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一元二次不等式及其解法


一元二次不等式及其解法
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
高中数学 通用 一元二次不等式的解法 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2.掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。 3.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力。

适用年级 课时时长(分钟)

高中二年级 60

教学重点 教学难点

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;熟练掌握一元二次不等式的解法. 理解二次函数、 一元二次方程与一元二次不等式解集的关系,设计求解一元二次不等式的程序框 图。

1

教学过程
一、课堂导入

问题:一元二次不等式的解法都要有哪些?

2

二、复习预习
1.复习:一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与相应的函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 、 相应的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间有 什么关系? 2.归纳解一元二次不等式的步骤: (1)二次项系数化为正数; (2)解对应的一元二次方程; (3)根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图; (4)写出不等式的解集.

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三、知识讲解
考点 1 一元二次不等式的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式。比如: 任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式: 或 . .

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考点 2 一元二次不等式的解法
一元二次不等式 图象在 轴上方部分对应的横坐标 或 值的集合为不等式 的解集可以联系二次函数 的解集,图象在 的图象, 轴下方部分对应的横坐标 值

的集合为不等式 注意:(1)一元二次方程

的解集. 的两根 是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线

与 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为 正的形式,然后讨论解决; (3)解集分 三种情况,得到一元二次不等式 与 的解集。

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设一元二次方程 表:

的两根为





,则相应的不等式的解集的各种情况如下

二次函数 ( )的图象

有两相异实根

有两相等实根 无实根

6

考点 3 一元二次不等式的解法的求解步骤
(1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程 ① ② ③ 时,求出两根 时,求根 时,方程无解 ,且 ; ,计算判别式 :

(注意灵活运用因式分解和配方法);

(3)根据不等式,写出解集.

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四、例题精析
考点一解一元二次不等式 例 1 解不等式 的解集。

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【规范解答】方法一: 因为 所以方程 函数 的两个实数根为: 的简图为: ,

因而不等式 方法二:

的解集是

.

或 因而不等式 的解集是 .

解得



,即



.

【总结与反思】转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答.
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考点二已知一元二次不等式的解集求待定系数 例 2 不等式 的解集为 ,求关于 的不等式 的解集。

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【规范解答】由题意可知方程 由韦达定理有 ∴ 化为 ,

的两根为 ∴ ,即 ,



,解得



故不等式

的解集为

.

【总结与反思】二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的 方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点是解此类题的关键。

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考点三二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于 x 的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。

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【规范解答】(1)当 m2+4m-5=0 时,m=1 或 m=-5 若 m=1,则不等式化为 3>0, 对一切实数 x 成立,符合题意。 若 m=-5,则不等式为 24x+3>0,不满足对一切实数 x 均成立,所以 m=-5 舍去。 (2)当 m2+4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时, 由此一元二次不等式的解集为 R 知,抛物线 y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3 开口向上,且与 x 轴无交点,

所以

, 即

, ∴ 1<m<19。

综上所述,实数 m 的取值范围是{m|1≤m<19}。 【总结与反思】情况(1)是容易忽略的,所以当我们遇到二次项系数含有字母时,一般需讨论。

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五、课堂运用
【基础】 1、若 ax2+bx-1<0 的解集为{x|-1<x<2},则 a=________,b=________.

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【规范解答】根据一元二次不等式的解公式可知,-1 和 2 是方程 ax2+bx-1=0 的两个根,考虑韦达定理. 解根据题意,-1,2 应为方程 ax2+bx-1=0 的两根,则由韦达定理知
? b ? ? ( ?1) ? 2 ? 1 ? 1 1 ? a 得 a ? ,b ? ? . ? 2 2 ?? 1 ? ( ?1) × 2 ? ?2 ? ? a

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2、设全集 U=R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a 是常数),且 11∈B,则() A.( UA)∩B=RB.A∪( UB)=RC.( UA)∪( UB)=RD.A∪B=R

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【规范解答】由 x2-5x-6>0 得 x<-1 或 x>6,即 A={x|x<-1 或 x>6}由|x-5|<a 得 5-a<x<5+a,即 B ={x|5-a<x<5+a} ∵11∈B,∴|11-5|<a 得 a>6∴5-a<-1,5+a>11 ∴A∪B=R.答案 D.

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【巩固】 1、 (Ⅰ)关于 x 的不等式 sin x cos x ? m 2 ?
m ? 1 的解集是 R 2

(Ⅱ)函数 f ( x) ? ?(7 ? 3m) x 是减函数若这两个命题都是真命题,求 m 的取值范围.

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即2m 2 ? m ? 1 ? 0 【规范解答】由(Ⅰ)知 2m 2 ? m ? 2 ? ?1 (2m ? 1)(m ? 1) ? 0 1 ?1 ? m ? 2
由(Ⅱ)知 7 ? 3m ? 1 , m ? 2
1 ∴所以的取值范围是 ( ?1, ) 2

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2、已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若任意的 a、b ? [?1,1] ,当 a ? b ? 0 时 ,总有 (1) 、判断函数 f ( x) 在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论; (2) 、解不等式: f ( x ? 1) ? f (
1 ) ; x ?1

f (a) ? f (b) ? 0. a?b

(3) 、若 f ( x) ≤ m2 ? 2 pm ? 1 对所有的 x ? [?1,1] 恒成立,其中 p ? [?1,1] ( p 是常数) ,求实数 m 的取值范围.

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【规范解答】 (1) f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数,证明如下: 任取 x1、x2 ???1,1? ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,于是有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? ? 0, x1 ? x2 x1 ? (? x2 )

而 x1 ? x2 ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数
? ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 ??2 ≤ x ≤ 0 ? ? 1 ? (2)由 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数知: ??1 ≤ ≤ 1 ? ? x ≥ 2, 或x ≤ 0 ? ?2 ≤ x ? ? 2 , x ?1 ? ? ? x ? ? 2, 或1 ? x ? 2 ? 1 x ? 1 ? ? x ?1 ?

故不等式的解集为 x ?2 ≤ x ? ? 2 . (3)由(1)知 f ( x) 最大值为 f (1) ? 1 ,所以要使 f ( x) ≤ m2 ? 2 pm ? 1 对所有的 x ? [?1,1] 恒成立, 只需 1≤ m2 ? 2 pm ? 1 成立,即 m(m ? 2 p) ≥ 0 成立. ① 当 p ? [?1, 0) 时, m 的取值范围为 (??, 2 p] ? [0, ??) ; ②当 p ? (0,1] 时, m 的取值范围为 (??, 0] ? [2 p, ??) ; ② p ? 0 时, m 的取值范围为 R.
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?

?

【拔高】 1、已知 m ? R ,设命题 P:不等式 x ? x ? 1 ? m 的解集是 R ,命题 Q:函数 f ?x? ? log2 x2 ? 2x ? m 的定义域是 R 。如果 P 或 Q 为真命题,P 且 Q 为假命题,求 m 的取值集合.

?

?

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【规范解答】 P : ? x ? x ?1 ? x ? x ?1 ? 1又不等式 x ? x ?1 ? m 的解集为 R ? m ? 1
Q : ? f ( x) ? log( x2 ? 2x ? m) 的定义域为 R

? 当 x ? R 时 x 2 ? 2 x ? m ? 0 恒成立.

即 ? ? 0 解得 m ? ?1

? m ?1 ? m ?1 由题意知 P、Q 中恰有一个为真命题即 ? 或? ?m ? ?1 ?m ? ?1
解得: ?1 ? m ? 1 ?m 的取值范围为: ?1 ? m ? 1

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1 2、设 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,对于任意正实数 m, n 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0, f ( ) ? ?1 . 2

(1)求 f (2) 的值; (2).求证: f ( x) 在 (0,??) 上是增函数; (3)解关于的不等式 f ( x) ? 2 ? f (
p ) ,其中 p ? ?1 x?4

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1 1 【规范解答】(1)令 m ? n ? 1; 得f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0 而f (1) ? f (2 * ) ? f (2) ? f ( ) ? f (2) ? 1 ? 0 ? f (2) ? 1 2 2

(2)设 0 ? x1 ? x2 ,则

x2 x x x ? 1 ,? f ( 2 ) ? 0 f ( x2 ) ? f ( 2 * x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) x1 x1 x1 x1

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在区间 ?0,???上单调递增??5? (3)由 f (2) ? 1, 得2 ? f (2) ? f (2) ? f (4) ,又 f ( x) ? 2 ? f (
4p ? ?x ? x ? 4 ? 又由(2)知, f ( x) 在 ?0,??? 为单调递增函数? ? ? 4p ? ?0 ?x ? 4
p 4p ) ? 原不等式可化为 f ( x) ? f ( ) x?4 x?4

1 当p ? 0时,由 ○

2 4p 4p ? 0得x ? 4 ? 不等式 x ? 可化为 x ? 4 x ? p ? 0(*) x?4 x?4

此时 ? ? 16 ? 16p ? 0(*)式得解为 x ? 2 ? 2 1 ? p或x ? 2 ? 2 1 ? p 又x ? 4 ?不等式的解为 x ? 2 ? 2 1? p

?p ? 0 4p 4p ? ? 0不成立 ,? 不等式的解集为空集○ ? 0得x ? 4 2 当p ? 0时,由 3当 ? 即 ? 1 ? p ? 0时, 由 ○ x?4 x?4 ?? ? 0 ?

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? 不等式 x ?

2 4p 可化为 x ? 4 x ? p ? 0(*) , x?4

解之得 2 ? 2 1 ? p ? x ? 2 ? 2 1 ? p

-------------------11’

综上: 当 p ? 0时, 原不等式得解集为 ?2, ? ?? 当 p ? 0时, 原不等式得解集为 ? 当 p ? 0时, 原不等式得解集为 2 ? 2 1 ? p ,2 ? 2 1 ? p

?

?

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课程小结
对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步: ①定号:对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向; ②求根:求相应方程的根。当无法判断判别式与 0 的关系时,要引入讨论,分类求解; ③定解:根据根的情况写出不等式的解集;当无法判断两根的大小时,引入讨论。

熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础,对最高项含有字母系数的不等式,要注意按字母的取值情况进行分 类讨论,分类时要“不重不漏”。

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