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浙江省乐清市国际外国语学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


乐清市国际外国语学校高一年级 2015-2016 学年上学期期中考试数学试题 本试卷两大题 22 个小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★

第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.影部分表示的集合是 A. A ? CU B C. CU ( A ? B) B. CU A

? B D. CU ( A ? B) ( )

A

B

2.已知奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? A.1 B.2 C.-1 D.-2

1 ,则 f (?1) = ( x

)

3.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? ? UB ? A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1}

1, 2, 3, 4, 5, 6?, M ? ? 1, 2, 4? ,则 CU M ? ( ) 4.设集合 U ? ?
A. U

1, 3, 5? B. ?

5, 6? C. ?3,

4, 6? D. ?2,

5 . 定 义 在 [1,??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : ( 1 ) f ( 2 x) ? 2 f ( x ) ; (2)当 2 ? x ? 4 时,

f ( x) ? 1 ? x ? 3 .则集合 A ? {x f ( x) ? f (61)} 中的最小元素是(
A.13 B.11 C.9 D.6



6.如图,函数 y ? f ( x) 的图象为折线 ABC,设 g ( x) ? f ? f (x) ? 则函数 y ? g ( x) 的图象为 ( )

n ?n x ? R x ? f (n), n ? N * ? f ( n ) ? i ? i 7.设 ,则集合

?

?

A.

?i?

B.

?i, ?i?

C.

?2i?

D. ? )

1,2,3,4,5?,集合 M ? ? 1,4?, N ? ? 1,3,5?,则 N ? ?CU M ? ? ( 8.设全集 U ? ?
1,3? A. ? 1,5? B. ?
C. ?3,5? D. ?4,5?

9.已知集合 M ? ( x, y ) y ? k ( x ? 1) ? 1, x, y ? R ,集合 N ? ( x, y ) x ? y ? 2 y ? 0 ,
2 2

?

?

?

?

那么 M ? N 中 A.不可能有两个元素 C.不可能只有一个元素

(

) B.至多有一个元素 D.必含无数个元 )

10.偶函数 y ? f ( x) 在区间上单调递减,则有( A. f (?1) ? f ( ) ? f (?? ) B. f ( ) ? f (?1) ? f (?? )

?

?

3

3

C. f (?? ) ? f (?1) ? f ( ) D. f (?1) ? f (?? ) ? f ( )

? ?

3 3

11.已知集合 A ? ??1,1? , B ? x 1 ? 2 x ? 4 ,则 A ? B 等于( A. ??1, 0,1? B. ?1? C. ??1,1?

?

?

) D. ?0,1? ) D. {x x ? ?1 }

2 12.若集合 M ? {x x ? 1 ? 0} , N ? {x x ? 2},则 M ? N ? 为 (

A. {x 1 ? x ? 2}

B. {x ? 1 ? x ? 2}

C. {x 1 ? x ? 2或x ? ?1 }

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.设 A ? B ? {1,2,3,4,5},3 ? A ? B, ,则符合条件的 ( A, B) 共有_______组( A, B 顺序 不同视为不同组) 14 . 如 果 对 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) , 对 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , 都 有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x) 为 “H 函数”.给出下 列函数
① y ? ? x3 ? x ? 1 ; ② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ; ③ y ? ex ? 1 ; ④ f ( x) ? ? 上函数是“H 函数”的所有序号为 .

?ln | x |, x ? 0 . 以 ? 0, x ? 0

15 .已知函数 y ? log a ( x ? 4) ? 1 ( a > 0 ,且 a ? 1 )的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线
mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m ? 0 , n ? 0 ,则

1 3 ? 的最小值为__________. m n

16. 设 a 为实常数,y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 9 x ? 若 f ( x ) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围是 .

a2 ?7. x

三、解答题(70 分) 17. (本小题满分 12 分)

1 2 A ? {x | ( ) x ? x ?6 ? 1}, B ? {x | log 4 ( x ? a ) ? 1}, 若A ? B ? ? 2 已知集合 ,
求实数 a 的取值范围。 18.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值; (2)利用定义判断函数 y ? f ( x) 的单调性; (3)若对任意 t ?[0,1] ,不等式 f (2t ? kt ) ? f (k ? t ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

2x ? b 是奇函数. 2x ? a

19. 已知函数 f ?x ? 对一切 x, y ? R , 都有 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? , 且 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 ,

f (1) ? ?2 。
(1)求证: f ?x ? 是奇函数。 (2)判断 f ?x ? 的单调性,并说明理由。 (3)求 f ?x ? 在 [?3,3] 上的最大值和最小值。

20.设函数

f ( x) ?

2x ? a (a ? 2) x ?1 .

(1)用反证法证明:函数 f ( x) 不可能为偶函数; (2)求证:函数 f ( x) 在 (??, ?1) 上单调递减的充要条件是 a ? 2 . 21. (本题满分 12 分)已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 4 x, 且 f (0) ? 1, (1)求二次函数 f ( x ) 的解析式. (2)求函数 g ( x ) ? ? ?

?1? ?2?

f ( x)

的单调增区间和值域 .

22.已知全集 U ? ?0,1,2,3,4,5,6?,集合 A ? x ? N 1 ? x ? 4 ,

?

?

B ? x ? R x 2 ? 3x ? 2 ? 0

?

?

(1)用列举法表示集合 A 与 B; (2)求 A ? B 及 CU ( A ? B) .

参考答案 1_5ADBCB 6_10ADCCA 11_12BC

13、解:因为 A ? B ? {1,2,3,4,5},3 ? A ? B, ,那么说明了 A 中元素最少为一个 3,最多给 1,2,3, ,4,5 个元素,对应的集合 B 中的元素随便即可元素都可以,因此分类讨论, 可知所有的情况就是 81 种。 14.②③ 试 题 分 析 : ∵ 对 于 任 意 给 定 的 不 等 实 数 x1 , x2 , 不 等 式

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) 恒成立,
∴不等式等价为 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,即函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数. ① y ? ? x ? x ? 1 ; y ? ?3x ? 1,则函数在定义域上不单调.
3 ' 2
' ② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ; y ? 3 ? 2(cos x ? sin x) ? 3 ? 2 2 sin( x ?

?
4

) ? 0 ,函数单调

递增,满足条件. ③ y ? e ? 1 为增函数,满足条件.
x

④f(x)= 不满足条件.

.当 x ? 0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,

综上满足 “H 函数”的函数为②③, 故答案为:②③. 考点:函数单调性的性质. 15.12

16. a ? ?

8 7

试题分析: 因为 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时,

f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?9 x ?
一切 x ? 0 成立

a2 a2 a2 ? 7] ? 9 x ? ? 7 ,因此 0 ? a ? 1 且 9 x ? ? 7 ? a ? 1 对 x ?x x

8 a2 8 所以 a ? ?1 且 2 9 x ? ? 7 ? a ? 1 ? ?6a ? 7 ? a ? 1 ? a ? ? ,即 a ? ? . 7 x 7
考点:函数奇偶性,不等式恒成立 17.

1 2 由A ? {x | ( ) x ? x ?6 ? 1}得A ? {x | x ? 3或x ? ?2} 2 试题分析: (1) ??3 分

?x ? a ? 0 由B ? {x | log 4 ( x ? a ) ? 1}得 ? ?x ? a ? 4 ??a ? x ? 4 ? a即B ? {x | ?a ? x ? 4 ? a} 又 ? A ? B ? ? , 再结合右图 ??a ? ?2 ?? 解得1 ? a ? 2, 即a ? [1, 2] ?4 ? a ? 3

??12

-2 –a

4-a 3

考点:本题考查了集合的运算 点评: 解决含参数不等式与集合问题, 合理运用数轴来表示集合是解决这类问题的重要技巧 18.(1) ?

?a ? 1 (2)? y ? f ( x)在R上为增函数 (3)? k ? 0 b ? 1 ?

? 1? b 1? b ? ? 1? a ? 0 ?0 ? ?a ? 1 ? f (0) ? 得? ?? 试题分析:解: (1) ? (需验证)4 分 1? a 1 1 b ?1 ? ? ? ? ? f (?1) ? ? f (1) ? ? a ? 2 2a ? 1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0? f ( x1 ) ? f ( x2 )
2(2 x1 ? 2 x2 ) (其它解法酌情给分) ? x (2 1 ? 1)(2 x2 ? 1)

??2t 2 ? kt ? t 2 ? k ?k (t ? 1) ? ?t 2 t ? 0 ? f (2t 2 ? kt ) ? f (k ? t 2 ) ? 0 x (2)由(Ⅰ)知
f ( x) ? 2x ? 1 , ?x1、x2 ? R,且x1 ? x2 2x ? 1

2x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? 2 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x2, ?2x1 ? 2x2 ?2x1 ? 2x2 ? 0,2x1 ?1 ? 0,2x2 ?1 ? 0
? y ? f ( x)在R上为增函数 9 分
(求导数方法酌情给分) (3)? f (2t ? kt ) ? ? f (k ? t )
2 2

? f ( x)是奇函数?? f (k ? t 2 ) ? f (t 2 ? k ) ? f (2t 2 ? kt ) ? f (t 2 ? k )
? f ( x) 为增函数 10 分

t2 t2 ? t ? ? 0.1?? t ? 1? ?1, 2?? k ? ? 恒成立 ? -k ? t ?1 t ?1 t2 (t 2 ? 1) ? 1 (t 2 ? 1) 1 1 1 ? ? ? ? t ?1? ? t ?1? ? 2 ? 2 1 ? 2 ? 0 12 分 t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 t ?1
当且仅当时等号成立。? ( 考点:函数单调性 点评: 主要是考查了函数单调性的定义和单调性的运用求解不等式的恒成立问题, 属于基础 题。 19. (1)详见解析; (2)单调递减; (3)最大值为 6,最小值为-6

t2 ) min ? 0 ? k ? 0 14 分 t ?1

试题分析: (1)令 x=y=0,则得 y=-x, 则

=0,因为

所以令

,所以 f ?x ? ? ? f ?? x ? ,由奇函数的定义可知



奇函数; (2)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) 因为 x>0 时 <0,所以 在 ,由减函数的定义可知, 上递减,所以最大值为 , 即可求出在 为 ,最小

减函数; (3)利用(2)的单调性可知 值为 , 由于

上的最大值和最小值. 试题解析:(1)证明:因为 因为 则 所以 所以 为奇函数. =0, 所以令 y=-x,

(2)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) 因为 x>0 时 所以 <0,所以 ,

为减函数。 在 上递减,所以最大值为 , 上的最大值为 6,最小值为-6. ,最小值为 .

(3)由(2)可知 因为 所以函数在

考点:1.函数的单调性;2.函数的奇偶性;3.函数的最值. 20.(1)祥见解析;(2) 祥见解析. 试题分析:(1)反证法证明的一般步骤是:先假设结论不正确,从而肯定结论的反面一定成 立,在此基础上结合题目已知条件,经过正确的推理论证得到一个矛盾,从而得到假设不成 立,所以结论正确;此题只需假设假设函数 f ( x) 是偶函数,既然是偶函数,则对定义域内

的一切 x 都有 f (? x) ? f ( x) 成立,那么我们为了说明假设不成立,即 f (? x) ? f ( x) 不可 能成立,只需任取一个特殊值代入检验即可; (2)由于是证明函数 f ( x) 在 (??, ?1) 上单调 递减的充要条件是:a ? 2 ;应分充分性和必要性两个方面来加以证明,先证充分性:a ? 2

? 来证明 f ( x) ? 0, x ? (??,?1) 一定成立;再证必要性:由函数 f ( x) 在 (??, ?1) 上单调递减

?

f ?( x) ?

2?a ?0 ( x ? 1) 2 在 (??, ?1) 上恒成立,来证明 a ? 2 即可,注意已知中的 a ? 2 这

一条件. 试题解析:(1)假设函数 f ( x) 是偶函数, 分 2

?4 ? a 4 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 , 则 f (?2) ? f (2) ,即 ?1
这与 a ? 2 矛盾,所以函数 f ( x) 不可能是偶函数.

4分 6分

f ( x) ?
(2)因为

2?a 2x ? a f ?( x) ? ( x ? 1) 2 . x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 2?a ?0 ( x ? 1) 2 ,

8分

①充分性:当 a ? 2 时,

所以函数 f ( x) 在 (??, ?1) 单调递减; ②必要性:当函数 f ( x) 在 (??, ?1) 单调递减时,

10 分

f ?( x) ?


2?a ?0 ( x ? 1) 2 ,即 a ? 2 ,又 a ? 2 ,所以 a ? 2 .

13 分 14 分

综合①②知,原命题成立.

(说明:用函数单调性的定义证明的,类似给分;用反比例函数图象说理的,适当扣分) 考点:1.反证法;2.函数的单调性;3.充要性的证明. 21. (1)f(x)=2x -2x+1; (2)单调增区间为 ( ??, ) ,函数的值域为 ? 0,
2

1 2

? ?

2? ? 2 ?

试题分析: (1)利用待定系数法即可求 f(x)的解析式; (2)设 t=f(x) ,利用复合函数单 调性之间的关系即可,求函数 g(x)的单调增区间.

试题解析: (1)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0) . ∵f(0)=1,∴c=1.把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=4x,有 a(x+1) +b (x+1)+1-(ax +bx+1)=4x. ∴2ax+a+b=4x.∴a=2,b=-2. ∴f(x)=2x -2x+1.
2 2 2

2

?1? (2) g ( x ) ? ? ? ?2? ?1? g ( x) ? ? ? ?2?
f ( x)

f ( x)

?1? ?? ? ?2?

1 1 2( x ? )2 ? 2 2

的单调增区间为 ( ??, ) ,

1 2

函数的值域为 ? 0,

? ?

2? ?. 2 ?

1,2?; 22.( 1 ) A ? ?2,3,4?, B ? ? (2) A ? B ? ?2? , CU ( A ? B) ? ?0,5,6?.
试题分析: ( 1) 集 合 的 交 、 并 、 补 运 算 是 集 合 的 基 础 , 在 本 题 中 第 中 涉 及 到 的 集 合 的 表 示 主 要 是 看 清 楚 集 合 中 元 素 的 取 值 范 围 然 后 把 集 合 化 简 即 : A ? ?2,3,4?,

B ?? 1,2?; 1,2,3,4? (2) 求集合的多成运算要逐一求解, 例如求 CU ( A ? B) 要先求 A ? B ? ?
再求最总结果. 试题解析: (1) A ? x ? N 1 ? x ? 4 ? ?2,3,4?, B ? x ? R x ? 3x ? 2 ? 0 ? ? 1,2? ,所以
2

?

?

?

?

1,2?. 用列举法表示集合 A 与 B 为: A ? ?2,3,4?, B ? ? 1,2,3,4? 由(1)可得: A ? B ? ?2? , A ? B ? ?
又因为 U ? ?0,1,2,3,4,5,6?,所以 CU ( A ? B) ? ?0,5,6?


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