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数列求和及通项公式


求通项公式的问题
一、形如 an+1=an+f(n)的解析式利用迭加 1.在数列{an}中,a1=-1,an+1= an+2n,求 an(n≥2). 2.已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求 an,

, 3、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

/>
, 4、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

二、数列有形如 an=f(n)·n-1 的解析关系,利用迭乘 a 5.在数列{an}中, a1 ?

1 n ?1 ,求 , an ? ? a n?1 (a ≥2) a n . 2 n ?1

6、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

7、. 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 公式 a n 。

1 ,前 n 项和 S n 与 a n 的关系是 S n ? n(2n ? 1)a n ,试求通项 3

三、数列有形如 a n ?1 ? k ? a n ? b(k 、b 为常数)的线性递推关系,可用待定系数法求得 an. 8、在数列{an}中, a1 ? 1, a n ?1 ? 3 ? a n ? 1, 求 a n .

9、 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 ,a1 ? 6 ,求数列 ? an ? 的通项公式。
n

四、数列有形如 f ( S n , S n ?1 ) ? g (an ) 的关系(非递推关系) ,可考虑用求差 S n ? S n ?1 ? a n 10、设 {a n } 是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,并且对于所有的自然数 n, a n 与 2 的等差 中项等于 S n 与 2 的等比中项:求数列 {a n } 的通项公式.

五、倒数法,数列有形如 f (a n , a n ?1 , a n a n ?1 ) ? 0 的关系,可在等式两边同乘以

1 ,先 a n a n ?1

求出

1 , 再求得a n . ; an
an (n ? N), 求 a n . an ? 3

11.设数列 {a n } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

12. 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , a n ?

a n ?1 (n ? 2) ,求通项公式 a n 。 2a n ?1 ? 1

六、分解因式法 13.设{an}的首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?a n ?1 ? nan ? a n ?1 a n ? 0?n ? 1,2,3,..... ? 求它的通
2 2

项公式。

14、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

数列求和的基本方法和技巧
一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、 差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3 、
n 1 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1

4 、

n 1 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 5 、 6 k ?1

n 1 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

1、 用通项公式法: 1、 求和: x ? x ? x ? ? ? x
2 3 n

2、求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? 之和。3、求 5,55,555,…,的前 n 项和。 ??? ?1
n个1

二、错位相减;4、 :求:Sn=1+5x+9x2+··+(4n-3)xn-1 ·· ·· 5、 :求数列 a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a 为常数)的前 n 项和。

6、求和: 1 ?

3 4 n ?1 ? 3 ??? n 2 2 2 2

7 、 . 已 知 a ? 0, a ? 1 , 数 列 ?a n ? 是 首 项 为 a , 公 比 也 为 a 的 等 比 数 列 , 令

bn ? a n ? lg a n (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。

三、裂项法求和、 8、 :求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

9、 :求 3 ,1 5,3 5,63 之和。

1

1

1

1

10、求和:

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n?n ? 1?

11、 数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和。

四、分组求和; 12:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)

13:求数列1 2 ,2 4 ,3 8 ,? ? ?, (n ? 2 n ),? ? ? 的前 n 项和。

1

1

1

1

? 1? ? 1 14、求和: ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? y? ? y ?

? ? 1 ? ? ? ? ? xn ? n ? ? y ? ?

? ? ?x ? 0, x ? 1, y ? 1? ? ?

15、 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,?, n?1 ? 3n ? 2,? a a a

五、聚合法:求数列 2,2+4,2+4+6,2+4+6+8,……,2+4+6+……+2n,…的前 n

项和


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