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2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛


2 0

1

4

年第



年 全 国 高 中 数 学 联赛 陕 西 赛 区 预 赛
中 图分 类 号

文 献标 识 码



文章 编 号




/>一




分 共












填空 题 每 小 题



、 (

分 如图




不 等式
已 知 等 差 数列

所 有 整数 解 的 和 为

是 两 条平 行 直 线 之间的




个 定 点 且点
的 距 离 分别







的前

项 和分别

到 直线 为

为 则




且对于



切 正 整数

均有







上运




的 另 两个顶点


函数



分别 在



的等差 中 项 为

的 最小

动 且满 足

倌为






⑴ 试判 断 △ 娜 的 形状 并 证明 结论




比中项 为


化 艮足足 的棱 长 为
二、

求巧


的最大 值


若 正方 体 岑




已 知 数列




的 各 项 均 为 正数




则集合

其前

项和 为

且对任 意

均有

中 元 素 的 个数 为

求数 列


的 通 项 公式









颗 均 匀 的 正方 体 色 子 连 续 掷 两 次



先 后 出 现 的 点 数 分别 为


则关 于

的方程

⑵设












有 实 根 的 概率 为

用最 简分

数 作答 若实 数
、 、

前 前

项和 为

、 (

证明





丁(

满足


分 如图
经过点 …

… 与

交于






点 且





… 的 优 弧 玲 上任

点 抄 对 的延长线 与

分别 交 于 点





在厶
的 中 线 长 之 和为





已知








上 的垂
的轨

明 … 为△
: ‘

的垂 心

以 直线



轴 边

直平分线 为 迹 方程 为


轴 建立直 角 坐 标 系 则 顶点

已 知三棱锥

的 底 面 是边 长 为


的正 三 角 形 以













°

△仙 的 中心 则


的 长为



表 示 不 超 过实 数

的 最 大整 数
中 所 有 元素


则集 合
的和为

3 4



中 等 数 学



、 (

分 如图




已知








轴 交于


两点 与


轴 交于 点





上任








翻 数 ⑷ 的 定义 域为

点 除去


与 两 坐 标 轴 的 交点


直线







交于 点


直线




轴 交 于点
证明

设 直线


又函

的 斜率分别 为

为 定值

幻 上单 调 递 增 故




上单 调 递减 在


°
°

由 题设知












全 冬




、 (

分 设



广?





且函 数

幻 存在 单调 递减 区 间




的 取值 范 围





若 对满 足 条 件 的 上恒 成 立 求实 数
, …


的 任意值

士法


注意到


的 取值 范 围






六⑶ 分憤



… ±

均为 正

故义



实 数 证明



解法 量

如图



对任意






















的 投 影均 为





参 考 答 案

— 一




















因为



所以

故 不 等式 所有 整 数 解 的 和 为








依题 意设 其 中 常数 ⑷


由 题意 因 为


















所 以 基本




事 件 总数 为 又方 程

有 实 根 的 充分 必 要 条
的值 及
的 符号 如 表

件是 对



2 0

1

4

年第



当且 仅当
°







时 上 式 等 号 成立




因此
















解法



设边 仙




仏 上的中线






交于

的重

其中



的 值为 非 负数 的有





故所求概率为


知点
的 轨 迹是 以


为 焦点 长 轴 长 为


的椭

圆 不 包含 长 轴 的 两 个端 点

解法

由 题设得

故 此椭 圆 方程 为
设点 如
则点













代 人上 式 化 简得顶 点


的 轨 迹 方程 为



解法

由 题 设得



解法


如图



过点 交于 点


分别 作 中 线


孤 ⑶


的 平行 线 分 别 与



宁 、¥

韻辟





从而








故点
为焦 点


的轨 迹是 以






为 长 轴 长 的 椭 圆 除 去 长 轴 的 两 个端 为










解法
由 题 设 及 柯 西不 等 式 得




解法
如图


联结

并延 长 与

交于



等 数 学







是边

的 中 点 联结










及 正 弦 定 理得

、 (








因为 仙

所以

于是



在厶

中 由 中 线 长 公 式得




故 设

为直 角 三 角 形 且




中 由 余 弦定 理 得








在△

中 由 余 弦定 理得



解法
§

于是 在


中 仙




在 故仙

蕭 中








同理



§補




从而 当
的 中心 于是




为正厶


子时



士 会取 得最 大值为及

二、

由 题意 知

因为







所以




从而








因此





的长 为


也满 足 上 式 因 此






讀十 —


” ⑵由⑴
则 则










丄 口 “ 丄 口 丄 立口 丄 上 “



丄 丄》

从而






分别 代 入 原方 程 解 得







三 、 如图


联结









因此



集合 中 所有元 素 的 和 为





年第



像过 定 点
于是






且 对称 轴











°

的 取值 范 围 为
由 题意


知 对任 意 的





注 意到 函 数










上单 调 递 减 于 是




于是
同理











叫 丄仙


从而





为△ 处

的 垂心













由 题意 设
±




因 此 函数 识





上单 调 递 增

联 立得









三点








巧⑴



从而 』
六 因为












共线 知





广



所以



由 柯西



不 等式得














办 說
联 立得











故它

点韵






二一
定值








从而



十々

⑴ 由 题设知





因 为函数

幻 存 在 单调 递 减 区 间 所 以 不
, , ,


从而






等式
士如

⑷ 连意 到











上 的图



有解











函数





康宁

提供




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