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不等式恒成立问题中的参数求解技巧


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不等式恒成立问题中的参数求解技巧
在不等式中, 有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。 恒成立条件下不等式参 数的取值范围问题,涉及的知识面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可 借用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,是同学们学习的一个难点,同时也是高考命题中 的一个热点。其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小 值,③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例,从不同角度用常规方法归纳, 供大家参考。 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题, 若能把不等式转化成二次函数或二次方程, 通过 根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。
2 例 1 对于 x∈R,不等式 x ? 2x ? 3 ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

2 解 : 不 妨 设 f (x) ? x ? 2x ? 3 ? m , 其 函 数 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 为 了 使

f ( x ) ? 0( x ? R ) ,只需 ? ? 0 ,即 (?2) 2 ? 4(3 ? m) ? 0 ,解得 m ? 2 ? m ? (??, 。 2]
2 变形:若对于 x∈R,不等式 mx ? 2mx ? 3 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

此题需要对 m 的取值进行讨论,设 f (x) ? mx ? 2mx ? 3 。①当 m=0 时,3>0,显然 成立。②当 m>0 时,则△<0 ? 0 ? m ? 3 。③当 m<0 时,显然不等式不恒成立。由①②③
2

3) 知 m ? [0, 。
2 关 键 点 拨 : 对 于 有 关 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 ( 或 <0 ) 的 问 题 , 可 设 函 数

f (x) ? ax 2 ? bx ? c , a 的符号确定其抛物线的开口方向, 由 再根据图象与 x 轴的交点问题,
由判别式进行解决。
2 例 2 已知函数 f (x) ? x ? 2kx ? 2 , x ? ?1 时恒有 f ( x ) ? k , 在 求实数 k 的取值范围。 2 解:令 F(x) ? f (x) ? k ? x ? 2kx ? 2 ? k ,则 F( x ) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立, F( x ) 而 是开口向上的抛物线。 2 ①当图象与 x 轴无交点满足△<0,即 ? ? 4k ? 4(2 ? k) ? 0 ,解得-2<k<1。

? ②当图象与 x 轴有交点,且在 x ? [?1, ?) 时 F( x ) ? 0 ,只需

? ?? ? 0 ?k ? ?2或k ? 1 ? ? ? ?F(?1) ? 0 ? ?1 ? 2k ? 2 ? k ? 0, ?3 ? k ? ?2 ? ? 2k ?k ? ?1 ?? ? ?1 ? ? 2 由①②知 ? 3 ? k ? 1 ? 关键点拨: 为了使 f ( x ) ? k 在 x ? [?1, ?) 恒成立, 构造一个新函数 F( x) ? f ( x) ? k 是
解题的关键,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。 二、参数大于最大值或小于最小值 如果能够将参数分离出来, 建立起明确的参数和变量 x 的关系, 则可以利用函数的单调 性求解。a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) max ,即大于时大于函数 f ( x ) 值域的上界。a ? f ( x ) 恒 成立 ? a ? f ( x ) min ,即小于时小于函数 f ( x ) 值域的下界。 例3 范围。
2 已知二次函数 f (x) ? ax ? x ,如果 x∈[0,1]时 | f ( x ) |? 1,求实数 a 的取值

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2 解:x∈[0,1]时, | f (x) |? 1 ? ?1 ? f (x) ? 1 ,即 ? 1 ? ax ? x ? 1 ①当 x=0 时,a∈R

? 2 ?ax ? ? x ? 1 1 1 ? 2 a?? 2 ? ?ax ? ? x ? 1 1] x 恒成立,即求 x ②当 x∈ (0, 时,问题转化为 ? 恒成,由

1 1 1 ? 1 1? 1 1 1 u(x) ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? x ? (0,, ? [1, ? ),u ( x ) 1] ? x 4。 x ? x 2? x 的最大值。 x x 设 因 为减函数,所以当 x=1 时, u(x) max ? ?2 ,可得 a ? ?2 。 1 1 ? 1 1? 1 1 1 1 1 v(x ) ? 2 ? ? ? ? ? ? a? 2 ? ? x ? x 2? 4 。因 x x 恒成立,即求 x 2 x 的最小值。设 x 由 1 x ? (0,, ? [1, ? ),v( x ) 1] ? x 为增函数,所以当 x=1 时, v(x) min ? 0 ,可得 a≤0。 由①②知 ? 2 ? a ? 0 。
1 关键点拨:在闭区间[0,1]上使 | f ( x ) |? 1分离出 a,然后讨论关于 x 的二次函数在 [1, ?) 上的单调性。 ?
2

2

lg 2ax ?1 例 4 若不等式 lg(a ? x ) 在 x∈[1,2]时恒成立,试求 a 的取值范围。

?x ? 1 ? 解:由题设知 ?2ax ? 0 ,得 a>0,可知 a+x>1,所以 lg(a ? x ) ? 0 。原不等式变形为 lg 2ax ? lg(a ? x) 。
2 ? 2ax ? a ? x ,即 (2x ? 1)a ? x 。又 x ? [1,] ,可得 2 x ? 1 ? 0

x 1? 1 ? 1? 1 ? ? ?1 ? f ( x ) ? ?1 ? ? ? 2x ? 1 2 ? 2x ? 1 ? 恒成立。设 2 ? 2x ? 1 ? ,在 x∈[1,2]上为 2 2 2 f ( x ) min ? f (2) ? a? 0?a? 3 ,知 3 。综上知 3。 减函数,可得 ?a ?

lg 2ax ?1 关键点拨:将参数 a 从不等式 lg(a ? x ) 中分离出来是解决问题的关键。 x y x y ? ?c? ? x ? 2 y 2x ? y ,对任意正 例 5 是否存在常数 c 使得不等式 2x ? y x ? 2 y
数 x、y 恒成立?试证明你的结论。

c?
解:首先,欲使

x y ? x ? 2 y 2x ? y 恒成立(x、y>0),进行换元令

2b ? a ? ?x ? 3 ?x ? 2 y ? a ? 2b ? a 2a ? b ,得 ? ? 2x ? y ? b 2a ? b ? ?y ? c? 3 ? 3 ? 3 ? a b 。∴上述不等式变为 ,即 1 ? 2b ? a 2a ? b ? 1 ? 2b 2a 1 ? 2b 2a ? ? c ? ?? ? ? ? 2? ? ? 2? ?? ? ? 3 ? a b ? 3? a b 3? a b ? 恒成立。寻求 ? 的最小值,由
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? 2 1 ? 2b 2a ? 1 ? 2b 2a ? 2? ? ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? 3 b a b ? 3 ? ? ? a>0,b>0,利用基本不等式可得 3 ? a 。 ?2x ? y ? a x y c? ? ? 2x ? y x ? 2 y 恒成立 ( x、y ? 0) ,令 ?x ? 2y ? b , 同理欲使
2a ? b ? ?x ? 3 ? ? ? y ? 2b ? a c? 3 ∴上述不等式变为 ? 得?

1 ? 2a ? b 2b ? a ? ? ? ? 3? a b ?,

1 ? b a ? 1 ? ? b a ?? 1 ? ? b a ?? c ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?4 ? ? ? ?? 4?? ? ? 3 ? a b ? 3 ? ? a b ?? 。寻求 3 ? ? a b ?? 的最大值,易得 ? ? 即

1 ? ? b a ?? 1 ? b a? 2 2 ?4 ? ? a ? b ?? ? 3 ? 4 ? 2 a ? b ? ? 3 c? ? ? 3? ? ?? 3 使上述不等式恒成立 ? ? 。综上知存在 2 关键点拨:本题是两边夹的问题,利用基本不等式,右边寻找最小值 3 ,左边寻找最
2 2 大值 3 ,可得 c= 3
三、变更主元 在解含参不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到的效果, 使问题能更迅速地得到解决。
2 例 6 若不等式 2x ? 1 ? m(x ? 1) , 对满足 ? 2 ? m ? 2 所有的 x 都成立, x 的取值范围。 求 2 解:原不等式可化为 m(x ? 1) ? (2x ? 1) ? 0 2 令 f (m) ? (x ? 1)m ? (2x ? 1)( ?2 ? m ? 2) 是关于 m 的一次函数。

?f (?2) ? ?2( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) ? 0 ? ?1? 7 1? 3 ? ?x? ?f (2) ? 2( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) ? 0 2 2 由题意知 ? 解得

? ?1? 7 1? 3 ? ? ? , ? 2 2 ? ? ? ∴x 的取值范围是
关键点拨:利用函数思想,变换主元,通过直线方程的性质求解。 例 7 已知 f ( x ) 是定义在[-1,1]上的奇函数且 f (1) ? 1 ,若 a、b∈[-1,1],a+b≠0,

f (a ) ? f ( b) ?0 a?b 有 。
(1)判断函数 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数还是减函数。

1? 1? ? ? f ? x ? ? ? f ? 2x ? ? 2? 2 ?。 ? (2)解不等式 ?
2 , (3)若 f (x) ? m ? 2am ? 1对所有 x ? [?1 1] 、a∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取 值范围。

解:(1)设 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? 1,则

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f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f (? x 2 ) ?

f ( x 1 ) ? f (? x 2 ) (x1 ? x 2 ) ? 0 x1 ? x 2 ,

可知 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,所以 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数。

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 2 x ? ? 1 2 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? 2 x ? 2 (2)由 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数知 ?
1 1? ? 1 1 ?x | ? ? x ? ? ?x? 4 2? 2 ,故不等式的解集 ? 解得 4 (3)因为 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数,所以 f ( x ) ? f (1) ? 1 ,即 1 是 f ( x ) 的最大值。
?
2 2 依题意有 m ? 2am ? 1 ? 1 ,对 a∈[-1,1]恒成立,即 m ? 2am ? 0 恒成立。



g(a) ? ?2ma ? m 2
2

















线









?g ( ?1) ? m ? 2m ? 0 ? ? ? ?g (1) ? m 2 ? 2m ? 0 m ? (??,? 2] ? {0} ? [2, ?) 。 ? ?
关键点拨:对于(1),抽象函数单调性的证明往往借助定义,利用拼凑条件,判断差 的符号。对于(2),后一步解不等式往往是上一步单调性的继续,通过单调性、函数值的
2 大小转化到自变量的大小上来。对于(3),转换视角变更主元,把 m ? 2am ? 0 看作关于

a 的一次函数,即 g(a ) ? ?2ma ? m 在 a∈[-1,1]上大于等于 0,利用 g(a ) 是一条直线 这一图象特征,数形结合得关于 m 的不等式组,从而求得 m 的范围。
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