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2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1学业分层测评2.5 圆锥曲线的共同性质 Word版含解析


学业分层测评(十二)圆锥曲线的共同性质
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 x2 1.双曲线 2 -y2=1 的右准线方程是________. 【解析】 由方程可知 a2=2,b2=1,∴c2=3,即 c= 3.

a2 2 3 故双曲线的右准线方程是 x= = . c 3 【答案】 2 3 x= 3

1 2.已知椭圆的离心率为2,准线方程为 x=± 4,则椭圆的长轴长为________. 【解析】 【答案】 c 1 a2 c a2 1 由a=2, c =4,得 a=a× c =2×4=2,故长轴长为 2a=4. 4

3.方程 x- 2y2 = 0 表示的曲线为 ________,焦点为 ________,准线方程为 ________. 1 【解析】 化方程为标准形式 y2=2x,表示焦点在 x 正半轴上的抛物线,焦 1 ?1 ? 点坐标为?8,0?,准线 x=-8. ? ? 【答案】 抛物线 ?1 ? ?8,0? ? ? 1 x=-8

1 4.已知椭圆的两条准线方程为 y=± 9,离心率为3,则此椭圆的标准方程为 ________. 【导学号:24830056】 a2 ? ? c =9 ?a=3, ?? ?c=1.

【解析】

由题意得?

? ?a=3

c

1

从而 b2=a2-c2=9-1=8,

y2 x2 ∵椭圆的焦点在 y 轴上,∴所求方程为 9 + 8 =1. 【答案】 y2 x2 9 + 8 =1

5.已知椭圆两准线间的距离为 8,虚轴长为 2 3,焦点在 x 轴上,则此椭圆 标准方程为________. 【解析】 a2 依题得: c =4,∴a2=4c.

又∵2b=2 3,∴b= 3,b2=3. ∴b2+c2=4c,∴c2-4c+3=0,(c-3)(c-1)=0, ∴c=3 或 c=1. x2 y2 当 c=3 时,a2=12.椭圆方程为12+ 3 =1. x2 y2 当 c=1 时,a2=4,椭圆方程为 4 + 3 =1. 【答案】 x2 y2 x2 y2 4 + 3 =1 或12+ 3 =1

x2 y2 6.如果双曲线16- 9 =1 上的一点 P 到左焦点的距离是 10,那么 P 到右准线 的距离为________. 5 【解析】 由双曲线方程知 a2=16,b2=9,故 c2=25,所以 e=4,由双曲 线定义知 P 到右焦点的距离为 10± 8=2 或 18, 4 8 4 72 由圆锥曲线的统一定义知,P 到右准线的距离为 2×5=5或 18×5= 5 . 【答案】 8 72 5或 5

x2 y2 7.椭圆 + =1 上一点 M,到焦点 F(0, 7)的距离为 2 7,则 M 到椭圆上 9 16 方准线的距离是________. 【解析】 ∵a2=16,a=4,b2=9,b=3,∴c2=7,c= 7.

c 7 MF 7 ∴e=a= 4 ,设所求距离为 d,则 d = 4 ,

∴d=

2 7 =8. 7 4 8

【答案】

x2 8.已知椭圆a2+y2=1(a>0)的一条准线与抛物线 y2=-10x 的准线重合,则 椭圆的离心率为________. 【导学号:24830057】 【解析】 5 x2 2 抛物线 y =-10x 的准线方程是 x=2.由题意知,椭圆a2+y =1
2

5 5 a2 5 5 的一条准线方程为 x=2,即右准线方程为 x=2,故 c =2,∴a2=2c,∵b=1, 5 1 ∴c2+1=2c,解得 c1=2,c2=2. 5 2 当 c=2 时,a2=2c=5,a= 5,∴e=5 5; 1 5 5 5 5 当 c=2时,a2=2c=4,a= 2 ,∴e= 2 . 【答案】 二、解答题 x2 y2 9.已知椭圆25+16=1, P 为椭圆上一点, F1、 F2 为左、 右两个焦点, 若 PF1∶ PF2=2∶1,求点 P 的坐标. 【解】 设点 P 的坐标为(x,y). x2 y2 ∵椭圆25+16=1,∴a=5,b=4,c=3. 3 25 ∴e= ,准线方程为 x=± . 5 3 3? 25? 3 由圆锥曲线的统一定义知 PF1=ed1=5?x+ 3 ?=5x+5, ? ? 3?25 ? 3 PF2=ed2=5? 3 -x?=5-5x. ? ? 3 ? ?3 ? ? ∵PF1∶PF2=2∶1,∴?5x+5?∶?5-5x?=2∶1, ? ? ? ? 5 2 2 或5 5

25 8 解得 x= 9 ,代入椭圆的方程得 y=± 9 14. 8 ?25 8 ? ?25 ? ∴点 P 的坐标为? 9 ,9 14?或? 9 ,-9 14.? ? ? ? ? 5 10.求中心在原点,长轴在 x 轴上,一条准线方程得 x=3,离心率为 3 的椭 圆方程. 【解】 x2 y2 方法一:设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0). a2 ? ? c =3, ?a= 5, ? 所以? 5 c= , ? ? 3

由题意得?

? ?a= 3 ,

c

5

20 ∴b2=a2-c2= 9 . x2 9y2 ∴所求椭圆的方程为 5 + 20 =1. 方法二:设 M 为椭圆上任意一点,其坐标为(x,y). ?5 ? 由法一知,准线 x=3 对应的焦点为 F?3,0?. ? ? MF 5 由圆锥曲线的统一定义得 d = 3 . ? 5?2 2 ?x-3? +y ? ? 5 = 3 ,化简得 4x2+9y2=20. |3-x|



x2 9y2 ∴所求椭圆的方程为 5 + 20 =1. [能力提升] 1 1.已知点 M(x,y)满足 ?x-1?2+y2=2|x-3|, 则 M 点的轨迹是________. 【解析】 ?x-1?+y2 1 由题意得 =2,所以 M 到定点(1,0)和定直线 x=3 的 |x-3|

1 距离之比为定值2,∴M 的轨迹是椭圆. 【答案】 椭圆

x2 y2 2.设椭圆m2+ 2 =1(m>1)上一点 P 到左焦点的距离为 3,到右焦点的距 m -1 离为 1,则 P 到右准线的距离为________. x2 y2 【解析】 由题意得 2m=3+1,m=2,故椭圆的方程是 4 + 3 =1,该椭圆 1 1 1 的离心率是2,设点 P 到右准线的距离等于 d,由圆锥曲线的统一定义得d=2,d =2,即点 P 到右准线的距离等于 2. 【答案】 2

x2 y2 3.设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)恒过定点 A(1,2),则椭圆的中心到准线的距 离的最小值为________. 【解析】
2

1 4 ∵A(1,2)在椭圆上,∴a2+b2=1,

2 4 4a2 a2 a4 a4 ?a ?2 a ∴b = 2 ,则中心到准线距离 c 的平方为? c ? =c2 = 2 = 4a2 = ? ? a -1 a -b2 2 a- 2 a -1

a4-a2 . a2-5 令 a2-5=t>0, ?t+5?2-?t+5? 20 f(t)= = t + t t +9≥9+4 5. 20 当且仅当 t= t 时取“=”, a2 ∴ c ≥ 9+4 5= 5+2,
2 ?a ? ∴? c ?min= 5+2. ? ?

【答案】

5+2

x2 y2 4.已知 A(4,0),B(2,2)是椭圆25+ 9 =1 内的两个点,M 是椭圆上的动点. (1)求 MA+MB 的最大值和最小值. 5 (2)求 MB+4MA 的最小值. 【解】 x2 y2 (1)由25+ 9 =1 知,a=5,b=3,∴c=4.

∴点 A(4,0)为椭圆的右焦点,则其左焦点为 F(-4,0). 又∵MA+MF=2a=10, ∴MA+MB=10-MF+MB. ∵|MB-MF|≤BF= ?-4-2?2+?0-2?2=2 10, ∴-2 10≤MB-MF≤2 10. 故 10-2 10≤MA+MB≤10+2 10. 即 MA+MB 的最大值为 10+2 10,最小值为 10-2 10. 25 (2)由题意椭圆的右准线为 x= 4 ,设 M 到右准线的距离为 MN,由椭圆的统 MA 4 一定义知MN=e=5, 5 5 ∴4MA=MN,MB+4MA=MB+MN,易知 25 17 当 B,M,N 共线时,MB+MN 最小,最小值为 4 -2= 4 ,此时 M 的坐标 ?5 5 ? 为? ,2?. ? 3 ?


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