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2015陕西高中数学联赛初赛试题


2015 陕西高中数学竞赛初赛试题 一、填空题 1、已知集合 A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},若集合 C={x|x=a+b, a ? A,b ? B},则集合 C 中元素的个数是 2、已知函数 f(x)= ?
?0, x ? 0 则 f(f(x))= 1, x ? 0 ?

。 。

3 、 已 知 si

n ? + 3 sin ? =1 , cos ? + 3 cos ? = 3 , 则 cos ( ? - ? ) 的 值 为 。

4、在三棱锥 S-ABC 中,AB=AC,SB=SC,则直线 SA 与 BC 所成角的大小 为 。

x2 y 2 5、如图 1,以双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 上一点 M 为圆心的圆与 x 轴恰好相切 a b

于双曲线的一个焦点 F,且与 y 轴交于 P,Q 两点。若 ?MPQ 为正三角形,则 该双曲线的离心率是 。

6 、 设 O 为 ?ABC 的 外 心 , 且 满 足 OA ? OB ? OC , 则
?A C B =


A 2 B C t a? n , 则 1 t a n 的 最 小 值 2 2

7 、 在 ?ABC 中 , t a n ? 为 。

8、某人抛一枚硬币,出现正面向上和反面向上的概率为 ,构造数列 ?a n ? ,使
?1,第n次正面向上, ,记 Sn ? a1 ? a 2 ? ... ? a n-1 ? a n ,则 S2 ? 0 且 S8 ? 2 的概率 an ? ? ? 1 ,第 n 次反面向上。 ?

1 2





9、若正整数 m、n 满足

? m+n ?! ? 5040
n!

?n = ,则 m!



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a n+2 ? a n ? a n+1 ? n ? N ? , 10、设单调递增数列 ?a n ? 的各项均为正整数,且 a 7 ? 120,

则 a8 ? 二、解答题



11、 设 ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且满足 sinA+sinB= (cosA+cosB) sinC (1) 、求证: ?ABC 为直角三角形; (2) 、若 a+b+c=1+ 2 ,求 ?ABC 面积最大值。

12、设 H 为锐角 ?ABC 的重心,过点 H 且垂直与 BH 的直线交 AB 与点 D,过点 H 且垂直于 CH 的直线交 AC 与点 E,过点 C 且垂直于 BC 的直线交直线 DE 于 点 F,求证:FH=FC。

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13、如图 3,在直角坐标系 xoy 中,圆 O: x2 ? y 2 ? 4 与 x 轴的正半轴交于点 A, 以 A 为圆心的圆 A: ? x ? 2 ? ? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 与圆 O 交于 B、C 两点。
2

(1) 、求 AB ? AC 的最小值; (2) 、设 P 是圆 O 上异于 B、C 的任一点,直线 PB、PC 与 x 轴分别交于点 M、 N,求 S?POM ? S?PON 的最大值。

14、已知函数 f(x)=xlnx,g(x)= ? x 2 ? ax ? 3 , a ? R 。
1 g(x)恒成立,求 a 的取值范围; 2 1 2 (2) 、证明:对任意 x ?? 0, ??? ,有 ln x ? x ? 。 e ex

(1) 、若对任意 x ?? 0, ??? ,不等式 f(x) ?

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15、 设 ? x ? 表示不超过实数 x 的最大整数, 已知 ak ? k=1,2,…,求和 ? ? ? ?a ? ? ?a ? 2?? ?。
k ?1 n

1 1 1 1 , ? 2 ? 2 ? ... ? 2 2 k k ?1 k ? 2 ? k ? 1? ?1

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