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课件-11(直线的倾斜角与斜率)



直线

直线 圆

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

相关知识复习
1.特殊角的正切值:

00
正切值

300
3 3

450

600

900
不存在

/>
0
1800

1
1350

3
1200

1500
? 3 3

2700
不存在

正切值

0

?1

? 3

2.诱导公式:tan(?

? ? ) ? ? tan ?

锐角的正切值为正,钝角的正切值为负
互补的两个角正切值互为相反数

下面是正切函数 y 部分图象 .

? tan x, ( x ?

?
2

? k? , k ? Z ) 在定义域内的

据图回答:
0 0 (0, ??) x ? (0 ,90 ) 角 正切值 y 范围是_____________ 0 0 (??, 0) x ? (90 ,180 ) 正切值 y 范围是_____________ 角

问题情境 在直角坐标系确定直线的要素 y 通过预习回答下列问题:
(1) 两点可以确定一条直线吗?

. .
o

y
(2)一个点可以确定一条直线?

x

o

.

x

确定直线位置的要素除了点之外, 还有直线的方向,也就是直线的倾斜程 度.

4

新知学习
直线的倾斜角定义 一般地,平面直角坐标系内,直线向上的方向与 x

轴正方向所成的角 ? 叫做这条直线的倾斜角.
y A

直线向上的方向 与 x 轴正方向

B

? O

1 1 x

规定:当直线和x轴平行或
重合时,它的倾斜角为0° 倾斜角的范围:0?≤?<180?

练习巩固倾斜角的概念:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y y

A
y

a
C D
x x o

x

o

o

a

B
y

a

o

x

a

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜

角与它对应。 对 2、倾斜角为600的直线只有一条。


o
l3

y

l 2 l1

x

Y

p

?
O

. .

Y

p

0 0 ? ? ? 900
X
O

.

900 ? ? ? 1800

?

X
(2)

(1)
Y Y

p

? ? 90
X

o

p ? ? 0o
X

.

O

O

(3)

(4)

新知学习
通过预习你们还知道有什么量可以刻画直线的倾斜程度吗?

直线的斜率定义 倾斜角不是 90? 的直线,它的倾斜角的正

切值叫做这条直线的斜率,通常用 k 表示,即
k=tan ?. (?≠ 90?)

Y

p

?
O

. .

00 ? ? ? 900 Y

k>0

p

. .

900 ? ? ? 1800

?

k<0

X (1)

O (2) Y

X

Y

p

k不存在

k=0

p

? ? 90
X

o

??0
X

o

O

O

(3)

(4)

如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率 的定义 k =tanα求出直线的斜率; 如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜 角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎么求出直 线的斜率呢? 探究: 已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2), 求直线P1P2的斜率?

如图α为钝角,

y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

? ? 180 ? ? ,
?

k ? tan ? ? tan(180? ? ? )
?
Q( x2 , y1 )

P 1 ( x1 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ?k ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan ? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

当直线与坐标轴平行或重合时,上述公 式还适用吗?
y P ( x , y ) 1 1 1 o
P2 ( x2 , y2 )

l x

y2 ? y1 k? ?0 x2 ? x1

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y1

y2 ? y1 k? x2 ? x1
答:斜率不存在, 因为分母为0。

o

x

3.斜率公式 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

公式的特点:
(1) 与两点的顺序无关;

(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时倾斜角α=900

1.已知三点A(3,1),B(-2,a),C(8,11)共线,求a的值.
变式:求证:A(1,2),B(-2,3),C(4,1)三点共线.

2.已知直线倾斜角300≤?<450,求直线斜率k的取值范围.
3 ) ,求直线倾斜角?的取 变式:已知直线斜率k∈ (? 3, ? 3

值范围。

定义

1.直线的倾斜角
范围

2.直线的斜率:
k=tan ?(?≠90?)
y 2 ? y1 k? x2 ? x1 (其中x1≠x2)


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