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初高中数学衔接教材第三讲


初高中数学衔接教材第三讲
一元二次函数学案
一、 【课程要求】
1.掌握二次函数的图像和性质,结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的 个数,从而了解函数的零点与方程根的联系; 2.通过三个“二次”掌握函数、方程、不等式之间的关系

编写:张粘 审核:赵群力

二、 【重点难点】
①二次函数的图象和性质,②二次函数最值问题。

三、 【命题规律】
从近几年高考的形势来看,十分注重对三个“二次” (即一元二次函数、一元二次方程、一元 二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多重要的结论,并付诸应用。本节在高考中,重 点考察数形结合与等价转化数学思想,通过三个“二次”之间的相互转化,考查函数的方程思想, 对于二次函数的区间最值,尤其是含有参数的区间最值问题,要求选择合理的标准分类讨论, 。

四、 【知识回顾】 1.二次函数的定义:形如 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0且a ,b , c 为常数) 的函数叫关于 x 的二次函数。 2.二次函数的解析式的三种形式
2 (1)一般式(三点式) : y ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,配方后为



其中顶点坐标为

,对称轴为

。 ,对称轴为
2

(2)顶点式(配方式) : y ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ,其中顶点坐标为



(3)两根式(零点式) : y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ,其中 x1 , x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个 根,同时也是二次函数的图像与 x 轴交点 ? x1 ,0?, 0? 的横坐标。 ? x2, (求函数解析式时,一般采用待定系数法)

3.二次函数的图像和性质
2 (1)二次函数 y ? ax ? bx ? c( a ? 0) 的图像是一条

,其对称轴为

,顶点坐标



,开口方向由

决定。

2 (2)二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的单调性以对称轴为分界。

当 a ? 0 时,函数图像开口向

,当 x ? 当x? 当x?

时,函数图像呈上升趋势, 时,函数图像呈下降趋势, 时,函数有最小值。 ymin ? 时,函数图像呈上升趋势, 时,函数图像呈下降趋势, 时,函数有最大值。 ymax ?

当 a ? 0 时,函数图像开口向

,当 x ? 当x? 当x?

(在作二次函数草图时往往抓住:开口方向,对称轴,与 x 轴交点,与 y 轴交点,顶点等)

第1页 共7页

一元二次函数的图象和性质

(3) 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时, 图像与 x 轴有两个交点 M1 ( x1 , 0) ,
2

M 2 ( x2 ,0) ,则 M1M 2 ?
(4)关于二次函数 y ?



f ( x) 的对称轴的判断方法:

x1 ? x2 2 x ? x2 ③若二次函数对应方程为 f ( x) ? 0 两根为 x1 , x2 ,则对称轴方程为: x ? 1 2
①若二次函数对定义域内所有 x ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则其对称轴为 x ? 4.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标 x1, x2 即为方程 ax ? bx ? c ? 0
2

的解;当二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的函数值为 0 时,相应的自变量的值即为方程

ax2 ? bx ? c ? 0 的解。这一结论反映了二次函数与二次方程的关系。
【典例精讲】

题型一:二次函数的解析式的求法
例 1.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 经过点 A(2,-1) ,B(-1,-1)且 f ( x ) 的最大值是 8, 求此二次函数的解析式。

例 2.设二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 满足对称轴为 x ? 2 ,且方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实数 根平方和为 10,图象过点(0,3),求函数的解析式.
2

题型二:二次函数最值问题 2 例 3.求二次函数 y ? 2 x ? 3x ? 5 在 ? 2 ? x ? 2 的最大值与最小值,并求出函数取得最大值和最 小值时所对应的 x 的值。

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一元二次函数的图象和性质

例 4.对于函数 y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 3 ,当 x ? 0 时,求 y 的取值范围。

例 5.

已知函数 y ? ? x 2 ? 8x ,求函数在 t ? x ? t ? 1时的最大值。

2 例 6.已知函数 y ? ? x ? ax ?

a 1 ? 在 0 ? x ? 1 时的最大值是 2,求实数 a 的值. 4 2

【方法归纳】 1. 解二次函数最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为 y ? a( x ? h) ? k 的形式,得顶点
2

( h, k ) 或对称轴方程 x ? h
2. 对含有参数的二次函数在闭区间上的值域与最值问题,主要考虑其对称轴与定义域区间的位 置关系,由此进行分类讨论。

题型三:二次函数的综合应用
例 7.已知函数 y ? x ? 4ax ? 2a ? 6(a ? R) ,若 y ? 0 ,求 a 的取值范围。
2

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一元二次函数的图象和性质

例 8.已知二次函数 y ? ax2 ? bx (a、b 为常数且 a≠0)满足条件:对称轴为 x ? 1 ,且方程

ax2 ? bx ? x 有等根. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? tx(t ? R) 试求 g ( x) 在区间[-1,1 上的最大值。

一元二次函数综合练习题
一、选择题 1、 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示, 有以下结论: ①a ?b ? c ? 0; ② a ? b ? c ? 1;
2

③ abc ? 0 ;④ 4a ? 2b ? c ? 0 ;其中所有正确结论的序号是( ) A.①② B. ①③④ C.①②③ D.①②③④
y 1
?1

y
1 x
-1

O

O 第4题

1

x

第2题
2

第3题

2、二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图,下列判断错误的是( A. a ? 0 B. b ? 0 C. c ? 0 D. b ? 4ac ? 0
2

) )

3 、 二次函数 y ? A.a<0
#xx#k.Com]

ax2

? bx ? c 的图象如图所示,则下列关系式中错误 的是( ..
C. b2 ? 4ac >0 D. a ? b ? c >0

B.c>0
2

4、抛物线 y=ax +bx+c 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如表所示.给出下列说法:① 抛物线与 y 轴的交点为(0, 6); ②抛物线的对称轴是在 y 轴的右侧; ③抛物线一定经过点(3, 0); ④在对称轴左侧, y 随 x 增大而减小. 从表中可知, x ? -3 -2 -1 0 1 ? 下列说法正确的个数有( ) y ? -6 0 4 6 6 ? A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5、抛物线 y ? x ? 2x ? 3 与坐标轴交点为 (
2

) D.三个交点

A.二个交点

B.一个交点
2

C.无交点

6、二次函数 y ? x 的图象向下平移 2 个单位,得到新图象的二次函数表达式是( ) A.y=x -2
2

B.y=(x-2)

2

C.y=x +2

2

D.y=(x+2)

2

第4页 共7页

一元二次函数的图象和性质

7、若二次函数 y=2x -2mx+2m -2 的图象的顶点在 y 轴上,则 m 的值是( A.0 B.±1
2

2

2



C.±2

D.± 2

8、二次函数 y=ax +bx+c 的图像如图所示,则关于此二次函数的下列四个

结论①a<0②a>0③b -4ac>0④ b ? 0 中,正确的结论有(
2

a



A.1 个

B.2 个

C.3 个
2

D.4 个

9、已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论: ① abc ? 0 ②当 x ? 1 时,函数有最大值。③当 x ? ?1或x ? 3 时,函 数 y 的值都等于 0. ④ 4a ? 2b ? c ? 0 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 10、关于二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象有下列命题:①当 c=0 时,函数的图象经过原点; 2 ②当 c>0 时且函数的图象开口向下时,方程 ax +bx+c=0 必有两个不等实根;③函数图象最高点 的纵坐标是 4ac ? b ;④当 b=0 时,函数的图象关于 y 轴对称.其中正确的个数是( 4a A.1 个 B、2 个 C、3 个 D. 4 个
2
2



11、抛物线 y= 1 x 向左平移 8 个单位,再向下平移 9 个单位后,所得抛物线的表达式是(
2



A. y= 1 (x+8) -9 B. y= 1 (x-8) +9
2 2

2

2

C. y= 1 (x-8) -9 D. y= 1 (x+8) +9
2 2

2

2

12、下列关于二次函数的说法错误的是(



A 抛物线 y ? ?2 x 2 ? 3x ? 1 的对称轴是直线 x ?
2

3 ; 4

B 点 A(3,0)不在抛物线 y ? x ? 2x ? 3 的图象上; C 二次函数 y ? ( x ? 2) ? 2 的顶点坐标是(-2,-2) ;
2

D 函数 y ? 2 x ? 4 x ? 3 的图象的最低点在(-1,-5)
2

13、 二次函数 y ? ? x 2 ? 1 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点, 与 y 轴交于点 C, 下列说法错误 的是 ( .. A.点 C 的坐标是(0,1) C.△ABC 是等腰直角三角形 B.线段 AB 的长为 2 D.当 x>0 时,y 随 x 增大而增大



14、在同一直角坐标系中,函数 y ? mx ? m 和函数 y ? ?mx 2 ? 2 x ? 2 ( m 是常数,且 m ? 0 )的 图象可能 是( .. )

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一元二次函数的图象和性质

15、若一次函数 y ? (m ? 1) x ? m 的图象过第一、三、四象限,则函数 y ? mx 2 ? mx ( A.有最大值 m
4



B.有最大值 ? m
4

C.有最小值 m
4

D.有最小值 ? m
4

二、填空 16.已知二次函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 ,则其开口向 最小值为 ,与 x 轴的交点坐标为 ,对称轴为 。 , 顶点坐标为 , ,顶点坐标为 ,

17.已知函数 f ( x) ? 2( x ? m)2 ? 8x ?1 的对称轴为 x ? 1 ? 0 , 则 m? 当 ?2 ? x ? 2 时,最小值为
2

, y 的范围为


f (4) (比较大小)

18.若函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 对称轴为 x ? 2 ,则 f (1)
2

19、已知二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间 ? 2, 3? 内图像呈上升趋势,则实数 a 的取值范围是 20.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 在闭区间 ? 0, m? 上最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围为 21、抛物线 y ? 2 x2 ? 8x ? m 与 x 轴只有一个公共点,则 m 的值为 .

22、已知抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ,若点 p(-2,5)与点 Q 关于该抛物线的对称轴对称,则点 Q 的坐标 是 . 23、二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的部分对应值如下表:二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 图象的对称轴为
x?

, x ? 2 对应的函数值 y ?
x
y

? ?

?3

?2
0

0
?8

1
?9

3
?5

5 7

? ?

7

三、解答题 24、已知抛物线的顶点坐标是(-2,1) ,且过点(1,-2) ,求抛物线的解析式。

25、已知二次函数的图象经过点 A(-3,0) ,B(0,3) ,C(2, -5) ,且另与 x 轴交于 D 点。 (1)试确定此二次函数的解析式; (2)判断点 P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出△PAD 的面积; 如果不在,试说明理由.

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一元二次函数的图象和性质

26、已知二次函数 y ? ? x 2 ? bx ? c 的图象如图所示,它与 x 轴的一个交点坐标为(-1,0) ,与 y y 轴的交点坐标为(0,3) 。 (1)求此二次函数的解析式; 3 (2)根据图象,写出函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围。
-1 O

x

27、已知二次函数 y ? ?

1 2 x ? bx ? c 的图象经过 A(2,0) 、B(0,-6)两点。 2

(1)求这个二次函数的解析式 (2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C,连结 BA、BC,求△ABC 的面积。

y
2 28、如图,已知二次函数 y ? ax ? 4 x ? c 的图像经过点 A 和点 B.

(1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点 P(m,m)与点 Q 均在该函数图像上(其中 m>0) ,且这两点关 于抛物线的对称轴对称,求 m 的值及点 Q 到 x 轴的距离.



1 O


3

A

1

x



9

B

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一元二次函数的图象和性质


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