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宁夏银川市唐徕回民中学2015届高考数学三模试卷(理科)


宁夏银川市唐徕回民中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则 A∩B=( ) A. (﹣∞,2] B. C. D.

2.如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应

的向量分别是



,则|z1+z2|=(

)

A.2

B.3

C.2

D.3

3.已知双曲线
2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= ) B.

x,它的一个焦点在抛物

线 y =48x 的准线上,则双曲线的方程为( A.

C.

D.

4.已知向量 =(sin(α+ A.1

) ,1) , =(1,cosα﹣ C.

) ,若 ⊥ ,则 sin(α+ D.﹣ ) D.﹣2

)等于(

)

B.﹣1

5.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( A.1 B.2 C.﹣1

6.设不等式组

所表示的区域为 M,函数 y=

的图象与 x 轴所围成的区

域为 N,向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

7.下列说法正确的是( ) A.“x<0”是“ln(x+1)<0”的充要条件 2 2 B.“?x≥2,x ﹣3x+2≥0”的否定是“?x<2,x ﹣3x+2<0” C.采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16,27,38,49 的同学 均被选出,则该班学生人数可能为 60 2 D.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,? ) (?>0) ,若 X 在(0,1)内取值的 概率为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为 0.8 8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( ) )的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向左平移 C.向右平移

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

个长度单位 个长度单位

9.执行如图所示的程序框图,如果输出 S=3,那么判断框内应填入的条件是(

)

A.k≤6

B.k≤7

C.k≤8

D.k≤9

10.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(0,0,0) , (1,2,0) , (0,2,2) , (3,0,1) ,则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为( )

A.3

B.
2 2

C.2

D.

11. 过点 (1, 1) 的直线与圆 x +y ﹣4x﹣6y+4=0 相交于 A, B 两点, 则|AB|的最小值为( A.2 B.4 C.2 D.5

)

12.已知函数 f(x)= 则 b 的取值范围是( A. D. ( , ) )

,若函数 y=f (x)﹣2bf(x)+b﹣ 有 6 个零点,

2

B. ( ,+∞)∪(﹣∞, )

C. (0, )∪( ,1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1 则| +2 |=__________.

14.设 a=

2xdx,则(ax﹣ ) 的展开式中常数项为__________.

6

15.已知△ ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上,且 cosA= O﹣ABC 的体积为 ,则球 O 的表面积为__________.
2

,BC=1,AC=3,三棱锥

16.已知 P1、P2、…、P2013 是抛物线 y =4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1、x2、…、x2013, F 是抛物线的焦点,若 x1+x2+…+x2013=10,则|P1F|+|P2F|+…|P2013F|=__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( ,an+1) (n∈N )在函数 y=x +1 的图象上.
* 2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; an 2 (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2 ,求证:bn?bn+2<bn+1 . 18.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的 产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如 图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 x(单位:t,100≤x≤150)表示下 一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x∈时,关于 x 的不等式 f(x)﹣ |2t﹣3|≥0 有解,求实数 t 的取值范围.

宁夏银川市唐徕回民中学 2015 届高考数学三模试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则 A∩B=( ) A. (﹣∞,2] B. C. D. 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:先化简集合 A,解绝对值不等式可求出集合 A,然后根据交集的定义求出 A∩B 即可. 解答: 解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2} ∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1,x∈R}={x|﹣2≤x≤1} 故选 D. 点评:本题主要考查了绝对值不等式,以及交集及其运算,同时考查了运算求解的能力,属于 基础题.

2.如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别是



,则|z1+z2|=(

)

A.2

B.3

C.2

D.3

考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的几何意义和复数的模的计算公式即可得出. 解答: 解:由图可知: =(﹣2,﹣1) , =(0,1) .

∴z1=﹣2﹣i,z2=i. ∴z1+z2=﹣2﹣i+i=﹣2. ∴|z1+z2|=2. 故选:A 点评:本题考查了复数的几何意义和复数的模的计算公式,属于基础题.

3.已知双曲线
2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= )

x,它的一个焦点在抛物

线 y =48x 的准线上,则双曲线的方程为( A. B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出抛物线的准线方程,即有 c=12,再由渐近线方程,可得 a,b 的关系,由 a,b,c 的关系式,得到 a,b 的方程,解得 a,b,即可得到双曲线的方程. 2 解答: 解:抛物线 y =48x 的准线为 x=﹣12, 则双曲线的 c=12, 由一条渐近线方程是 y= x, 则 b= a, 2 2 2 由 c =a +b =144,可得 a=6,b=6 . 则双曲线的方程为 ﹣ =1.

故选 A. 点评:本题考查抛物线和双曲线的方程、性质,考查渐近线方程和双曲线的 a,b,c 的关系, 考查运算能力,属于基础题.

4.已知向量 =(sin(α+ A.1

) ,1) , =(1,cosα﹣ C.

) ,若 ⊥ ,则 sin(α+ D.﹣

)等于(

)

B.﹣1

考点:两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算. 专题:三角函数的求值. 分析:由垂直和数量积的关系可得 sin(α+ 后重新组合可得结论. 解答: 解:∵ =(sin(α+ ∴sin(α+ ∴ sinα+ )+cosα﹣ ) ,1) , =(1,cosα﹣ sinα+ cosα+cosα= )=1 ) ,且 ⊥ , , )+cosα﹣ =0,由两角和与差的正弦函数展开

=0,即

cosα=1,即 sin(a+

故选:A 点评:本题考查两角和与差的正弦函数,涉及数量积的运输,属中档题. 5.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( ) A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题. 分析:由 y=ln(x+a) ,得 ,由直线 y=x﹣1 与曲线 y=ln(x+a)相切,得 ,所

以切点是(1﹣a,0) ,由此能求出实数 a. 解答: 解:∵y=ln(x+a) ,∴ ∵直线 y=x﹣1 与曲线 y=ln(x+a)相切, ∴切线斜率是 1,则 y'=1, ∴ , ,

x=1﹣a,y=ln1=0, 所以切点是(1﹣a,0) , ∵切点(1﹣a,0)在切线 y=x+1 上, 所以 0=1﹣a+1,解得 a=2. 故选 B. 点评: 本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用, 是基础题. 解题时要认真审题, 仔细解答.

6.设不等式组

所表示的区域为 M,函数 y=

的图象与 x 轴所围成的区

域为 N,向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为( A. B. C. D.

)

考点:几何概型;简单线性规划. 专题:概率与统计. 分析:画出图形,求出区域 M,N 的面积,利用几何概型的公式解答. 解答: 解:如图, 区域 M 的面积为 2,区域 N 的面积为 故选 B. ,由几何概型知所求概率为 P= .

点评:本题考查了几何概型的运用;关键是求出区域的面积,利用几何概型的公式解答. 7.下列说法正确的是( ) A.“x<0”是“ln(x+1)<0”的充要条件 B.“?x≥2,x ﹣3x+2≥0”的否定是“?x<2,x ﹣3x+2<0” C.采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16,27,38,49 的同 学均被选出,则该班学生人数可能为 60 2 D.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,? ) (?>0) ,若 X 在(0,1)内取值 的概率为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为 0.8 考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:A.由 ln(x+1)<0 解得 0<x+1<1,解得﹣1<x<0,即可判断出正误; B.利用命题的否定定义即可判断出正误; C.采用系统抽样法可知:该班学生人数可能为 55; D.由正态分布的对称性可得:X 在(0,2)内取值的概率为 0.8. 解答: 解:A.由 ln(x+1)<0 解得 0<x+1<1,解得﹣1<x<0,∴“x<0”是“ln(x+1)< 0”的必要不充分条件,是假命题;
2 2

B.“?x≥2,x ﹣3x+2≥0”的否定是“?x≥2,x ﹣3x+2<0”,因此不正确; C.采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16,27,38,49 的同学 均被选出,则该班学生人数可能为 55,因此不正确; 2 D.某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,? ) (?>0) ,若 X 在(0,1)内取值的概 率为 0.4,由正态分布的对称性可得:X 在(0,2)内取值的概率为 0.8,正确. 故选:D. 点评:本题考查了简易逻辑的判定、正态分布的对称性、系统抽样法的性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

2

2

8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向左平移 C.向右平移

个长度单位 B.向右平移 个长度单位 D.向左平移

个长度单位 个长度单位

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数的解析式, 再根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得 A=1, 根据 = = ﹣ ,求得 ω=2, +φ=π,求得 φ= ,∴f(x)=sin(2x+ )=sin2(x+ ) ,

再根据五点法作图可得 2× 故把 f(x)的图象向右平移

个长度单位,可得 g(x)=sin2x 的图象,

故选:C. 点评:本题主要考查利用 y=Asin(ωx+φ)的图象特征,由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象 求解析式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图,如果输出 S=3,那么判断框内应填入的条件是( )

A.k≤6

B.k≤7

C.k≤8

D.k≤9

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是 S=3,可得判断框内应填入的条 件. 解答: 解:根据程序框图,运行结果如下: S k 第一次循环 log23 3 第二次循环 log23?log34 4 第三次循环 log23?log34?log45 5 第四次循环 log23?log34?log45?log56 6 第五次循环 log23?log34?log45?log56?log67 7 第六次循环 log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3 8 故如果输出 S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是 k≤7. 故选 B. 点评:本题考查程序框图,尤其考查循环结构.对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规 律.本题属于基础题. 10.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(0,0,0) , (1,2,0) , (0,2,2) , (3,0,1) ,则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为( ) A.3 B. C.2 D.

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:求出四个顶点在 yOz 平面上投影的坐标,分析正视图的形状,可得答案. 解答: 解: (0,0,0) , (1,2,0) , (0,2,2) , (3,0,1) , 在 yOz 平面上投影的坐标分别为: (0,0,0) , (0,2,0) , (0,2,2) , (0,0,1) , 如下图所示:

即四面体的正视图为上下底长度分别为 1,2,高为 2 的梯形, 其面积 S= =3,

故选:A 点评:本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中画出几何体的正视图是解答的关键. 11. 过点 (1, 1) 的直线与圆 x +y ﹣4x﹣6y+4=0 相交于 A, B 两点, 则|AB|的最小值为( A.2 B.4 C.2 D.5
2 2

)

考点:直线与圆相交的性质. 专题:直线与圆. 分析:把圆的方程化为标准方程,求得圆心和半径,求得弦心距 d 的最大值,可得|AB|的最小 值. 解答: 解:圆 x +y ﹣4x﹣6y+4=0 即 (x﹣2) +(y﹣3) =9,表示以 C(2,3)为圆心、 半径等于 3 的圆, 要使弦长最小,只有弦心距最大. 而弦心距 d 的最大值为 ∴|AB|的最小值为 2 =2 =4, = ,
2 2 2 2

故选:B. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系, 两点间的距离公式, 弦长公式的应用, 属于中档题.

12.已知函数 f(x)= 则 b 的取值范围是( A. D. ( , ) )

,若函数 y=f (x)﹣2bf(x)+b﹣ 有 6 个零点,

2

B. ( ,+∞)∪(﹣∞, )

C. (0, )∪( ,1)

考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用换元法将函数转化为关于 t 的一元二次函数,作出函数 f(x)的图象,利用一元二 次方程根的分布,建立不等式关系即可得到结论. 解答: 解:设 t=f(x) ,则函数等价为 y=g(t)=t ﹣2bt+b﹣ . 作出函数 f(x)的图象如图: 当 t>1 或 t<0 时,t=f(x)有 1 个零点, 当 t=1 或 t=0 时,t=f(x)有 2 个零点, 当 0<t<1 时,t=f(x)有 3 个零点, 若函数 y=f (x)﹣2bf(x)+b﹣ 有 6 个零点,等价为方程 t ﹣2bt+b﹣ =0 有两个根 t1,t2, 且 0<t1<1,0<t2<1,
2 2 2



,即



解得 ≤b< 或 <b≤ , 故选:A

点评:本题主要考查分段函数的应用,利用换元法,结合一元二次函数图象和性质,利用数形 结合是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1 则| +2 |=2 考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. .

专题:计算题. 分析:由平面向量 与 的夹角为 60°,知 =(2,0) ,| |=1 再由 | +2 |= = ,能求出结果.

解答: 解:∵平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1 ∴| +2 |= = = =2 . 故答案为:2 . 点评:本题考查平面向量的模的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
6

14.设 a=

2xdx,则(ax﹣ ) 的展开式中常数项为﹣540.

考点:二项式系数的性质;定积分. 专题:二项式定理. 分析:求定积分得到 a 的值,在(ax﹣ ) 的二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0, 求出 r 的值,即可求得常数项. 解答: 解:a= Tr+1= ?(﹣1) ?3
r 6

2xdx=x
6﹣r

2

=4﹣1=3,则(ax﹣ ) =(3x﹣ ) 的展开式的通项公式为 ,
6

6

6

?x

6﹣2r

令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(ax﹣ ) 的展开式中常数项为﹣

?3 =﹣540,

3

故答案为:﹣540. 点评:本题主要考查求定积分,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.

15.已知△ ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上,且 cosA= O﹣ABC 的体积为 ,则球 O 的表面积为 16π.

,BC=1,AC=3,三棱锥

考点:球内接多面体;球的体积和表面积. 专题:球.

分析: 通过 A 的余弦函数求出正弦函数值, 求出 B 的大小, 利用三棱锥 O﹣ABC 的体积为 求出 O 到底面的距离,求出球的半径,然后求出球的表面积. 解答: 解:△ ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上,且 cosA= ∴sinA= 由正弦定理可知: = , , ,BC=1,AC=3,



∴sinB=1,B=90°.斜边 AC 的中点就是△ ABC 的外接圆的圆心, ∵三棱锥 O﹣ABC 的体积为 又 AB= ∴ ∴h= ∴R=
2



=2 = ,

, ,

=2,

球 O 的表面积为 4πR =16π. 故答案为:16π. 点评:本题考查球的表面积的求法,球的内含体与三棱锥的关系,考查空间想象能力以及计算 能力. 16.已知 P1、P2、…、P2013 是抛物线 y =4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1、x2、…、x2013, F 是抛物线的焦点,若 x1+x2+…+x2013=10,则|P1F|+|P2F|+…|P2013F|=2023. 考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离, 因此求出抛物 线的准线方程,结合题中数据加以计算,即可得到本题答案. 2 解答: 解:∵抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0) ,准线为 x=﹣1, ∴根据抛物线的定义, P( 2, 3, …, 2013) 到焦点的距离等于 Pi 到准线的距离, 即|PiF|=xi+1, i i=1, 可得|P1F|+|P2F|+…|P2013F|=(x1+1)+(x2+1)+…+(x2013+1)=(x1+x2+…+x2013)+2013, ∵x1+x2+…+x2013=10, ∴|P1F|+|P2F|+…|P2013F|=10+2013=2023. 故答案为:2023 点评:本题给出抛物线上 2013 个点的横坐标之和,求它们到焦点的距离之和.着重考查了抛 物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( ,an+1) (n∈N )在函数 y=x +1 的图象上.
* 2 2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; an 2 (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2 ,求证:bn?bn+2<bn+1 . 考点:等差数列的通项公式;等比数列的性质. 分析: (Ⅰ)将点代入到函数解析式中即可; (Ⅱ)比较代数式大小时,可以用作差的方法. 解答: 解:解法一: (Ⅰ)由已知得 an+1=an+1、即 an+1﹣an=1,又 a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(n﹣1)×1=n. n (Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n 从而 bn+1﹣bn=2 . bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1 n﹣1 n﹣2 =2 +2 +…+2+1 = ∵bn?bn+2﹣bn+1 =(2 ﹣1) (2 ﹣1)﹣(2 ﹣1) 2n+2 n n+2 2n+2 n+1 =(2 ﹣2 ﹣2 +1)﹣(2 ﹣2?2 +1) n =﹣2 <0 2 ∴bn?bn+2<bn+1 解法二: (Ⅰ)同解法一.
2 n n+2 n+1 2

(Ⅱ)∵b2=1 2 n n+1 2=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1 bn?bn+2﹣bn+1 =(bn+1﹣2 ) (bn+1+2 )﹣bn+1 n n+1 =2 (bn+1﹣2 ) n n n+1 =2 (bn+2 ﹣2 ) n n =2 (bn﹣2 ) =… =2 (b1﹣2) n =﹣2 <0 2 ∴bn?bn+2<bn+1 点评:2015 届高考考点:本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查转化与化归 思想,考查推理与运算能力. 易错提醒:第二问中的比较大小直接做商的话还要说明 bn 的正负,而往往很多学生不注意. 备考提示:对于递推数列要学生掌握常见求法,至少线性的要懂得处理. 18.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的 产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如 图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 x(单位:t,100≤x≤150)表示下 一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
n

(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x∈的频率为 0.7,利用样本估计总 体的方法得出下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值. (Ⅲ)利用利润 T 的数学期望=各组的区间中点值×该区间的频率之和即得. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得,当 x∈的频率为 0.7, 所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. (Ⅲ)依题意可得 T 的分布列如图, T 45000 53000 61000 65000 p 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400. 点评: 本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力, 求解的重点是对题设条件及直 方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义,是中档题.

19. 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB⊥侧面 BB1C1C, AB=BC=1, BB1=2, ∠BCC1= (Ⅰ)求证:C1B⊥平面 ABC; (Ⅱ)设 值. =λ (0≤λ≤1) ,且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30°,试求 λ 的

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 AB⊥BC1,BC⊥BC1,由此能证明 C1B⊥平面 ABC.

(Ⅱ)以 B 为原点,BC、BA、BC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.利 用向量法能求出 λ 的值. 解答: (Ⅰ)证明:∵AB⊥侧面 BB1C1C,BC1?侧面 BB1C1C,∴AB⊥BC1, 在△ BCC1 中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=
2



由余弦定理得:BC12=BC +CC12﹣2BC?CC1?cos∠BCC1 =1 +2 ﹣2×1×2×cos ∴BC1= ,∴BC +
2 2 2

=3, =C ,∴BC⊥BC1,

∵BC∩AB=B,∴C1B⊥平面 ABC; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,BC,BA,BC1 两两垂直, 以 B 为原点,BC、BA、BC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图. 则 B(0,0,0) ,A(0,1,0) ,B1(﹣1,0, ) ,C1(0,0, ) , C(1,0,0) ,∴ ∵ 则 =λ =(﹣1,0, ) , λ) ,∴E=(1﹣λ,0, ) , λ) ,

(0≤λ≤1) ,∴

=(﹣λ,0,

=(1﹣λ,﹣1,

λ) ,

=(﹣1,﹣1,

设平面 AB1E 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,∴ ,

令 z= ∴ =(

,则 x= ,

,y= , ) ,



∵AB⊥侧面 BB1C1C,∴

=(0,1,0)是平面 BEB1 的一个法向量,

∴|cos< ,

>|=|
2

|=



两边平方并化简得:2λ ﹣5λ+3=0, 解得:λ=1 或 λ= (舍去) , ∴λ 的值是 1.

点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查满足条件的实数值的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用,注意解题方法的积累,属于中档题.

20.设椭圆 C:

的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B

两点,直线 l 的倾斜角为 60°, (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=



,求椭圆 C 的方程.

考点:椭圆的简单性质;直线的倾斜角;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:计算题. 分析: (1)点斜式设出直线 l 的方程,代入椭圆,得到 A、B 的纵坐标,再由 ,求出

离心率. (2)利用弦长公式和离心率的值,求出椭圆的长半轴、短半轴的值,从而写出标准方程. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题意知 y1>0,y2<0. (1)直线 l 的方程为 ,其中 .

联立





解得





因为

,所以﹣y1=2y2.即﹣ .

=2



解得离心率

(2)因为

,∴

?







,所以

,解得 a=3,



故椭圆 C 的方程为



点评:本题考查椭圆的性质标和准方程,以及直线和圆锥曲线的位置关系,准确进行式子的 变形和求值,是 解题的难点,属于中档题.

21.已知函数 g(x)=f(x)+

﹣bx,函数 f(x)=x+alnx 在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0

垂直. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g(x)存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1、x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点,若 b 小值. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由 f′(x)=1+ ,利用导数的几何意义能求出实数 a 的值; ,求 g(x1)﹣g(x2)的最

(2) )由已知得 g′(x)= +x﹣(b﹣1)=

,x>0,由题意知 g′(x)<0

在(0,+∞)上有解,即 x+ +1﹣b<0 有解,由此能求出实数 b 的取值范围;

(3)由 g′(x)= +x﹣(b﹣1)=
2

,x>0,由题意知 g′(x)<0 在(0,

+∞)上有解,x>0,设 μ(x)=x ﹣(b﹣1)x+1,由此利用构造成法和导数性质能求出 g(x1) ﹣g(x2)的最小值. 解答: 解: (1)∵f(x)=x+alnx,

∴f′(x)=1+ , ∵f(x)在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直, ∴k=f′(x)|x=1=1+a=2, 解得 a=1. (2)∵g(x)=lnx+ x ﹣(b﹣1)x,
2

∴g′(x)= +x﹣(b﹣1)= 由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解, 即 x+ +1﹣b<0 有解, ∵定义域 x>0, ∴x+ ≥2, x+ <b﹣1 有解, 只需要 x+ 的最小值小于 b﹣1, ∴2<b﹣1, 解得实数 b 的取值范围是{b|b>3}. (3)∵g(x)=lnx+ x ﹣(b﹣1)x,
2

,x>0,

∴g′(x)= +x﹣(b﹣1)= 由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解, x1+x2=b﹣1,x1x2=1, 2 ∵x>0,设 μ(x)=x ﹣(b﹣1)x+1, 则 μ(0)=﹣ =ln + (x1 ﹣x2 )﹣(b﹣1) (x1﹣x2)
2 2

,x>0,

=ln

+ (x1 ﹣x2 )﹣(x1+x2) (x1﹣x2)

2

2

=ln

﹣ (



) ,

∵0<x1<x2, ∴设 t= ,0<t<1,

令 h(t)=lnt﹣ (t﹣ ) ,0<t<1,

则 h′(t)= ﹣ (1+

)=

<0,

∴h(t)在(0,1)上单调递减, 又∵b≥ ,∴(b﹣1) ≥ 由 x1+x2=b﹣1,x1x2=1, 可得 t+ ≥ ,
2 2



∵0<t<1,∴由 4t ﹣17t+4=(4t﹣1) (t﹣4)≥0 得 0<t≤ , ∴h(t)≥h( )=ln ﹣ ( ﹣4)= 故 g(x1)﹣g(x2)的最小值为 ﹣2ln2,

﹣2ln2.

点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值,考查函数的最小值的求法,解 题时要认真审题,注意函数的单调性的合理运用. 四.请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑【平面几何证明选讲】 22.在△ ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D. (1)求证: ;

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

考点:相似三角形的性质;相似三角形的判定. 专题:计算题;证明题. 分析: (1)先由角相等∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,证得三角形相似,再结合线段相等即得所 证比例式; (2)由于∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,从而得出两个三角形相似:“△ APC~△ ACD”结 合相似三角形的对应边成比例即得 AP?AD 的值. 解答: 解: (1)∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D, ∴△DPC~△ DBA,∴

又∵AB=AC,∴ (2)∵∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,∴△APC~△ ACD∴
2



∴AC =AP?AD=9 点评:本小题属于基础题.此题主要考查的是相似三角形的性质、相似三角形的判定,正确的 判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键. 【坐标系与参数方程选修】 23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合,长度单位 相同,直线 l 的参数方程为: ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=2 sin

(θ﹣

) .

(Ⅰ)判断曲线 C 的形状,简述理由; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 M,N,O 是坐标原点,求三角形 MON 的面积. 考点:参数方程化成普通方程. 专题:直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)运用两角差的正弦公式和 ρ =x +y ,x=ρcosθ,y=ρsinθ,即可得到曲线 C 的普通 方程,即可判断形状; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入圆的普通方程,可得 M,N 的坐标,再由三角形的面积公式计 算即可得到. 解答: 解: (Ⅰ)ρ=2
2 2 2 2

sin(θ﹣

)即为 ρ=2



sinθ﹣

cosθ)

=2sinθ﹣2cosθ,即 ρ =2ρsinθ﹣2ρcosθ, 2 2 2 2 即有 x +y +2x﹣2y=0,即为(x+1) +(y﹣1) =2, 则曲线 C 的形状为以(﹣1,1)为圆心, 为半径的圆; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程为: 代入圆(x+1) +(y﹣1) =2,可得 2t =2, 解得 t=±1, 可得 M(0,2) ,N(﹣2,0) , 则三角形 MON 的面积为 S= ×2×2=2. 点评: 本题考查极坐标方程和普通方程的互化, 同时考查直线和圆的位置关系, 考查运算能力, 属于基础题. 【不等式证明选讲】 24.已知函数 f(x)=2|x+1|﹣|x﹣3| (1)求不等式 f(x)≥5 的解集; (2)当 x∈时,关于 x 的不等式 f(x)﹣|2t﹣3|≥0 有解,求实数 t 的取值范围.
2 2 2



考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)化简函数的解析式,把不等式转化为与之等价的 3 个不等式组,解出每个不等式 组的解集,再取并集,即得所求. (2)当 x∈时,f(x)∈,由题意可得 5﹣|2t﹣3|≥0,由此求得 t 的范围.

解答: 解: (1) f (x) =2|x+1|﹣|x﹣3|=

, 由式 f (x) ≥5, 可得

①,或

②,或



解①求得 x≥3,解②求得 2≤x<3,解③求得 x≤﹣10. 故不等式的解集为. (2)当 x∈时,f(x)∈,∵关于 x 的不等式 f(x)﹣|2t﹣3|≥0 有解, ∴5﹣|2t﹣3|≥0,即﹣5≤2t﹣3≤5,求得﹣1≤t≤4, 故 t 的范围为. 点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.


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