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高二数学教案:8.06抛物线的简单几何性质(4)


【课

题】抛物线的几何性质(4)

【教学目标】
1、掌握直线与抛物线的位置关系。 2、掌握与抛物线有关的轨迹的求法;

【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】
一、复习引入
1、复习抛物线的几何性质; 2、通径的概念及几何意义; 3、抛物线焦点弦的性质

二、

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讲解新课

直线与抛物线有可能有一个交点,两个交点,没有交点三种情形,判别的依据是将直线 的方程和抛物线的方程联立得到的方程组解的个数,最后即转化为判别式的情形, 即,若 ? ? 0 ,相交; ? ? 0 ,相切; ? ? 0 ,相离。 但要注意的是,类似于双曲线的情况,当直线与抛物线的对称轴平行时,只有一个交点,这 是直线和抛物线相交。

三、

例题讲解

(一)直线与抛物线的位置关系 【例1】 直线 l:y=kx+1,抛物线 C:y2=4x,当 k 为何值时 l 与 C 相切、相交、相离.
? ? y ? kx ? 1 解:将 l 与 C 的方程联立: ? 2 ? ? y ? 4x

化简得:k2x2+(2k—4)x+1=0 当 k≠0 时,是一个一元二次方程. ∴Δ =(2k—4)2—4k2=16—16k ①Δ =0 即 k=1 时,l 与 C 相切 ②Δ >0 即 k<1 且 k≠0 时,l 与 C 相交 ③Δ <0 即 k>1 时,l 与 C 相离

当 k=0 时,直线 l:y=1 与 C:y2=4x 相交. 综上所述:k=1 时,l 与 C 相切;k<1 时,l 与 C 相交;k>1 时,l 与 C 相离. (二)与抛物线有关的轨迹问题 【例2】 如图所示,P 为抛物线 y=x2 上的一个动点,连接原点 O 与 P,以 OP 为边作一个正 方形 OPQR,求动点 R 的轨迹. 解法一:设动点 P 及动点 R 的坐标分别为 P(x0,y0) 、R(x,y) 则 kOP=
y 0 x0 2 y ? ? x 0 , k OR ? x0 x0 x

∵kOP·kOR=—1 ∴x0·
y =—1 x

又∵|OP|=|OR| ∴x2+y2=x02+y02=x02+x04 解 x04+x02—(x2+y2)=0 得: x02=
? 1 ? 1 ? 4x 2 ? 4 y 2 2

x02·

y2 ? 1 ? 1 ? 4x 2 ? 4 y 2 y2 = · 2 =1 2 2 x x
2y2 x
4
2

∴1+4x2+4y2=(

+1)2

化简整理得:y =x2 即 y2=x 或 y2=—x 则动点 R 的轨迹是两支抛物线(不包括原点) 解法二:利用△ORN ≌△OPM 的条件,用转移法求动点 R 的轨迹. 设动点 R 的坐标为(x,y),则 P 点的坐标是(y,—x)或 P(—y,x) 又∵P 点在抛物线上 ∴P 点坐标适合其方程 ∴(—x)=y2 或 x=(—y)2 即动点的轨迹方程为:y2=±x 故动点 R 的轨迹是两支抛物线(不包括原点). 【例3】 设 P 为抛物线 y=x2 上一动点,定点 A(a,0)关于点 P 的对称点是 Q(a≠0).

(1)求点 Q 的轨迹方程 (2)设(1)中的轨迹与 y=x2 交于 B、C,当 AB⊥AC 时,求 a 的值. 解: (1)设 Q(x,y),P(x1,y1) ∵P、Q 关于 A(a,0)对称
x?a ? x ? ? ? 1 2 ∴? y ?y ? 1 ? 2 ?

又∵(x1,y1)在抛物线 y=x2 上 ∴
y x?a 2 =( ) 2 2
1 (x+a)2. 2

即 Q 点的轨迹方程是:y= (2)设抛物线 y= ∴
b2 c2 ? ? ?1 b?a c?a

1 (x+a)2 与 y=x2 交于点 B(b,b2),C(c,c2),且 AB⊥AC 2

∴b2c2=—bc+a(b+c)—a2 又∵B、C 是两抛物线的交点 ∴x2=



1 (x+a)2 即 x2—2ax—a2=0 2

∴b、c 是这个方程的两个根
? ?b ? c ? 2a 则? 2 ? ?b ? c ? ?a

② ③

把②、③代入①得:a4=a2+a·2a—a2 ∵a≠0 ∴a2=2,a=± 2 ∴当 AB⊥AC 时,a 的值为± 2 . 【例4】 已知动双曲线的右顶点在抛物线 y2=x–1 上, 实轴长恒为 4, 又以 y 轴为右准线. (Ⅰ)求动双曲线的中心的轨迹方程;(Ⅱ)求离心率取最小值时的双曲线方程. 解:(Ⅰ)设双曲线的中心为(x, y),依题意 x<0, ∵a=2,∴双曲线右顶点为(x+2,y) 依条件点(x+2,y)在 y2=x–1 上,∴y2=(x+2)–1=x+1 ∴双曲线中心的轨迹方程为 y2=x+1 (–1≤x<0). (Ⅱ)∵a=2,∴c 最小时,e 最小.

设双曲线方程为

( x ? x0 ) 2 a2

?

( y ? y0 ) 2 b2

? 1,
a2 ? x 0 ? 0, c

c ? a2 ? b2 ? 4 ? b2 且准线方程为 x=0,∴

∴ x0 ? ? ∴
4

4 a2 4 2 2 ?1 ? 0 . ?? . 由(Ⅰ)知 y0 ? x0 ? 1, ∴ y 0 ? ? 2 c 4 ? b2 4?b ? 1, ∴ b 2 ? 12, ∴ c ? 4 ? b 2 ? 4, ∴ e ?
c 4 ? ? 2 当且仅当 b=12 时取等号, a 2

4 ? b2

此时 x0= –1,y0=0,所求双曲线方程为

( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1. 4 12

【例5】 如图,已知线段 AB 在直线 y=—2 上移动,∠ AOB= (1)求△ AOB 外心的轨迹方程; (2)设直线 OA 与(Ⅰ )中的轨迹相交于 C、D 两点, 程.

? (O 为坐标原点). 4

CD =—4,求 OA 所在直线的方 OC

解法一:(1)设△ AOB 外心为点 M(x,y), 作 MN⊥ AB 于 N 连结 MA,由平面几何知识,得∠ AMN= 在 Rt△ AMN 中, ∴ cos
MN MN ? = = AM OM 4

? 4



y?2 x ?y
2 2

=

2 . 2

整理,得(y+4)2—x2=8 所以所求的轨迹方程是 (y+4)2—x2=8(y≥2 2 —4). (2)设直线 OA 方程为 y=kx(k≠±1),C、D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2) 将 y=kx 代入方程(y+4)2—x2=8,得

(kx+4)2—x2=8. ∴ (k2—1)x2+8kx+8=0.
8k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? k ?1 ∴? 8 ?x x ? 1 2 ? k 2 ?1 ?

∵ ∴

CD OD =—4,∴ =—3 OC OC

x2 =—3 x1

即 x2=—3x1

8k ? ? 2 x1 ? ? 2 ? ? k ?1 ∴? ?? 3x 2 ? 8 1 ? k2 ?1 ?

解得 k2=

1 7

∵ 当 OA 方程是 y=—

? 7 x 时,不满足∠ AOB= 且 AB 在直线 y=—2 上,故应舍去 4 7
7 x 7

∴ 所求直线 OA 的方程为 y=

解法二:(1)设 M、A、B 的坐标分别为 M(x,y)、(a,—2)、(b,—2) 当 ab≠0 时,∵ ∠ AOB=45° ,根据两条直线的夹角公式,得
?2 ?2 ? b a =1,化简为|2(b—a)|=|4+ab| 4 1? ab



又 M 为△ AOB 的外心,则|MA|=|MB|=|MO| x2+y2=(x—a)2+(y+2)2=(x—b)2+(y+2)2 ② ?a ? b ? 2 x ∴? ③ ab ? 4( y ? 1)
?

由① ,得 4[(a+b)2—4ab]=(ab+4)2 将② 、③ 代入④ 整理,得(y+4)2—x2=8.



当 ab=0 时,点 M 的坐标为(1,—1)或(—1,—1)适合上式 ∴ 所求的轨迹方程(y+4)2—x2=8(y≥—4+2 2 ) (2)∵
CD = —4 OC



OD =—3 OC

|OD|=3|OC| 设直线 OA 方程为 x=ty(y≠±1),C、D 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) 又∵ (Ⅰ )中双曲线的准线方程是 y=—2,焦点是原点,离心率为 2 ∴ 2 (y2+2)=3 2 (y1+2)

∴ y2=3y1+4 将 x=ty 代入(Ⅰ )中方程,整理得 (1—t2)y2+8y+8=0 ∴ y1+y2=
8 t2 ?1

y1y2=

8 1? t2

以上各式消去 y1,y2,得 t4—6t2—7=0. (t2—7)(t2+1)=0 ∴ t= 7 (t=— 7 舍去). ∴ 所求直线 OA 方程为 y=
7 x 7

【例6】 如图,已知线段 AB 在直线 y=—2 上移动,|AB|=4,O 为坐标原点. (1)求△ AOB 外心的轨迹方程. (2)设直线 OA 与(Ⅰ )中轨迹相交于 C、D 两点,
OD =—3,求 OA 所在直线的方程. OC

解:(Ⅰ )设△ AOB 外心为 M(x,y) 作 MN⊥ AB 于 N,连结 MA,在⊙ M 中依垂径定理,得|AN|= |AB|=2 又∵ |MA|=|OM|= x2 ? y2 |MN|=|y+2| 在 Rt△ AMN 中,由勾股定理得 x2+y2=4+(y+2)2,x2=4y+8 (Ⅱ )设 C、D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 OA 方程为 y=kx ① ? ? y ? kx ② ∴? 2 ? ?x ? 4 y ? 8 [J 由① 、② 得,x2—4kx —8=0 B] ∴?
? x1 ? x2 ? 4 k ? x1 x2 ? ?8

1 2

]



OD =—3,∴ x2=—3x1 OC

∴? ?

??2 x1 ? 4k
2 ? ?? 3x1 ? ?8

∴ k2= ,∴ k=±

2 3

6 . 3 6 x. 3

∴ 所求直线 OA 的方程为 y=±

【例7】 如图,A 为直线 l 外一点,A 到 l 的距离为 P,MN 是直线 l 上定长线段,且| MN|=2P, (1)当 MN 在直线 l 上滑动时,建立适当坐标系;求△ AMN 外接圆的圆心 C 的轨迹 E; (2)当圆心 C 在 E 上什么位置时,|AM|+|AN|=2 3 P. 解: (1)以 l 为 x 轴,过 A 垂直于直线 l 的直线为 y 轴,建 立如图所示的直角坐标系,设圆心为 C(x,y), 则 M(x—P,0),N(x+P,0) 由题设,|CA|=|CM|, 即 x 2 ? ( y ? P) 2 ? ( x ? x ? P) 2 ? y 2 ∴ x =2Py 所以,△ AMN 外接圆圆心 C 的轨迹是以原点为顶点,y 轴为对称轴的抛物线 (2)设∠ MAN=θ,MN 的中点为 B,连 CM、CB,则∠ MAN=∠ BCM 因 S ?AMN ?
1 1 AM AN sin? ? MN OA 2 2


所以|AM||AN|=
2 2

2P 2 sin?


|MN| =|AM| +|AN| -2|AM||AN|cosθ =(|AM|+|AN|) -2|AM||AN|(1+cosθ) 即4P =12P -2|AM||AN|(1+cosθ) 4P =|AM||AN|(1+cosθ)= 从而 ctg
?
2 ? 2, tg
2 2 2 2

2P2 (1 ? cos ? ) sin ?

?
2

?

1 4 3 , tg? ? , ctg? ? 2 3 4

在 Rt△ CMB 中,

CB MB

? ctg? ,

|CB|=

3 3 · P 即 y0= P 4 4

将 y0=

3 6 P 代入 E 得 x=± P , 4 2 3 6 P , P) 4 2

从而 C(±

【例8】 已知椭圆中心在原点,以抛物线 y 2 ? 16( x ? 1) 的焦点为其右焦点,并且椭圆的 长轴长、短轴长、焦距成等差数列,A、B 是椭圆上两点,弦 AB 中点 M 在直线 x=4 上。 (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)求证弦 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴交于定点。 解: (Ⅰ)设椭圆方程为:
x2 a2 ? y2 b2 ? 1( a ? b ? 0) 。

依题意,易知抛物线焦点坐标为(3,0) 。 ∴ ?

?c ? 3 ?2b ? a ? 3

又由已知,有 a2=b2+9 解之,得 a=5,b=4。 椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1。 25 16
y1 ? y 2 ) 。 2

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则由题设易知 y1 ≠ y2,且弦 AB 中点 M( 4, AB 垂直平分线 l 方程为:
y? y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 ( x ? 4) 2 y1 ? y 2
2 2 y1 ? y2 2( x1 ? x 2 )

令 y ? 0, 得x ? 4 ?



∵ A、B 坐标满足椭圆方程:
2 x1 x2 y2 y2 ? 1 ?1, 2 ? 2 ?1 25 16 25 16 16 2 16 128 2 2 2 ? y2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) 。 两式相减: y1 25 25 25

代入①式得 x ? 4 ?

?

128 ( x1 ? x 2 ) 36 25 ? 2( x1 ? x 2 ) 25

∴AB 垂直平分线 l 与 x 轴交于定点 T(

36 ,0 ) 。 25

【例9】 如图所示,BC 是一条曲线段,点 B 在直线 l 上,点 C 到 l 的距离等于 5,l 外 一点 A 到 l 的距离为 2。对于曲线段 BC 上的任意一点 P,总满足|PA|—d=3,其中 d 是 点 P 到直线 l 的距离。 (Ⅰ)建立适当的坐标系,写出 l 的方程及点 A 的坐标,并求出点 B、点 C 的坐标; (Ⅱ)求出曲线段 BC 的方程; (Ⅲ)设另有一定点 D,AD⊥l,A、D 位于 l 两侧,且点 D 到 l 的距离为 a(a>0) , 求曲线段 BC 上的点到点 D 的最近距离。

解: ()以 l 为 y 轴,且点 A 在 x 轴的正半轴上建立直角坐标系。 则 l 的方程为 x=0,点 A 的坐标为(2,0) 。 由|BA|=3,可求出点 B 的坐标为(0, 5 ) 。 设点(—5,y) ,由|AC|—5、3,得 (?5 ? 2) 2 ? y 2 ? 64 , 。 ? y ? ? 15 (舍去负值) 点 C 的坐标为(—5, 15 ) 。 ()设点 P(x,y)是曲线段 BC 上任意一点,则 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? (? x) ? 3
? y 2 ? ?2 x ? 5(?5 ? x ? 0, y ? 0)

()设点 D(—a,0) ,点 P(x,y)是曲线段 BC 上任意一点,依题意:
| PD |? ( x ? a) 2 ? y 2 ? ( x ? a) 2 ? 2 x ? 5 ? [ x ? (1 ? a)]2 ? 2a ? 4

若 ?5 ? a ? 0 ,即 1 ? a ? 6 ,则当 x ? 1? a 时 | PD | min ? 2a ? 4 若 1? a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 则当 x=0 时, | PD |min ? a 2 ? 5 ; 若 1? a ? ?5 即 a ? 6 ,则当 x=-5 时 , | PD | min ? a 2 ?10a ? 40


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