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一道数列奇偶通项公式题解法


例 题 1 : 设 ? a n ? 满 足 a1 ? 1 , 且

a n ?1

?1 a ?2 n ? ? ? ?a ? 1 ? n 4 ?

(n 为 偶 数 ) (n 为 奇 数 )

, 记 b n ? a 2 n ?1 ?

1 4



cn ? a2n ?

1 2

则 a n =__________
1 2 )
n ?1

例题 2:已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? S n ? 2 ? 3( ? 求数列 { a n } 的通项公式.

( n ? 3) , S 1 ? 1 , 2 ? ? S 且

3 2



1 n ( ) 例题 3: 已知数列{an}中,a1=1 且 anan+1=2 4 ,求通项公式.

例题 1 解:由题中条件知道: a 1 ? 1 , a 2 ?

5 4

, b1 ? a 1 ?

1 4

?

3 4

, c1 ? a 2 ?

1 2

?

3 4



当 n ? 2 时, 2 n , 2 n ? 2 为偶数, 2 n ? 1 , 2 n ? 3 为奇数 (1) 奇数项通项公式
a 2 n ?1 ? 1 2 a2 n?2 , a2n?2 ? a2n?3 ? 1 4

所以有 2 a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 3 ?
?

1 4

1? 1 ? 2 ? a 2 n ?1 ? ? ? a 2 n ? 3 ? 4? 4 ?

?

2 b n ? b n ?1

所以 ? b n ? 是以 b1 ?

3 4

为首项, q b ?

1 2

为公比的等比数列,其通项公式为
3 ?1? bn ? ? ? ? 4 ?2?
n ?1

即 a 2 n ?1

3 ?1? ? ? ?? ? 4 4 ?2? 1

n ?1

n ?1

,?

3 ?1? an ? ? ? ? 4 ?2?

2

?

1 4

(n 为奇数)

(2) 偶数项通项公式
a 2 n ? a 2 n ?1 ? 1 4

, a 2 n ?1 ?
1 2

1 2

a2n?2

所以有 2 a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 3 ?
?

1? 1 ? 2 ? a2n ? ? ? a2n ? 2? 2 ?

?

2 c n ? c n ?1

所以 ? c n ? 是以 c 1 ?

3 4

为首项, q c ?

1 2

为公比的等比数列,其通项公式为
3 ?1? cn ? ? ? ? 4 ?2?
n ?1

即 a2n

3 ?1? ? ? ?? ? 2 4 ?2? 1

n ?1

n

,?

3 ? 1 ?2 an ? ? ? ? 4 ?2?

?1

?

1 2

(n 为偶数)

所以 ? a n ? 的通项公式为

? 3 ? ?4 an ? ? ?3 ? ?4

n ?1

?1? ?? ? ?2?
n

2

?

1 4

(n 为 奇 数 )

? 1 ?2 ?? ? ?2?

?1

?

1 2

(n 为 偶 数 )
1 2 1 2 )
2n?3

例题 2 解:方法一:先考虑偶数项有: S 2 n ? S 2 n ? 2 ? 3 ? ( ?
S 2n?2 ? S 2n?4 ? 3 ? (?

)

2 n ?1

1 2 n ?1 ? ?3 ? ( ) 2 1 2n?3 ? ?3 ? ( ) 2

………
S 4 ? S 2 ? 2 ? (?
? S 2 n ? S 2 ? 3[( ? ? 3[( 1 2 1 ? ) 1 2 )
2 n ?1

1 2

)

3

1 3 ? ?3 ? ( ) . 2

1 2n?3 1 3 ? ( ) ?? ? ( ) ] 2 2

2 n ?1

1 2n?3 1 3 1 ? ( ) ?? ? ( ) ? ] 2 2 2

1 1 n ( ) 1 1 1 n 2 2 4 ? ?3 ? ? ? 4[ ? ? ( ) ] 1 2 2 4 1? 4 1 2 n ?1 ? ?2 ? ( ) ( n ? 1 ). 2

同理考虑奇数项有: S 2 n ? 1 ? S 2 n ? 1 ? 3 ( ?

1 2

) 1 2

2n

1 2n ? 3?( ) . 2 1 2n?2 ? 3?( ) 2

S 2 n ?1 ? S 2 n ? 3 ? 3 ? ( ?

)

2n?2

………
S 3 ? S1 ? 3 ? (?
1 2

1 2

)

2

1 2 ? 3?( ) . 2

? S 2 n ? 1 ? S 1 ? 3[(

)

2n

1 2n?2 1 2 1 2n ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? 2 ? ( ) ( n ? 1 ). 2 2 2

1 2n 1 2 n ?1 1 2n ? a 2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? S 2 n ? 2 ? ( ) ? ( ? 2 ? ( ) ) ? 4 ? 3 ? ( ) ( n ? 1 ). 2 2 2 1 2n 1 2 n ?1 1 2 n ?1 a 2 n ? S 2 n ? S 2 n ?1 ? ? 2 ? ( ) ? ( 2 ? ( ) ) ? ?4 ? 3 ? ( ) ( n ? 1 ). 2 2 2 a1 ? S 1 ? 1.

综合可得 a n

1 n ?1 ? 4 ? 3 ? ( ) , n 为奇数 , ? ? 2 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ? 1 , n 为偶数 . ? 2 ?

方法二:因为 S n ? S n ? 2 ? a n ? a n ?1 所以 a n ? a n ?1 ? 3 ? ( ? 两边同乘以 ( ? 1) ,可得:
n
n ? 1

1 2

)

n ?1

( n ? 3 ),

( ? 1)

n

a

n

? ( ? 1)

a

n ? 1

? 3 ? ( ? 1)

n

? (?

1 ) 2

n ? 1

1 ? ?3 ? ( ) 2

n ? 1

.

令 b n ? ( ? 1) n a n ,? b n ? b n ? 1 ? ? 3 ? ( ? 所以 b n ? b n ? 1 ? ? 3 ? ( ?
b n ?1 ? b n ? 2 ? ? 3 ? ( ? 1 2 ) 1 2
n?2

1 2

)

n ?1

( n ? 3 ).

)

n ?1

,

,

………
b3 ? b2 ? ? 3 ? (? 1 2 ) ,
2

1 ? b n ? b 2 ? 3[( 1 2 )
n ?1

1 n?2 1 2 4 ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? b2 ? 3 ? 2 2

?

1 n?2 ?( ) 4 2 1 1? 2

1

? b2 ?

3

1 n ?1 ? 3?( ) ( n ? 3 ). 2 2

又 ? a 1 ? S 1 ? 1, a 2 ? S 2 ? S 1 ? ?
1 2

3 2

?1 ? ? 5 2 .

5 2

,

? b 1 ? ( ? 1 ) a 1 ? ? 1, b 2 ? ( ? 1 ) a 2 ? ? ? bn ? ? 5 2 ? 3

1 n ?1 1 n ?1 ? 3?( ) ? ? 4 ? 3 ? ( ) ( n ? 1 ). 2 2 2

1 n ?1 n n n ? a n ? ( ? 1) b n ? ? 4 ( ? 1) ? 3 ? ( ? 1) ? ( ) 2 1 n?3 ? 4 ? 3?( ) , n 为奇数 , ? ? 2 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ? 1 , n 为偶数 . ? 2 ?
an?2 1 1 n 1 n ?1 ( ) ( ) 例题 3 解:由 anan+1=2 4 及 an+1an+2=2 4 ,两式相除,得 a n = 4 ,则 a1,a3,a5,…
1 1

a2n-1,…和 a2,a4,a6,…a2n,…都是公比为 4 的等比数列,又 a1=1,a2= 2 ,则: (1)当 n 为奇
1 an ? 1 ? ( ) 4 数时,
n ?1 2 1? n

? 4

2

; (2)当 n 为偶数时,

an ?

1

1 ?( ) 2 4

n?2 2

1? n

? 4

2

1? n

.综合得 a n ? 4

2


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