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正弦定理、余弦定理精选测试题带解析答案


正余弦定理精选测试题
一、选择题 1.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的值为( π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 2.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为 A.75° B.60° C.45° D.30° ) ( )<

br />
)

3.(2010· 上海高考)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ( D. 7 8

4.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为 5 3 3 A. B. C. 18 4 2

)

5.(2010· 湖南高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° ,c= 2a,则 A.a>b 二、填空题 6.△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,已知 a= 3,b=3,C=30° ,则 A=________. 7.(2010· 山东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sin B+cos B = 2,则角 A 的大小为________. 8.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为 ________. 三、解答题 9.△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.若 a2-c2=2b,且 sin B=4cos Asin C,求 b. B.a<b C.a=b ( D.a 与 b 大小不能确定 )

3 10.在△ABC 中,已知 a2+b2=c2+ab.(1)求角 C 的大小; (2)又若 sin Asin B= ,判断△ABC 的形状. 4

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11.(2010· 浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 3 且 S= (a2+b2-c2). (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A+sin B 的最大值. 4

12 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

? . 3

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答案及解析
a +c -b 3 π 1. 【解析】由余弦定理 cos B= ,由 a2+c2-b2= 3ac,∴cos B= ,又 0<B<π,∴B= . 2ac 2 6 【答案】A 1 3 2. 【解析】S△ABC= ×3×4sin C=3 3,∴sin C= . ∵△ABC 是锐角三角形,∴C=60° . 2 2 【答案】B 3. 【解析】由 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,得 a∶b∶c=5∶11∶13,不妨令 a=5,b=11,c=13. ∴c2>a2+b2=52+112=146,∴c2>a2+b2,根据余弦定理,易知△ABC 为钝角三角形. 【答案】C 4. 【解析】不妨设底面边长为 1,则两腰长的和为 4,一个腰长为 2,由余弦定理得顶角的余弦值为 22+22-12 7 = . 8 2×2×2 【答案】D 5. 【解析】∵∠C=120° ,c= 2a,∴由余弦定理,得( 2a)2=a2+b2-2abcos 120° ,故 ab=a2-b2= (a-b)(a+b)>0,∴a-b>0,故 a>b. 【答案】A 6. 【解析】∵c2=a2+b2-2abcos C=3,∴c= 3,∴a=c,则 A=C=30° . 【答案】30° π π π a b 1 7. 【解析】∵sin B+cos B= 2sin(B+ )= 2,∴sin(B+ )=1,∴B= . 又 = ,得 sin A= , 4 4 4 sin A sin B 2 π A= . 6 π 【答案】 6 π 1 8. 【解析】∵A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=π,∴2B=A+C,∴B= ,又 BD= BC=2, 3 2 ∴在△ABD 中,AD= AB2+BD2-2AB· BDcos B= 3. 【答案】 3 b c 9. 【解析】法一 ∵sin B=4cos Asin C,由正弦定理,得 =4cos A ,∴b=4ccos A,由余弦定理 2R 2R b2+c2-a2 得 b=4c· ,∴b2=2(b2+c2-a2),∴b2=2(b2-2b),∴b=4. 2bc 法二 由余弦定理,得 a2-c2=b2-2bccos A,∵a2-c2=2b,b≠0,∴b=2ccos A+2,① b sin B sin B 由正弦定理,得 = ,又由已知得, =4cos A,∴b=4ccos A.② c sin C sin C 解①②得 b=4. a2+b2-c2 ab 1 π 10. 【解析】(1)由题设得 a2+b2-c2=ab,∴cos C= = = ,又 C∈(0,π),∴C= . 2ab 2ab 2 3 2 1 1 3 (2)由(1)知 A+B= π,∴cos(A+B)=- ,即 cos Acos B-sin Asin B=- . 又 sin Asin B= , 3 2 2 4 3 1 1 ∴cos Acos B= - = ,从而 cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B=1,由 A,B∈(0,π),∴A-B=0,即 A=B, 4 2 4 从而△ABC 为等边三角形. 1 3 π 11. 【解析】(1)由题意可知 absin C= · 2abcos C,所以 tan C= 3. 因 0<C<π,故 C= . 2 4 3 2π 3 1 (2)由已知 sin A+sin B=sin A+sin(π-C-A)=sin A+sin( -A)=sin A+ cos A+ sin A 3 2 2 π π 2π π π 5π π π π π = 3sin(A+ ),∵C= ,∴0<A< ,∴ <A+ < ,∴当 A+ = ,即 A= 时, 3sin(A+ ) 6 3 3 6 6 6 6 2 3 6 取最大值 3. ∴sin A+sin B 的最大值为 3.
2 2 2

12 解析:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b2 ? ab ? 4 ,
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1 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ab ? 4 , ?
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 当 cos A ? 0 时, A ?
? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 b ? 2 a , ?
所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ab sin C ? 2 3

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