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浙江省高中数学第二届说题比赛试题(2014.12.18)


浙江省高中数学第二届说题比赛试题(2014.12.18)
一、个人赛 1 . 已 知 函 数 M ? { (a , b ) | a? ? 1 , 且 b ? m} , 其 中 m ? R . 若 任 意 (a , b )? M , 均 有

a ? 2b ? b ?3 a ? 0,求实数 m 的最大值。
2. 在非等腰直角 ?ABC 中,

已知 ?C ? 90? ,D 是 BC 的一个三等分点. 若 cos ?BAD ? 求 sin ?BAC 的值。 3.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b(a ? 0, b ? 0) , E 为 BC 边的中点,设 P 、 Q 分 别 BC 、 CD 是上的动点,且满足 程,并指出它的形状。

2 5 , 5

DQ CP ? ,连接 AQ 与 DP 交于点 M ,求动点 M 轨迹方 QC PE

D

Q M

C

P E

A
二、团队赛

B

1.已知 a, b, c ? R ,对任意实数 x 均有 | ax ? bx ? c |?| x ? 3x ? 2 | ,求 | b ? 4ac | 的最小值。
2 2 2 3 2 2.已知函数 f ( x) ? x ? (m ? 2) x ? (2m ? 1) x (m ? R) .设函数 f ( x ) 除零外还有两个不同的

零点 x1 , x2 ( x1 x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ) 。若对任意的 x ?[ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (?4) 恒成立,求实数

m 的取值范围。
3.已知函数 f ( x) ? x ?
3

3 (1 ? a ) x 2 ? 3ax ? b 2

(1)求 f ( x ) 的单调区间 (2)是否存在实数对 ( a, b) ,使得不等式 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ?[0, 3] 恒成立?若存在,试求出 所有的实数对 ( a, b) ;若不存在,请说明理由。


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