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圆锥曲线的参数方程(一)


2.2圆锥曲线的参数方程

1. 椭圆的参数方程
例1. 以原点为圆心, 分别以 a, b (a > b > 0) 为半径 作两个圆, 点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交点, 过 点 A 作 AN⊥Ox, 垂足为N, 过点 B 作 BM⊥AN, 垂足为M, 求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨 y 迹参数方程.

r />范围:? ? ?0,2? ?

? x ? a cos ? (?为参数) ? ? y ? b sin ?

A
B

O

M N x

它表示中心在原点,焦点在x轴上的椭圆

思考:如果是中心在原点,焦点在y轴的椭圆该 如何写出椭圆的参数方程

? x ? b cos ? (?为参数) ? ? y ? a sin ? 范围:? ? ?0,2? ?

练习 1. 把下列普通方程化为参数方程:
x y y 2 (1) ? ? 1 (2) x ? ?1 4 9 16
2 2 2

2. 把下列参数方程化为普通方程

? x ? 3cos? ? x ? 8cos? (1) ? (2) ? ? y ? 5 sin ? ? y ? 10sin ?

? x ? 2cos? 3.已知椭圆的参数方程为? (? ? y ? sin? 4 短轴 是参数), 则此椭圆的长轴长为____,

( ? 3 ,0) 离心率 2 焦点坐标为_________, 长为____,
为______. 3/2

x y 例3.已 知 椭 圆 ? ? 1有一内接矩形 100 64 ABCD,求 矩 形ABCD的 最 大 面 积 .

2

2

y

Smax ? 160
A
x B

D O C

例2. 如图, 在椭圆

x y ? ?1 9 4

2

2

上求一

点 P, 使 P 到直线 l: x +2y -10 = 0的距离 y 最小. O

P

x

练习

x y 1.已知 A, B 两点是椭圆 ? ? 1 与坐 9 4 标轴正半轴的两个交点 , 在第一象限的 椭圆弧上求一点P, 使四边形 OAPB 的面 积最大.

2

2

A O

P

B

3 2 P( , 2) 2

x y 2. 动点 P( x , y ) 在曲线 ? ? 1 上变化, 9 4 求 2 x ? 3 y 的最大值和最小值.

2

2

最大值6 2 , 最小值? 6 2 .
3. ? 取一切实数时, 连接 A(4 sin? , 6 cos? ) 和 B( ?4 cos? , 6sin? ) 两点的线段的中点 轨迹是 ( B ).

A. 圆

B. 椭圆

C. 直线

D. 线段


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