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江西省上饶市2013-2014学年高二下学期期末考试+数学理试题+Word版


2013-2014 学年江西省上饶市高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.若集合 A={﹣1,0,1,2,3},集合 B={x|x∈A,1﹣x?A},则集合 B 的元素的个数为( A. 0 B.1 C.2 D.3 2.设 x∈R,则“x=1”是“复数 z=(x ﹣1)+(x+1)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.

必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图,输出的 M 的值是( )
2



A.

B.2

C.﹣

D.﹣2

4.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A,B 可以不相邻) ,那么不同 的排法共有( ) A. 24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种 5.函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( ) A. f(1)<f( )<f( ) C. f( )<f( )<f(1) 6.如图,设向量 置区域正确的是( =(3,1) , ) =(1,3) ,若 B.f( )<f(1)<f( ) D. f( )<f(1)<f( ) =λ +μ ,且 μ≥λ≥1,则用阴影表示 C 点的位

7.已知如图所示的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,点 P、Q 分别在棱 BB1、DD1 上,且

=

,过

点 A、P、Q 作截面截去该正方体的含点 A1 的部分,则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主 视图的是( )

8.已知数列{an}是递增数列,且 an=

,则 t 的取值范围是(



A. [0,4) B.(0,4) C.[﹣1,4) D.(﹣1,4) 9.某工厂生产某种零件,零件质量采用电脑自动化控制,某日生产 100 个零件,记产生出第 n 个零 件时电脑显示的前 n 个零件的正品率为 f(n) ,则下列关系式不可能成立的是( ) A. f(1)<f(2)<…<f(100) B. 存在 n∈{1,2,…,99},使得 f(n)=2f(n+1) C. 存在 n∈{1,2,…,98},使得 f(n)<f(n+1) ,且 f(n+1)=f(n+2) D. f(1)=f(2)=…=f(100)

10.已知双曲线



=1(a>0,b>0) ,F 是左焦点,A、B 分别是虚轴上、下两端,C 是它的左 ,则∠ BDA 的余弦值等于( D. )

顶点,直线 AC 与直线 FB 相交于点 D,若双曲线的离心率为 A. B. C.

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.若直线 ax+by+1=0(a>0,b>0)过点(﹣1,﹣1) ,则 + 的最小值为 _________ . 12.二项式( ﹣2x) 的展开式中,x 项的系数为
3 3 3 6 2

_________ .
3

13.观察下列等式 2 =3+5,3 =7+9+11,4 =13+15+17+19,5 =21+23+25+27+29,…,若类似上面各 3 式方法将 m 分拆得到的等式右边最后一个数是 131,则正整数 m 等于 _________ .

14. 函数( f x) =﹣x +4 (0≤x≤2) 的图象与坐标轴围成的平面区域记为 M, 满足不等式组

2

的平面区域记为 N,已知向区域 M 内任意地投掷一个点,落入区域 N 的概率为 _________ .

,则 a 的值为

15.给定集合 An={1,2,3,…,n},映射 f:An→An,满足以下条件: ① 当 i,j∈An 且 i≠j 时,f(i)≠f(j) ; ② 任取 x∈An,若 x+f(x)=7 有 K 组解,则称映射 f:An→An 含 K 组优质数,若映射 f:A6→A6 含 3 组优质数. 则这样的映射的个数为 _________ . 三、解答题 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=4cos x﹣4 (1)求函数 f(x)的单调递增区间;

sinxcosx﹣2(x∈R) .

(2)设△ ABC 的内角 A,B,C 对应边分别为 a、b、c,且 c=3,f(C)=﹣4,若向量 =(1,sinA) 与向量 =(1,2sinB)共线,求 a、b 的值. 17. (12 分)某次月考从甲、乙两班中各抽取 20 个物理成绩,整理数据得到茎叶图如图所示,根据 茎叶图解决下列问题. (1)分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数; (2)分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值; (3)定义成绩在 80 分以上为优秀,现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次,每次 抽取 1 个成绩,设 ξ 表示抽出的成绩中优秀的个数,求 ξ 的分布列及数学期望.

18. (12 分)如图(1) ,在三角形 ABC 中,BA=BC=2 ,∠ ABC=90°,点 O,M,N 分别为线段的 中点,将 ABO 和 MNC 分别沿 BO,MN 折起,使平面 ABO 与平面 CMN 都与底面 OMNB 垂直, 如图(2)所示. (1)求证:AB∥ 平面 CMN; (2)求平面 ACN 与平面 CMN 所成角的余弦; (3)求点 M 到平面 ACN 的距离.

19. (12 分)已知公比不为 1 的等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn,且 a3+S5,a4+S4,a5+S3 成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式; n n n (2)对 n∈N+,在 an 与 an+1 之间插入 3 个数,使这个 3 +2 个数成等差数列,记插入的这个 3 个数 的和为 bn,且 cn= .求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

20. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点(1,

) ,椭圆 C 的离心率 e=



(1)求椭圆 C 的方程; (2)△ ABC 的三个顶点都在椭圆上,且△ ABC 的重心是原点 O,证明:△ ABC 的面积是定值.

21. (14 分)已知函数 f(x)=(x+a) +lnx. (1)当 a= 时,求函数 f(x)在[1,+∞)上的最小值; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f(x)有两个极值点 x1、x2,且 x1∈(0, ) ,证明:f(x1)﹣f(x2)> ﹣ln2.

2

上饶市2013—2014学年度下学期期末测试高二数学(理科) 试卷答案及评分标准
一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 B 5 D 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B

二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 9 12. ?160 13. 11 14. 1

15. 40

三、解答题:共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解:(1) f ( x) ? 4cos2 x ? 4 3sin x cos x ? 2 ? 2cos 2 x ? 2 3sin 2 x

?4 cos( x2 ?

?
3

) ………………………………………………………………………… 3分

令 2 k? ? ? ? 2 x ? 解得 k? ?

?
3

? 2k? ? 2? , (k ? Z )

5? , ……………………………………………………………5 分 3 6 ? 5? ](k ? Z ) ……………………………………6 分 ∴ f ( x ) 的递增区间为 [k? ? , k? ? 3 6 ? ? ? 7? ), (2)由 f (C ) ? 4 cos(2C ? ) ? ?4 ,而 C ? ? 0, ? ? ,所以 2C ? ? ( , 3 3 3 3 ? ? ∴ 2C ? ? ? ,得 C ? ……………………………………………………………8 分 3 3 sin A ? 2, ∵向量 m ? (1,sin A) 与向量 n ? (1, 2sin B) 共线,∴ sin B ? x ? k? ?
由正弦定理得:

?

a ?2 b
2 2

①……………………………………………………………9 分
2

由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos

?
3

,即 a ? b ? ab ? 9
2 2

②………………11 分

由①②解得 a ? 2 3 , b ? 3 …………………………………………………………12 分 17.解:(1)甲乙两班物理样本成绩的中位数分别是 72,70;……………………………………2 分 (2) x甲 =

90 ?1 ? 80 ? 4 ? 70 ? 6 ? 60 ? 6 ? 50 ? 2 ? 40 ?1 ? 90 ? 71 (分)………………3 分 20 90 ? 2 ? 80 ? 3 ? 70 ? 5 ? 60 ? 5 ? 50 ? 3 ? 40 ? 2 ? 100 x乙 = ? 70 (分) 20

∴甲乙两班物理样本成绩的平均值分别是 71 分、70 分………………………………………4 分 (3)ξ的可能取值为 0、1、2、3、4,甲、乙两班各有 5 个优秀成绩,故从甲班中抽取一个成 绩是优秀成绩的概率为

1 1 ,从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为 ……………5 分 4 4

3 81 27 1 1 3 3 p(? ? 0 )? ( 4 ) ? , p (? ? 1) ? 2C2 ( )( ) ? 4 256 4 4 64 1 2 3 2 1 3 27 3 3 1 1 2 1 2 1 1 p(? ? 2) ? 2( ) ( ) ? C2 C2 ( ) 2 ( ) 2 ? , p (? ? 3) ? 2C2 ( ) C2 ? ? 4 4 4 4 128 4 4 4 64 1 1 p(? ? 4) ? ( ) 4 ? ……………………………………………………………………10 分 4 256
∴ξ的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

4

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

81 108 54 12 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 1 ………………………12 分 256 256 256 256 256 18.解:(1) OB //MN , OB ? 平面 CMN ? OB // 平面 CMN ∵平面 AOB ? 平面 OMNB ,OA ? OB ,∴ OA ? 平面 OMNB ,同理 MC ? 平面 OMNB , ∴ OA ∥ MC ,又∵ OA ? 平面 CMN , ? OA// 平面 CMN , OA OB ? O , ∴平面 OAB // 平面 CMN ,又 AB ? 平面 OAB , ∴ AB // 平面 CMN ……………4 分 E? ? 0 ?
(2)分别以 OB, OM , OA 为 x, y , z 轴建立坐标系, 则 A(0, 0, 2) , B(2, 0, 0) , M (0,1,0) , C (0,1,1) , N (1,1, 0) , ∴ AC ? (0,1, ?1) , NC ? (?1,0,1) ,设平面 ANC 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则有 ?

? ? n ? AC ? y ? z ? 0 ? ?n ? NC ? ? x ? z ? 0

,令 x ? 1 ,得 n ? (1,1,1) ,而平面 AOMC 的法向量为: n1 ? ?1,0,0? ,

?

| cos ? n, n1 ?|?

n ? n1 3 ? | n |? | n1 | 3
3 ………………8 分 3

即平面 ACN 与平面 AOMC 所成角的余弦值为

(3) MC ? (0,0,1) ,由(2)知平面 ANC 的法向量为: n ? (1,1,1) , ∴点 M 到平面 CAN 的距离 d ? 19.解:(1)因为 a3 所以 a4 即 2a5

| MC ? n | 3 ? 3 |n|

……………………12 分

? S3 , a4 ? S 4 , a5 ? S5 成等差数列,
1 2

? S4 ? a3 ? S3 ? a5 ? S5 ? a4 ? S 4 ,…………………………………………2 分

? 3a4 ? a3 ? 0 ,所以 2q2 ? 3q ? 1 ? 0 ,因为 q ? 1 ,所以 q ? ,……………4 分

所以等比数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 ;………… 6 分 2n
n

a ? an ?1 n 3 3 n ?2? ? 3 ? ( ) , c n ? n? ? …………………………………8 分 (2) bn ? n 2 4 2 ?3?

2 ? 2? ? 2? ? 2? 1 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? 1? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ………○ 3 ? 3? ? 3? ? 3?

2

3

n

2 ?2? ?2? ?2? ?2? Tn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ?3?
2 3 n

2

3

4

n ?1

2 ………○

…………10 分
n

1 -○ 2得 ○

1 2 ? 2? ?2? ?2? ?2? Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 3 3 ? 3? ?3? ?3? ?3?
n n n

n ?1

2? 2? ?1 ? ? ? ? 3? ?3? ? ? 2 1? 3

? ? n ?1 ? ? ? n?? 2 ? ? ? ?3?

? 2? ? 2? ? 2? ?Tn ? 6 ? 6 ? ? ? ? 2n ? ? ? ? 6 ? ?6 ? 2n?? ? ……………………12 分 ? 3? ? 3? ? 3?
20.解:(1)由已知可得: e ?
2 2

c 3 c2 3 b2 1 , 2 ? , 2 ? ? a 4 a 4 a 2

∴ a ? 4b ,…………………………………2 分 又由已知得:

1 3 ? 2 ? 1 ,∴ b2 ? 1 , a 2 ? 4 2 4b 4b

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1,……………………………………………………………5 分 4

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 C ( x3 , y3 ) ,则因 ?ABC 重心是原点可得:

x1 ? x2 ? x3 y ? y2 ? y3 ?0, 1 ?0 3 3
∴ x3 ? ?( x1 ? x2 ) , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ………………………………………………………6 分 当直线 AB 的斜率不存在时, A(?1,

3 3 ), B(?1, ? ), C (2, 0) 或 2 2

A(1,

3 3 3 3 ), B(1, ? ), C (?2, 0) ,此时 S ?ABC ? ………………………………………7 分 2 2 2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,

由?

? y ? kx ? m ?x ? 4 y ? 4
2 2

可得: x2 ? 4(kx ? m)2 ? 4 , (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0

∴ x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 4 , x x ? , ……………………………………………………8 分 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 8k 2 m 2m ? 2m ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ?
∴ x3 ?

8km 2m , y3 ? ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 8km 2 2m 2 ) ? 4(? ) ?4 ∵ C ( x3 , y3 ) 在椭圆上,∴ ( 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
∴ 16k 2 m2 ? 4m2 ? (4k 2 ? 1)2 , 4m2 (4k 2 ? 1) ? (4k 2 ? 1)2 , ∴ 4m ? 4k ? 1 ,……………………………………………………………………………10 分
2 2

而 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

64k 2 m2 ? 4(4m2 ? 4)(4k 2 ? 1) 1 ? 4k 2

? 1? k 2

2 16(4k 2 m2 ? 4k 2 m2 ? m2 ? 4k 2 ? 1) 2 4 3m ? 1 ? k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

点 C ( x3 , y3 ) 到直线 AB 的距离是 d ?

8k 2 m 2m ? ?m 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 1? k 2
3m 1? k 2 ?

?

3m 1? k 2

∴ S ?ABC ?

1 1 4 3m 2 AB d ? 1? k 2 2 2 1 ? 4k 2

6 3m 2 6 3m 2 3 3 ? ? 1 ? 4k 2 4m 2 2

综上所述,?ABC 的面积是定值.…………………………………………………………13 分 (注: 以上

3m 1? k 2

改为

3m 1? k 2

)

21.解:(1)当 a ?

2 时,函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 ? ln x ,则
2( x ? x 2 2 ) 2 ? 0 ………………………………2 分

1 2 x2 ? 2 2 x ? 1 f ?( x) ? 2( x ? 2) ? ? ? x x

∴ f ( x ) 在 [1, ??) 上递增, f ( x)min ? f (1) ? 3 ? 2 2 ………………………………………4 分 (2) f ?( x) ? 2( x ? a) ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? ,………………………………………………5 分 x x

∵ f ( x ) 在 [2, ??) 上递增,∴ f ?( x) ? 0 在 x ? [2, ??) 上恒成立,

∴ 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 在 x ? [2, ??) 上恒成立,
2

即a ? ?

1 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 1 1 ? ? (2 x ? ) , ? (2 x ? ) 在 x ?[2, ??) 上递减, ,而 ? 2 x 2x 2x 2 x

当 x ? [2, ??) 时, ? ∴a ? ?

1 1 9 (2 x ? ) ? ? , 2 x 4

9 …………………………………………………………………………………………8 分 4

(3) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 2( x ? a) ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? x x
2

∵函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 、 x2 ,∴ x1 、 x2 是方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根, ∴ x1 x2 ?

1 1 , x2 ? ,且 2ax1 ? ?2x12 ?1 , 2ax2 ? ?2 x22 ?1 ,………………………10 分 2 2 x1

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? a)2 ? ln x1 ? ( x2 ? a)2 ? ln x2

? ? x12 ? x2 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? x12 ?
令 h( x ) ? ? x ?
2

1 ? ln 2 x12 ……………………………………………12 分 4 x12

1 1 ? ln 2 x 2 ( x ? (0, ) ) 2 4x 2

h?( x) ? ?2 x ?

1 2 ?4 x 4 ? 4 x 2 ? 1 ?(2 x 2 ? 1) 2 ? ? ? ?0 2 x3 x 2 x3 2 x3

∴ h( x) 在 x ? (0, ) 上单调递减,

1 2 1 1 1 3 ∴ h( x) ? h( ) ? ? ? 1 ? ln ? ? ln 2 ……………………………………14 分 2 4 2 4


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