当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量的正交分解


数学是一种理性的精神, 使人类的思维得以运用到最完善的程度。 克莱因 (美国数学家)

高二数学学案
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
学习目标:掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;掌握空间向 量的坐标运算的规律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直. 学习重点:空间向量基本定理、向量的坐标运算. 学习难点:理解空间向量基本定理. 预习案:
1.空间向量基本定理: ____________________________________________________________ 2 两个向量共线或垂直的判定:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a//b ? ⑵a⊥b ?

推广到空间向量,结论会如何呢? 3、空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在 ? ? ? ? ? ? ?? 有序实数组 {x, y, z} ,使得 p ? xa ? yb ? zc . 把 {a, b, c} 叫做空间的一个基底 叫做基向量. ? 4、空间向量的正交分解:对空间的任意向量 a ,均可分解为不共面 ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? 的三个向量 ?1 a1 、 ?2 a2 、 ?3 a3 ,使 a ? ?1 a1 ? ?2 a2 ? ?3 a3 . 如果 a1 , a2 , a3 两两垂直,这种分解就是空间向量的正交分解. 5、单位正交基底:如果空间一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为 1,则这 个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.
? ? ?
??

单位——

;正交——

? ?

, (? ? R) ?

; .

6、 空间直角坐标系:选取空间一点 O 和一个单位正交基底 i,j,k} 以点 O 为原点, { , 分别以 i,j,k 的方向为正方向建立三条坐标轴:x 轴、 y 轴、z 轴,得到空间直角坐标系 O-xyz, 7、空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设 i、j、k 为坐标 向量,则存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使 a= a1 i+ a2 j+ a3 k. 合作探究: 一、空间向量运算的坐标表示:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= ; ⑵a-b= ; ⑶λ a= ; ⑷a·b= 二、两个向量共线或垂直的判定: ⑴a//b ? a=λ b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , (? ? R) ? ; ⑵a⊥b ? a·b=0 ? 三、向量的模: 夹角公式: ? ? ? ? 思考:当 0< cos a, b <1 时,夹角 a, b 的范围____________
?? ?
当-1< cos a, b <0 时,夹角 a, b 的范围____________ 当 cos a, b =0 时,夹角 a, b 等于___________

3.向量的模长及夹角的坐标公式 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 | a |= a ? a =___________;?

?

?

?

? ?

? ? ? ? a ?b cos〈 a , b 〉= ? ? =______________________. | a || b |

导学案: 自主学习: 1、平面向量的基本定理:
?

2、平面向量的正交分解: 对平面内的任意向量 a , 均可分解为不共线的两个向量 ?1 a1 ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? . 如果 a1 ? a2 时, 和 ?2 a2 , a ? ?a ? 2 使 这种分解就是平面向量的正交分解. 如 11 2a 果取 a1 , a2 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量 i, j ,则存在一对实数 ? ? ? ? x、y,使得 a ? xi ? y j ,即得到平面向量的坐标表示 a ? ( x, y )
?? ?? ? ?

? ?

? ?

??

? ?

? ?

1

两点间距离公式: 中点坐标公式:
试一试:求下面一组向量的夹角的余弦:

1、向量 a =( ?1, 2,3 ) ,则向量 a 的模是( A 14 B

?

?

) D

14
2

C 11

11


? ,, 3 ) ( ? ,1 (1) a ? 23 ,) 0( 、

? b?

b 2、已知 a ? ( x, 2, 2), b ? (2, ? x ,5), f ( x) ? a? . 则 f ( x) 的表达式为(
A、 f ( x) ? 2 x ? 2 x ? 10
2 2

?

?

?? ? ?

例 1、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1B1 , C1D1 的一个四等分点, 求 BE1 与 F1 D 所成角的余弦值;
D1 F1 E1 B1 C1

B、 f ( x) ? 2 x ? 2 x ? 10
2 2

C、 f ( x) ? ?2 x ? 2 x ? 10 D、 f ( x) ? ?2 x ? 2 x ? 10 3、若 a ? (2 x,1,3), b ? (1, ?2 y,9) ,如果 a,b 为共线向量,则( A、 x=1, y=1 B、 x ?

?

?

???

思路启迪:根据图形特点建立空间直角坐标系,再利用空间向量
A1

) D、 x ? ? , y ? ) D、以上都不对

所成角的余弦公式。 解:
D C

1 1 ,y?? 2 2

C、 x ?

1 3 ,y?? 6 2

1 6

3 2

4、已知 A(3,0, ?1), B(0, ?2,0), C (2, 4, ?2) ,则三角形 A B C 是( A、等边三角形 B、 等腰三角形 C、 直角三角形

A

B

5、在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中, AB ? 2, BC ? 1, DD? ? 3 ,则 AC 与 BD? 所成角的余弦值 解题反思:利用空间向量解题一般可以分为哪些步骤?对于任意向量 a 与向量 b 它们所成的夹 角与它们所在直线的夹角有什么关系? 变式练习: 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 E,F 分别是 BB1 , D1 B1 的中点,求证:EF⊥ DA1 。 证明: A、 0 B、

?

?





3 70 70

C、 ?

3 70 70

D、

70 70

6.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a , (1)求 A1 B 和 B1C 的夹角 (2)求证: A1 B ? AC1

D1

C1 B1

A1

D A B

C

练习案:

2


相关文章:
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示练习题含详细答案
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示练习题含详细答案_高二数学_数学_高中教育_...3.1.5 空间向量运算的坐标表示(11 月 26 日)一、选择题 1.对于向量 a,b,...
空间向量的正交分解及其坐标运算表示练习题
空间向量的正交分解及其坐标运算表示练习题_语文_高中教育_教育专区。课时作业(十六) [学业水平层次] 一、选择题 1.设命题 p:a,b,c 是三个非零向量;命题 q...
空间向量的正交分解及其坐标表示导学案
空间向量的正交分解及其坐标表示导学案_数学_高中教育_教育专区。导学案 沾化区第一中学高二数学导学案 编制人:王伟芳 审核人:张延红 使用时间:2015.9. §3.1.4...
空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计_图文
空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计_数学_高中教育_教育专区。《空间向量的正交分解及其坐标表示》 p=xa a p b a p p=xa+yb c a p=xa+yb+zc p b...
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示_数学_高中教育_教育专区。选修 2-1 第二章编写 蒋兴安班级 姓名 课题:§3.1 学习目标: 空间向量的标准正交分解与坐标表示...
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示_高二数学_数学_高中教育_教育专区。3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 [新知初探] 1.空间向量基本定理: 如果三个向量 ...
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案2
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案 2 【学情分析】 : 本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理 这种推广对学生学习已 王新敞 ...
高中数学选修2-1新教学案:3.1.4空间向量的正交分解及其...
高中数学选修2-1新教学案:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 隐藏>> 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【教学目标】 1.掌握空间向量基本定理及其推论,理解...
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案3
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(1) 》教学 案3 教学目标 1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行...
高中数学选修2-1新教学案:3.1.4空间向量的正交分解及其...
高中数学选修2-1新教学案:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示_数学_高中教育_教育专区。3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【教学目标】 1.掌握空间向量基本...
更多相关标签: