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2011年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题


2011 年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题
考试时间:2011 年 5 月 15 日上午 8:30—11:00
开始

S =0, I =1

考生注意:本试卷共五道大题,满分 140 分. 一、填空题(共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分) 1.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 S ?

I≤ 100

否 否

.



I是 偶 数

ln 2 ln 3 ln ? ln 2.72 10 ln10 2. 若 a ? ,b ? ,c ? ,d ? ,f ? , 则 a, b, c, d , f 2 3 ? 2.72 20
的大小(按从小到大)顺序为

是 S =S -I 2

S =S +I 2

输出S 结束

.

I =I +1

1 解 , ? 是 方 程 x ? lg x ? 2011 的 解 , 则 3. 若 ? 是 方 程 x ?1 0x ? 2 0 1 的

? ? ? ? ________ .
4.已知 a ? 0, b ? 0, 若 x 表示 1、 a 及

b 这三个数中的最小者,当 a 、 b 变化时, x 的最大值为 a ? b2
2

.

5.已知在半径为 5 的球面上有 A, B, C , D 四点,若 AB ? 6, CD ? 8, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 6.若 x ? C , 且 x
10

.

? 1, 则 1? x ? x2 ?

? x2010 ?

.

7.在棱长为 1 米的正四面体 ABCD 中,有一小虫从顶点 A 处开始按以下规则爬行,在每一顶点处以同样的概率选 择通过这个顶点的三条棱之一,并一直爬到这条棱的尽头 . 记小虫爬了 n 米后重新回到点 A 的概率为 Pn , 则

P 4 ?
8.函数 y ?

.
x 4 ? 3x 2 ? 6x ? 10 ? x 4 ? 3x 2 ? 2x ? 5 的最大值为
3

.

二、(本题满分 16 分)设 a ? 0, 函数 f ( x) ? x ? ax 在 [1, ??) 上是单调函数. (1)求 a 的取值范围;

(2)若 x0 ? 1, 并且满足 f ( x0 ) ? 1, f ( f ( x0 )) ? x0 . 求证: f ( x0 ) ? x0 .

三、(本题满分 20 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD, 底面 ABCD 为菱形,

PA ? 平面 ABCD , ?ABC ? 60 , E 、 F 分别是 BC 、 PC 的中点.
(1)证明: AE ? PD;

(2)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所称的最大角的正切值为

6 , 求二面角 E ? AF ? C 的余弦值. 2

四、(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心,分别以 a 、b(a ? b ? 0) 为半径作两个圆。点 Q 是大圆半径 OP 与小圆的交点,过点 P 作 PN ? Ox ,垂足为 N , 过点 Q 作 QM ? PN 垂足为 M . 记当半径 OP 绕 点 O 旋转时点 M 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程;

(2)设 A 、 B 、 C 为曲线 E 上的三点,且满足 OA ? OB ? OC ? 0, 求 ?ABC 的面积.

2 五、(本题满分 20 分)已知 tan ? ? 2 ?1, 函数 f ( x) ? x tan 2? ? x sin(2? ?

?

), 其中 ? ? (0, ). 4 2

?

(1)求 f ( x) 的解析式;

(2)若数列 {an } 满足 a1 ?

1 , an ?1 ? f (an )(n ? N ? ). 2

求证:(i) an?1 ? an (n ? N? ) ;(ii) 1 ?

1 1 ? ? 1 ? a1 1 ? a2

?

1 ? 2(n ? 2, n ? N ? ) . 1 ? an


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