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3.1.1椭圆及其标准方程第二课时


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复习回顾 满足以下条件的动点的轨迹叫做椭圆? ? [1]平面上----这是大前提 ? [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之 和是常数 2a ? [3]常数 2a 要大于焦距 2c

MF1 ? MF2 ? 2a ? 2c
4





平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
y P

y F2
P x

不 同 点




F1
O

F2

x

O

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

a2-c2=b2 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

写出适合下列条件的椭圆的标准方程
[1] a=4,b=1,焦点在 x 轴

[2] a=4,c=

15 ,焦点在

y 轴上

[3]a+b=10,c=2

5

求一个椭圆的标准方程需求几个量? 答:两个。a、b或a、c或b、c 注意:“椭圆的标准方程”是个专有名词, 就是指上述的两个方程。形式是固定的。
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[1] 椭圆的标准方程有几个? 答:两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程,怎样判断焦点在哪个轴上

答:在分母大的那个轴上。 [3] Ax 2 ? By 2 ? C 什么时候表示椭圆?
答:A、B、C同号且AB不相等时。

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例、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),并且经过点(5/2,-3/2),求它的标准 方程。

? 例2、已知椭圆经过点(
方程。

6 , 3

3

) 和点( 2 2 ,1),求椭圆的标准
3

1 1 15 ? 练习:已知椭圆经过( 3 , )( , 4)两点, 2 2

求椭圆标准方程。

例3 平面内有两个定点的距离是8,写出到 这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。 解:[1]判断:①和是常数;②常数大于两个 定点之间的距离。故,点的轨迹是椭圆。 [2]取过两个定点的直线做 x 轴,它的 线段垂直平分线做 y 轴,建立直角坐标系, 从而保证方程是标准方程。

[3]根据已知求出a、c,再推出a、b写 出椭圆的标准方程。
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[2] 已知三角形ABC的一边 BC 长为6,周 长为16,求顶点A的轨迹方程
x y 答: ? ? 1 ( y ? 0) 25 16
2 2

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变式1:已知B(-3,0),C(3,0),CA,BC,AB的 长组成一个等差数列,求点A的轨迹方程。 变式2:在△ABC中, B(-3,0),C(3,0),
sin B ? sin C ? 2sin A

求A点的轨迹方程。 变式3:已知圆A:(x+3)2+y 2=100, 圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A 内切,求圆心P的轨迹方程。

例4、如图,在圆

x ?y
2 2

2

? 4上任取一点P,过点P作

x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,
线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么? 分析:点P在圆

x ?y

2

? 4上运动,点P的运动引

起点M运动。 解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则
x=x0,y=y0/2.

因为点P (x0,y0)在圆

x0 ? y 0


2

2

x ?y
2

2

? 4 上,所以

?4

把x0=x,y0=2y代入方程(1),得

x ? 4y
2

2

?4

x
4

2

?

y

2

?1

所以点M的轨迹是一个椭圆。

? 变式、当点P在原x2+y2=4上运动时,Dp垂直X轴, 垂足为D,点M在Dp的延长线上,且DM:DP=3: 2,求M 的轨迹方程,并说明轨迹的形状,与例2 比,你有什么发现。

练习与小结:
x y [1]椭圆 ? ? 1 上一点P到一个焦 25 16
点的距离等于3,则它到另一个焦点的距
2 2

离是(
A.5


B.7 C.8 D.10

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1、椭圆 的焦距为2,则m的值为 ( A) A、5或3 B、5 C、8 D、16 2、若方程x2+Ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆, 则实数K的取值范围是( )D A、(0、+∞) B、(0、2) C、(1、+∞) D、(0、1)

x2 y2 ? ?1 m 4


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