当前位置:首页 >> 高中教育 >>

向量代数与空间解析几何(1)


第7章 空间解析几何与向量代数

§1

向量的概念及向量的表示

一、向量的基本概念 (一) 向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量. (或矢量) 2.向量的几何表示法: ? a 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小, A 有向线段的方向表示向量的方向.
? 以A为起点

, B为终点的向量, 记为AB, a , a .

B

? 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 ||AB|| 或 || a || .

特别: 模为1的向量称为单位向量. 模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的. 3.自由向量 ? ? 当向量a与b , 大小相等且方向相同, ? ? ? ? 称a与b 相等. 记作a ? b

? a

? b

自由向量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.
具有在空间中可以任意平移的性质.

(二) 向量的加减法 1、向量加法 (1) 平行四边形法则 ? ? (若起点不重合, 设有a、b ? ?为邻 可平移至重合). 作以a、b 边的平行四边形, 对角线向量, ? ?的和, 记作 ? ? 称为 a与b a ? b. (2) 三角形法则 ? ?之一平行移动,使 将a、b ? ? 的起点与 的终点重合, 则由 a b ? ? 的起点到 的终点所引的向量 a b ? ? 为 a ? b.

? a

? ? a ?b
? b ? b
? a

? ? a ?b

2.向量加法的运算规律. (1)交换律: ? ? ? ? a ?b ? b ?a
? a

? b
? ? ? ? a ?b ? b ?a

? a

? b

(2)结合律: ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 例如: ? ? ? ? ? s ? a1 ? a2 ? a3 ? a4

? ? ? a ?b ?c
? ? a ?b
? a3

? a4

? ? ?c b ?c
? b

? a
? a2

? s

? a1

3.向量减法.
? (1)负向量:与 a 模相同而方向相反的向量, ? ? 称为 a 的负向量.记作 ? a.

(2)向量减法.

? a

? ?a

? ? ? ? 规定: a ? b ? a ? (?b )

平行四边形法则. ? ?之一平移, 使起 将 a、b ? ? 点重合, 作以 a和 ? b 为邻边 的平行四边形, 对角线向量, ? ? 为 a ? b. 三角形法则. ? ?之一平移, 使起 将 a、b ? ? 点重合, 由 b 的终点向 a 的 ? ? 终点作一向量, 即为 a ? b .
? a

? ? a ?b
? ?b

? a

? ? a ?b

? b

? ? a ?b
? b

(三) 数与向量的乘法

? ? 1. 定义 实数?与向量 a 的乘积?a为一个向量. ? ? 其中: || ?a || ? | ? | ? || a || ? ? ? ? ?a ?a ? 当? > 0时, ?a与a同向; a (? >0) (? <0) ? ? 当? < 0时, ?a与a反向; ? ? ?a ? o,它的方向可以是任意的 . 当? = 0时,
2. 数与向量的乘积的运算规律:

? ? ? (1) 结合律: ? (ua ) ? u (?a ) ? (?u )a ? ? ? a (2) 分配律: (? ? u )? ? ?a ? ua ? ? ? ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

? ?平行 定理1:两个非零向量 a与b (方向相同或相反)

? ? 存在唯一实数?,使得 a ? ?b .
?? ? 结论: 设 a 表示与非零向量 a 同向的单位向量. ? ? ?? 则 a ?|| a || a ? 1 ? a ?? a ? ? a? ? 或 || a || || a ||

例1:在平行四边形ABCD中, 设AB=

? ? 表示向量MA,MB,MC和MD. 试用 a和b

? ,AD = ? b a

其中, M是平行四边形对角线的交点. ? ? 解: 由a ? b = AC = 2MC D 1 ? ? 有MC = 2 ( a ? b ) ? b 1 ? ? MA = ?MC ? ? (a ? b ) 2 ? ? ? 又 b ? a = BD = 2MD a A 1 ? ? 有MD = (b ? a ) 2 1 ? ? 1 ? ? MB = ?MD ? ? (b ? a ) ? (a ? b ) 2 2

C
M B

(四)

向量在轴上的投影

1. 点在轴上投影 设有空间一点A及轴

A
u

u, 过A作u轴的垂直平面?,
平面?与u轴的交点A'叫做 点A在轴u上的投影.
?

A'

2. 向量在轴上的投影. 定义 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u

上的投影分别为点A? 和B? . 称有向线段A? B? 为 向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.
B u

A A'

B'

如果向量e为与轴u

的正方向的单位向量, 则向量 AB 的投影向量
A'B' 有:

A

B

e
A' B'

u

A?B? ? xe
即 Pr ju AB ? x

则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影,记作 Pr ju AB 显然 当A?B?与u轴同向时, Pr ju AB ? || A?B?|| ; 当A?B?与u轴反向时, Pr ju AB ?

?|| A?B?||

3. 两向量的夹角 ? ? 设有非零向量 a , b (起点同).

? b

? a 规定: ? ? ? ?正向间位于0到?之间的那个夹角为 a , b 的夹角, a, b ?? ?? ? ? 记为 ( a , b ) 或 (b , a ) ?? ? ? ? (1) 若 a , b 同向,则 (a , b ) ? 0 ?? ? ? ? (2) 若 a , b反向,则 (a , b ) ? ? ?? ? ? ? (3) 若 a , b不平行,则 (a , b ) ? (0, ? )

?? ? (a , b )

4. 向量的投影性质.

定理 2. (投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为?
则 PrjuAB = || AB ||· ? cos

B A

?
A? B?

B1 u

?

?

定理3: 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在 该轴上的投影的和。 ? ? ? ? 即 Pr ju (a1 ? a2 ) ? Pr ju a1 ? Pr ju a2
? ? a1 ? a2 B
B?

A ? a1 A?

? a2

C C? u

推论: ? ? ? ? ? ? Pr ju (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? Pr ju a1 ? Pr ju a2 ? ? ? Pr ju an

? 定理4: 实数?与向量 a 的乘积在轴u上的投影,
? 等于?乘以向量 a 在该轴上的投影。
? ? 即 Pr ju (?a ) ? ? Pr ju a

二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示

(一)

空间直角坐标系
z o x y y

1. 空间直角坐标系的建立

o z

x

x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个 空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系,点 O叫做坐标原点.

2. 坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为 坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分 成八个卦限.
III IV 0 VII VI V z II I

y

x

VIII

(二) 空间向量的表示

1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.
z z R

M <
M

> (x, y, z)

O

y Q

y

记: 点M为M (x, y, z)

x
x

P

特别:

(1) 若点M在yz面上, 则 x = 0;
在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0. (2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0 在 y 轴上, 则 x = z = 0 在 z 轴上, 则 x = y = 0

2.空间向量的坐标表示 (1)起点在原点的向量OM 设点 M (x, y,z)
z zC k M B y y

o 以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 j i 正向的单位向量, 称为基本单位 x A N x 向量. OM = OA + AN +NM = OA + OB + OC = xi + yj + zk x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM

的坐标.

简记为 OM =(x, y, z)称为向量OM的坐标表示式.

由于:

| OM |? | ON | ? | NM |
2 2 2

2 2

z zC
o i

? | OA | ? | OB | ? | OC |
? x2 ? y2 ? z 2
从而:

k
j

M B y y
N

x A x

OM ? x ? y ? z
2 2

2

(1)

(2). 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2 设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2) a = M1M2 = OM2 ? OM1
= (x2 i+ y2 j + z2 k) ? (x1 i + y1 j + z1 k)
z o x M1 a M2 y

= (x2 ? x1) i + (y2 ? y1) j + (z2 ? z1) k 即 a = (x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1) 为向量a的坐标表示式 记 ax = x2 ? x1 , ay = y2 ? y1 , az = z2 ? z1

分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.

a = M1M2 = (x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1)
M1 M 2 ? a
2 x

? a y ? az
2

2

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2
由此得 两点间距离公式:

(2)

M1 M 2 ?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) (3)
2 2 2

(3). 运算性质 设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且?为常数
a ? b = (ax ? bx , ay ? by , az ? bz )

? a = ( ?a x , ?a y , ?a z )
证明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)
= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)

= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k
? a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )

(4) 两向量平行的充要条件.

设非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 则
a // b

? a = ?b ?

(?为常数)

即ax =?bx, ay =?by, az =?bz,

于是 a // b

ax a y az ? ? bx by bz

(*)

注: 在(*) 式中, 规定若某个分母为零相应 的分子也为零. 例如:(4, 0, 6) // (2, 0, 3)

(三) 向量的模与方向余弦的坐标表示式 1. 方向角: 非零向量a 与x, y, z 轴正 向夹角?, ?, ? 称为a 的方向角. z
?
0

a
?

2. 方向余弦: 方向角的余弦 cos?, cos?, cos? 称为方向余弦.
3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式 设a =(ax, ay, az,) ax =|| a || ? cos?

?

y

x

故有

ay =|| a || ? cos? az =|| a || ? cos?

又:

2 2 || a || ? a x ? a y ? a z2 ax cos ? ? , 2 2 2 ax ? a y ? az

(4)

cos ? ? cos ? ?

ay
2 x 2 y

a ? a ? az az a ?a ?a
2 x 2 y 2 z

, 2

(5)

由(5)式可得

cos2? +cos2? +cos2? = 1
设ao是与a同向的单位向量
a ||a||

(6)

ao ?

? ? ay ax az ? ?? 2 , 2 , 2 ? a ? a2 ? a2 a ? a2 ? a2 a ? a2 ? a2 ? y z x y z x y z ? ? x

= (cos? , cos? , cos? )

(7)

例2. 已知两点M1(2, 2, 2 )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.

解: M1 M2 = (?1, 1, ? 2 )
||M1 M2 || =
(?1) 2 ? 12 ? (? 2 ) 2 ? 4 ? 2;

?1 1 ? 2 cos ? ? , cos ? ? , cos ? ? ; 2 2 2 2? ? , ? ? 3? ?? , ?? 3 3 4

例3: 在z轴上求与两点 A(?4, 1, 7) 和B(3, 5, ?2)等

距离的点.
解: 设该点为M(0, 0, z)

由题设 |MA| = |MB|.
即:

(?4 ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? (7 ? z ) 2 ? (3 ? 0) ? (5 ? 0) ? (?2 ? z )
2 2 2

解得:

z?

14 9 14 ) 9

所求点为 M (0, 0,

例4 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: 2 2 2 | M 1M 2 |? (7 ? 4) ? (1 ? 3) ? (2 ? 1) ? 14

| M 2 M 3 |? (5 ? 7) 2 ? (2 ? 1) 2 ? (3 ? 2) 2 ? 6

| M 3 M 1 |? (5 ? 4) 2 ? (2 ? 3) 2 ? (3 ? 1) 2 ? 6
由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 ?M1 M2 M3 是等腰三角形.

§2

向量的数量积.向量积及混合积

一、 向量的数量积 例如: 设力F 作用于某物体上, 物体有一段位移S , 求功的表示式.
F
?

解: 由物理知, 与位移平行的分力作功,

与位移垂直的分力不作功. 于是
s

? 且 当 0 ? ? ? 时,做正功;当 ? ? ? ? 时,做负功; 2 2 ? 当? ? 时,不做功。
2

?

W=|F |cos? ? |S | = |F | |S | cos?

1. 定义1: 设有两个向量 a、b, 它们的夹角为?,
将数值|a ||b|cos? 称为a与b的数量积 ( 内积 或 点积 ), 记作 a ? b . 即: a ? b = |a| |b| cos?

a ? b = |a| |b| cos? 注1: 当 a ? 0时, 当 b ? 0时, | b | cos? = Prjab | a |cos? = Prjba

于是
注2: 例如:

a ? b = |a| ? Prjab = |b| ? Prjba
a ? a = | a |2 i?i=j?j=k?k =1

2. 数量积的性质
(1) 交换律 (2) 分配律

a ? b = |a| |b| cos? a ? b = |a| ? Prjab = |b| ? Prjba

a?b=b?a (a + b) ? c = a ? c + b ? c

(3) 数量积满足如下结合律: (? a) ? b = a ? (? b) = ? (a ? b), (4) a ? a ? 0 ,且a ? a = 0

?为实数

a=0

(5) 两个非零向量a , b 垂直 证: 必要性:

a ? b ?| a | ? | b | ? cos

a?b=0 ? 设a ? b, 则? ? . 2 ?
2

?0

充分性: 设a ? b = | a | ? |b |cos? =0; 得: 即

由a ?0, b ?0, ? cos? =0 , ??
a?b

2

例如: i、j、k 互相垂直, 所以

i?j=j?k=i?k =0

例1. 如图, 利用数量积证明三角形的余弦定理 | c |2 = | a |2 + | b |2 ?2 | a | ? | b |cos? 证: 由于c = a ? b , 于是 | c |2 = | a ? b |2 = (a ?b) ? (a ?b) = a ? (a ?b) ?b ? (a ?b)
b c

?

a

= a ? a + b ? b ?2 a ? b
= | a |2 + | b |2 ?2 | a | ? | b |cos?

故: | c |2 = | a |2 + | b |2 ?2 | a | ? | b |cos?

3. 数量积的坐标表示式

设 a =(ax, ay , az),

b = (bx , by , bz), 则

a ? b = (ax i + ay j + az k ) ? (bx i + by j + bz k ) = ax i ? (bx i + by j + bz k ) + ay j ? (bx i + by j + bz k ) + az k ? (bx i + by j + bz k ) = ax bx i ? i + ax by i ? j + ax bz i ? k + ay bx j ? i +ay by j ? j + ay bz j ? k + a z b x k ? i + a z b y k ? j + a zb z k ? k = ax bx + ay by + a z bz

得公式:

a ? b = ax bx + ay by + az bz

(1)

推论: 两个非零向量

a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)垂直 ax bx + ay by + az b z = 0

4. 数量积在几何中的应用 设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz),

(1) 求 a 在 b 上的投影. 已知: Prjba = | a | ? cos(a,b)
?

由 |a | |b | ?cos(a,b) = a ? b , 得
a ? b a x bx ? a y b y ? a z bz Pr jb a ? ? 2 |b| bx2 ? b y ? bz2

?

(2)

(2) 求两向量 a, b 的夹角 由 | a | | b |cos? = a ? b, 知

a ?b cos θ ? |a||b|

?

a x bx ? a y b y ? a z bz a ?a ?a ? b ?b ?b
2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z

(3)

例2 已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求?AMB. 解: ?AMB即为向量MA与MB的夹角. 由

MA= (1, 1, 0),

MB = (1, 0, 1)

MA? MB 得: cos?AMB= | MA || MB |

1 ? ? 12 ? 12 ? 0 2 ? 12 ? 0 2 ? 12 2

1? 1 ? 1? 0 ? 0 ? 1

所以

?AMB ?

?
3

二、两向量的向量积 例如:设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F 作用于这 杠杆上P点处, F 与OP的夹角为? , 考虑 F 对支 F 点 O 的力矩. 由力学规定: 力F 对支点O的 ? P L 力矩是一个向量M . O Q 其中: (1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin? · | = |OP| |F | sin? |F (2) M的方向: 垂直于OP与F 所在的平面, 指向满足 右手规则. 即:右手四指从OP以不超过?的角转向F 握拳, 大拇指的指向就是M 的方向.

1. 定义1: 设有两个向量 a、b, 夹角为?, 作一个向量c, 使得 (1) | c | = | a | | b | sin?

c = a?b
b

?

a

(2) c 与a、b所在的平面垂直, (即 c ? a且c ? b). c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定. 则将向量c 称为 a 与 b 的向量积, 记作: a ? b.

即:

c=a?b

注: 向量积的模的几何意义. 以a、b为邻边的平行四边形, 其面积等于| a | | b |sin?, 所 以a ? b的模, 等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.

向量积的性质 (1) a ? a = 0 (2) 反交换律 (3) 分配律

| c | = | a | | b | sin? a?b=?b?a

a ?(b + c) = a ? b + a ? c (b + c) ? a = b ? a + c ? a

(4) 向量积与数乘满足结合律: (? a) ? b = a ? (? b) = ? (a ? b ), ?为实数

(5) 两个非零向量 a 、b 平行

a?b=0

证: 必要性: 设a 、b 平行, 则 ? = 0或 ? = ?. 于是 | a ? b | = | a | | b |sin? = 0

所以

a?b=0

充分性: 设 a ? b = 0



| a ? b | = | a | | b |sin? = 0

由 | a | ? 0, | b | ? 0, 得

? = 0或 ? = ?. 所以 a 与 b 平行

例如: i ? i = j ? j = k ? k = 0

i?j=k
j?i=?k

j?k=i k?j=?i

k?i=j
i?k=?j
z

i

y

k

j

x

2、向量积的坐标表示式 设 a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 则 a ? b = (ax i + ay j + az k ) ? (bx i + by j + bz k ) = ax i ? (bx i + by j + bz k ) + ay j ?(bx i + by j + bz k ) + az k ? (bx i + by j + bz k ) = ax bx (i ? i) + ax by ( i ? j ) + ax bz( i ? k ) + ay bx (j ? i) + ay by ( j ? j ) + ay bz (j ? k ) + az bx (k ? i) + az by ( k ? j ) + azbz( k ? k )

= ax by k + ax bz(? j ) + ay bx(?k) + ay bz i + az bx j + az by(? i )
= ( ay bz ? az by) i+( az bx ? ax bz) j+ ( ax by ? ay bx) k

得公式: a ? b = ( aybz ? azby) i+( azbx ? axbz) j+ ( axby ? ay bx) k

i ? ax bx

j ay by

k az bz

例3: 求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c. 解: a ? b 同时垂直于a、b i j k 而 a?b ? 2 2 1 4 5 3 = 6i + 4j + 10k ? 8k ? 6j ? 5i = i ? 2j + 2k 取 c = a ? b = (1, ?2 , 2). 显然, 对于任意 ? ? 0?R, ?c = (?,?2?, 2?) 也 与a、b垂直.

例4: 已知?ABC的顶点分别是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求?ABC的面积.

解: 由向量积的定义. 1 S ?ABC ? | AB ? AC | 2 而AB = (2, 2, 2) AC = (1, 2, 4)
i j k

z

C

B
A o y

x

AB ? AC ? 2 2 2 = 4i ? 6j + 2k 1 2 4 1 1 2 于是 S ?ABC ? | AB ? AC | ? 4 ? (?6) 2 ? 2 2 ? 14 2 2

所以

三、两向量的混和积 1.定义2 设有三个向量?, ?, ?, 称 ? 与? 的向量积

? ?? 再与向量 ? 的数量积为向量?, ?, ? 的混合积,记作 [ ? ? ? ]

[ ? ? ? ]= (? ? ? ) ? ?

2.混合积的坐标表示式 设向量? = (ax , ay , az), ? = (bx , by , bz), ? = (cx , cy , cz), 则有 j k i ? ? ? ? ax a y az

bx
? ay by

by
az bz

bz
i ?

ax bx

az bz

j

?

ax bx

ay by

k,

(? ? ? ) ? ? ?

ay by

az bz

cx ?

ax bx

az bz

cy ?

ax bx

ay by

cz,

ax
(? ? ? ) ? ? ? b x

ay by cy

az bz . cz

cx
混合积性质:

(1) [ ? ? ? ] = [ ? ? ? ]= [ ? ? ? ] = – [ ? ? ? ]= – [ ? ? ? ] = – [ ? ? ? ]

(2) ? , ? , ? 共面

[ ? ? ? ]= 0

事实上,
若? , ? , ? 在同一个平面上, 则? ? ? 垂直于它们所在的平面, 故? ? ? 垂直于 ? , 即 (? ? ? ) ? ? = 0

3、混合积 (? ? ? ) ? ? 的几何意义 平行六面体 底面积 S ? | ? ? ? |
???
h

a ? b = |a| ? Prjab

高 h 为 ? 在 ? ? ?上的投影的绝对值 h ? | p ij? ? ? ? | 所以, V = S ? h = | ? ? ? | | p ij? ? ? ? |

? ?

?

= |(? ? ? ) ? ? |

混合积(? ? ? ) ? ? 的绝对值等于以 ? , ? , ? 为棱 的平行六面体的体积 V 的数值。

例5: 已知空间内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求四面体 ABCD 的体积。 解:四面体 ABCD 的体积等于以 AB, AC 和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一,



1 V ? | [ AB AC AD] | . 6
AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1),

AC = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1), AD = (x4 – x1, y4 – y1, z4 – z1),

所以,

1 V = ? x3 ? x1 , 6 x 4 ? x1 ,

x 2 ? x1 ,

y 2 ? y1 , y 3 ? y1 , y 4 ? y1 ,

z 2 ? z1 z 3 ? z1 , z 4 ? z1

其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。


相关文章:
1.2向量代数与空间解析几何公式
1.2向量代数与空间解析几何公式_理学_高等教育_教育专区。港澳台高考培训 1 1.2 向量代数与空间解析几何一、向量代数 1、向量的有关概念:向量间的夹角、向量的...
向量代数与空间解析几何[1]
第七章 向量代数与空间解析几何(1,2)陈建英 上饶职业技术学院 第一节 向量及其线性运算(1、2)教学目的:理解空间直角坐标系的概念;点的坐标;掌握空间两点的距离...
空间解析几何与向量代数
高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数 第八章 空间解析几何向量代数教学目的: 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算(线性...
高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案
空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45 分 1、 平行于向量 a ? (6,7,?6) 的单位向量为___. 2、 设已知两点 M1 (4, 2 ,1)和M 2 (3...
高等数学空间解析几何与向量代数
高等数学空间解析几何向量代数_理学_高等教育_教育专区。1 第七章 空间解析几何向量代数节 空间直角坐标系 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生...
第1讲 向量代数与空间解析几何20140830
第1讲 向量代数与空间解析几何20140830_理学_高等教育_教育专区。高等数学 第1 讲 向量代数和空间解析几何一. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积...
高等数学 向量代数与空间解析几何复习
高等数学 向量代数与空间解析几何复习_理学_高等教育_教育专区。高等数学 向量代数与空间解析几何复习第五章 向量代数与空间解析几何 5.1 向量既有大小又有方向的量...
§_7_空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何向量代数 A 一、 1、 平行于向量 a ? ( 6 , 7 , ? 6 ) 的单位向量为___. 2、 设已知两点 M 1 ( 4 , 2 ,1) 和 M 2...
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何_理学_高等教育_教育专区。向量代数与空间解析几何 、 ...难点: 本讲的难点是曲面方程和空间曲线方程。 三、 内容讲解: 1、 向量代数:...
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何_经济学_高等教育_教育专区。第 4 章 向量代数与空间解析几何 4.1 空间直角坐标系 4.1.1 坐标系在空间中任意取定点 O ,从 O 引出三条...
更多相关标签:
向量与空间解析几何 | 线性代数与解析几何 | 高等代数与解析几何 | 线性代数 解析几何 | 线性代数和解析几何 | 代数几何中的解析方法 | 向量与解析几何 | 解析几何 向量 |