F ? ma?

?* ? ? F ? f 惯性力 = ma? 真实

24

例3

(0655)一根细绳跨过一光滑的定滑轮, 一端挂一质量为M的物体,另一端被人 用双手拉着,人的质量 m ? M / 2 。若人相 对于绳以加速度 a0 向上爬,则人相对于 地面的加速度是多少?(以竖直向上为 正) 解: 以绳为参照系,设绳对地的 ?

? a绳对地

加速度为

a绳对地

人 物

T ? mg ? ( ? ma绳对地 ) ? ma0

T

T

Mg ? T ? ( ? Ma

?
Mg

绳对地

) ? M ?0
25

mg

▲ 注意:对于滑轮这种左右两边的情形, 左右两边的正方向应相反

26

a 绳对地

g ? a0 ? 3

方向:右向上,左向下

? ? ? a 人对地 ? a 人对绳 ? a 绳对地
a人对地 g ? a0 g ? 2a 0 ? a0 ? ? 3 3
方向:向上

27

例4. 一光滑的劈,质量为 M ,斜面倾角为 ? ,并位于 光滑的水平面上,另一质量为m 的小块物体,沿劈的斜面 无摩擦地滑下, 求劈对地的加速度。

m
?
y?
N1
* f1

解:研究对象:m 、M 以劈为参照系,建立坐标如图 受力分析:如图 ? 设M对地的加速度为 a1 ? m 对M的加速度为 a 2

M

y

N2
* f2

x?

? a2

? a1
' N1

mg

x
28

Mg

y,

y
N1
N2
* f2

* f1

? a1
' N1

x

,

? a2

x

mg
Mg
* f1 cos ?

运动方程:

m对M

x ? : mg sin ? 对m:

? ma 2 ?(1) ? ? : ? mg cos ? ? N 1? f1* sin ? ? 0?( 2) y
M对M

' x : N 1 sin ? ? f 2* ? Ma1 ? 0?( 3) 对M: ' y : N 2 ? N1 cos ? ? Mg ? 0?(4)
29

mg sin ? ? ? ma2 ?(1) * ? mg cos ? ? N1 ? f1 sin ? ? 0?((2) 2)
' N1 sin ? ? * f2

* f1 cos ?

? 0?( 3) (3)

N2 ?
' 将 N1

? N1 ,

* f1

? ma1 ,

' N1 cos ? ?

Mg ? 0?(4)

* f2

? Ma1 代入(2)(3)
m对M: ( M ? m ) sin ? a2 ? ?g 2 M ? m sin ?

N 1 ? mg cos ? ? ma1 sin ?

N 1 sin ? ? Ma1
mg sin ? ? cos ? a1 ? M对地 2 M ? m sin ?
附:将上式代入(1)得

? ? ? a ? a1 ? a2 ? ?
30

m对地:

作业:2.2

2.6

2.7 2.11

2.23

第二章结束

31


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