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2.1合情推理与演绎推理


彭俊

课题导入 (1分钟)
推理是人们思维活动的过程, 是根据一个或几 个已知的判断来 确定一个新的判断的思维过程.本 节将介 绍人们在日常活动和科学 研究中经常使用的两种推理 : 合情推理和演绎推理.

二、目标引领(2分钟)
1.了解归纳推理与类比推理的含义与特点 2.掌握演绎推理的一般步骤

3.会利用合情推理与演绎推理解决一些简 单问题

三、预习效果检测(5分钟)
思考 因为指数函数y ? a x 是增函数, ?1? 而y ? ? ? 是指数函数, ?2? ?1? 所以y ? ? ? 是增函数. ?2? ?1? 上面的推理形式正确吗 ?
x x

大前提 小前提

结论

? 2 ? 推理的结论正确吗 ? 为什么?
上述 推 理的形式 正确, 但大前提是错误的
x

?因为指数函数 y ? a , ?0 ? a ? 1?是减函数 ?,

所以所得的结论是错误 的.

四、引导探究(25分钟)
探究一 归纳推理 下面看一下哥德巴赫提出猜想的过程.
据说哥德巴赫无意中观 察到 : 3 ? 7 ? 10,3 ? 17 ? 20,13 ? 17 ? 30, 他有意把上面的式子改 写成 : 10 ? 3 ? 7,20 ? 3 ? 17,30 ? 13 ? 17. 其中反映出这样一个规 律 : 偶数 ? 奇质数 ? 奇质数 . 根据上述过程, 哥德巴赫大胆地猜想 : 任何一个

不小于 6的偶数都等于两个奇质数的和.

归纳推理的定义:
这种由某类事物的部分对象具有某些特征 , 推 出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推 论, 或者由个别事实概括出一般结论的推理, 称 为归纳推理 ?简称归纳? .简言之, 归纳推理是由 部分到整体、由个别到一般的推理.

an 例1 已知数列? an ?的第1项a1 ? 1且an ?1 ? 1 ? an
分析 数列的通项公式表示的是数列 ?an ? 的第n 项an与序号之间的对应关系为此 . , 我们先根据已知 的递推公式, 算出数列的前几项.

? n ? 1, 2, ???? , 试归纳出这个数列的通项公式.

1 1 解 当n ? 1时, a1 ? 1; 当n ? 2时, a 2 ? ? ; 1? 1 2

1 1 当n ? 3 时, a3 ? ? ; 当n ? 4时, a 4 ? ? . 1 3 1 4 1? 1? 2 3

1 2

1 3

观察可得, 数列的前4项都等于相应序号的倒 1 数由此猜想 . , 这个数列的通项公式为 an ? . n
在例1 中, 我们通过归纳得到 了关于数列通项公式的 一个 猜想 .虽然 猜想是否正确还 有待严格的证明 , 但这个猜 想可以为我 们的研究 提供 一种方向.

探究二 类比推理
除了归纳 , 在人们的创造发明活动中, 还常常应 用类比 .例如, 据说我国古代工匠鲁班类比带齿 的草叶和蝗虫的牙齿, 发明了锯.
数学研究中也常常进行这样的推理.例如, 在研究 球体时, 我们会自然地联想到圆.

类比推理的定义:
这种由两类对象具有某些类似特征和 其中一类对象的某些已知特征, 推出另 一类对象也具有这些特征的推理称为

类比推理

?简称类比? .简言之,

类比推理是由特殊到特殊的推理.

例 2 类比实数的加法和乘法, 列出它们相似的 运算性质.
分析 实数的加法和乘法都是由两个数参与运算, 都满足一定的运算律, 都存在逆运算, 而且 "0""1" 分 别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可以 . 从上述4个方面来类比这两种运算.

解 ?1?两个实数经过加法运算 或乘法运算后 , 所 得的结果仍然是一个实 数. ?2?从运算律的角度考虑 , 加法和乘法都满足交换 律和结合律 , 即 a?b ?b?a ab ? ba ?a ? b? ? c ? a ? ?b ? c ? ?ab?c ? a?bc ?

?3?从逆运算角度考虑 ,二者都有逆运算 , 加法的逆
运算是减法 ,乘法的逆运算是除法 , 这就使得方程 a?x ?0 ax ? 1?a ? 0? 都有唯一解 1 x ? ?a x? a ?4?在加法中, 任意实数与 0相加都不改变大小 ;乘 法中的 1与加法中的 0类似, 即任意实数与 1的积都 等于原来的数 , 即 a?0 ?a a ?1 ? a

我们把前面所进行的推理过程概括为 :
从具体问 题出发

观察、分析、 比较、联想

归纳、 类比

提出 猜想

法国数学家拉普拉 斯(Laplace,1749 ? 1827)曾经说过 :" 即 使在数学里 , 发现真 理的主要工具也是 归纳和类比 ."

可见, 归纳推理和类比推 理都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、 联想, 再进行归纳类比, 然 后提出猜想的推理, 我们 把他们统称为 合情推理 ( plausible reasoning ).

探究三 演绎推理
在日常生活和数学学习中, 我们还经常以某些 一般的判断为前提, 得出一些个别的、具体的 判断.例如 :

?1? 所有的金属都能够导电 , 铀是金属 , 所以铀
能够导电;

? 2 ? 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运
行, 冥王星是太阳系的大行星, 因此冥王星以椭 圆形轨道绕太阳运行;

演绎推理的定义:
上面的推理都是从一般性的原理出发, 推出某 个特殊情况下的结论, 我们把这种推理称为演

绎推理???? demonstrative reasoning ? .简言之,
演绎推理是由一般到特殊的推理.

???演绎推理又称逻辑推理 .

上面列举的演绎推理的例子都有三段, 称为 " 三段论 ". 其中第一段称为 " 大前提 " , 如 " 所有的金属都能够导 电 ", 讲的是一般原理; 第二段称为 "小前提 ", 如" 铀是金 属", 指的是一种特殊情况; 第三段称为 "结论 ", 如" 铀能 够导电 ", 是所得的结论.

" 三段论" 是演绎推理的一般模式, 包括 : ?1? 大前提 已知的一般原理; ?2?小前提 所研究的特殊情况; ?3?结论 根据一般原理, 对特殊情况做出判断.

例 3 如图 2.1 ? 3所示, 在锐角 三角形ABC中, AD ? BC , BE ? AC , D, E是垂足.求证 : AB的中 点M 到D, E的距离相等.
A

C
D E

M

B

图2.1? 3 证明 ?1?因为有一个内角是 直角的三角形是直角形 , 大前提 在ΔABD中 , AD ? BC,即?ADB ? 900 , 小前提

所以ΔABD是直三角形 .

结论

?2?因为直角三角形的斜边
的一半,

同理, ΔAEB也是直三角形 .

上的中线等于斜边
大前提

C
D
E

A

M

B

图2.1? 3

而点 M是Rt ΔABC的斜边 AB的中点 ,DM 是斜边上的中线 , 小前提
1 结论 所以 DM ? AB . 2 1 同理 ,EM ? AB . 所以,DM ? EM . 2

" 三段论" 可以表示为

大前提 : M是P. 小前提 : S是P. 结 论 : S是P.

我们还可以利用集合知识说明" 三段论": 若集 合M的所有元素都具有性质P, S 是M的一个子 集, 那么S中所有元素也都具有性质P. 由此可见, 应用三段论解决问题时, 首先应该明
确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁, 如 果大前提是显然的, 则可以省略.

五、目标升华(2分钟)
1.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质. (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的 一般性命题(猜想). 2.运用类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性. (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质, 得出一个明确的结论. 3.应用“三段论”来证明问题时,首先应 明确什么是大前提和小前提.若题干中没有, 则应先补出大前提,然后再利用“三段论”证 明.

六、当堂诊学(10分钟) 基础题
1、若an+1=2an+1(n=1,2,3,?).且a1=1 (1)求a2,a3,a4,a5; (2)归纳猜想通项公式an. [解析] (1)由已知a1=1,an+1=2an+1,得 a2=3=22-1, a3=7=23-1, a4=15=24-1, a5=31=25-1. (2)归纳猜想,得an=2n-1(n∈N*).

提高题

2、 类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出 空间四面体性质的猜想. 解 如图所示 , 我们知道,
B

在 Rt ?ABC中,由勾股定, 得 c ? a ?b .
2 2 2

c a
C

于是 ,类比直角三角形的勾股 定理, 在四面体 P ? DEF 中 ,我
2 2 们猜想 S2 ? S1 ? S2 ? S . 2 3成立

b ?1?

A

P

S S3 D 2 S1
E

F

?2?

选做题

3、 证明函数 f ? x ? ? ? x2 ? 2 x 在? ??,1? 上是增函数. 证明 任取x1 , x2 ? ? ??,1? , 且x1 ? x2 ,
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? x ? 2 x1 ? ? ? ? x ? 2 x2 ?
2 1 2 2

? ? x2 ? x1 ?? x2 ? x1 ? 2 ? .
因为x1 ? x 2 , 所以x 2 ? x1 ? 0; 因为x1, x 2 ? 1 , x1 ? x 2, 所以x 2 ? x1 ? 2 ? 0.

于是, 根据" 三段论 " , 得f ?x ? ? ? x ? 2x在?? ?,1? 上是增函数 .
2

因此, f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0,即f ?x1 ? ? f ?x2 ?.

七、强化补清


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