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2010全国高中数学联赛B卷一试


2010 年全国高中数学联合竞赛一试 年全国高中数学联合竞赛一 联合竞赛 试题参考答案及评分标准( 试题参考答案及评分标准(B 卷)
说明: 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本 评阅试卷时,请依据本评分标准. 分两档;其他各题的评阅, 评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 评分标准的评分档

次给分,不要增加其他中间档次 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确, 划分档次评分, 分为一个档次, 分为一个档次, 划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、11 小题 5 分为一个档次,不要增加其 、 他中间档次。 他中间档次。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 填空题( 1. 函数 f ( x ) =

x ? 5 ? 24 ? 3 x 的值域是 [?3, 3 ] .

解:易知 f (x ) 的定义域是 [5,8] ,且 f (x ) 在 [5,8] 上是增函数,从而可知 f (x ) 的值域为 [ ?3, 3 ] . 2. 已知函数 y = (a cos 2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 ?
2 解:令 sin x = t ,则原函数化为 g (t ) = ( ?at + a ? 3)t ,即

3 ≤ a ≤ 12 . 2

g (t ) = ? at 3 + (a ? 3)t .


? at 3 + (a ? 3)t ≥ ?3 , ? at (t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ≥ 0 ,

(t ? 1)(? at (t + 1) ? 3) ≥ 0 及 t ? 1 ≤ 0 知
? at (t + 1) ? 3 ≤ 0 即
a (t 2 + t ) ≥ ?3
(1)

当 t = 0,?1 时(1)总成立; 对 0 < t ≤ 1,0 < t 2 + t ≤ 2 ; 对 ? 1 < t < 0,? 从而可知

1 ≤ t2 + t < 0. 4 3 ? ≤ a ≤ 12 . 2

3. 双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的右半支与直线 x = 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为 整数的点)的个数是 9800 . 解:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y = k ( k = 1,2, L ,99) 与双曲线右半支于 Ak ,交

1

直线 x = 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个 数为

∑ (99 ? k ) = 99 × 49 = 4851 .
k =1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 × 4851 + 98 = 9800 . 4. 已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列,其中 a1 = 3, b1 = 1, a 2 = b2 ,3a 5 = b3 , 且存在常数 α , β 使得对每一个正整数 n 都有 a n = log α bn + β ,则 α + β = 解:设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则
3

3 +3.

3 + d = q, 3(3 + 4d ) = q 2 ,
(1)代入(2)得

(1) (2)

9 + 12d = d 2 + 6d + 9 ,求得 d = 6, q = 9 .
从而有 即 从而 求得

3 + 6(n ? 1) = log α 9 n ?1 + β 对一切正整数 n 都成立,

6n ? 3 = (n ? 1) log α 9 + β 对一切正整数 n 都成立. log α 9 = 6,?3 = ? log α 9 + β ,

α = 3 3, β = 3 , α + β = 3 3 + 3 .

5. 函数 f ( x ) = a 2 x + 3a x ? 2( a > 0, a ≠ 1) 在区间 x ∈ [?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个区间上 的最小值是 ?

1 . 4 3 ,+∞) 上是递增的. 2

解:令 a x = y , 则原函数化为 g ( y ) = y 2 + 3 y ? 2 , g ( y ) 在 ( ? 当 0 < a < 1 时, y ∈ [ a, a ?1 ] ,

g ( y ) max = a ?2 + 3a ?1 ? 2 = 8 ? a ?1 = 2 ? a =
所以 g ( y ) min = ( ) + 3 ×
2

1 , 2

1 2

1 1 ?2=? ; 2 4



a > 1 时, y ∈ [a ?1 , a ] ,
2

g ( y ) max = a 2 + 3a ? 2 = 8 ? a = 2 ,

1 + 3 × 2 ?1 ? 2 = ? . 4 1 综上 f (x ) 在 x ∈ [?1,1] 上的最小值为 ? . 4
所以 g ( y ) min = 2
?2

6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是

12 . 17 21 7 = ,从而先投掷人的获胜概率为 36 12

解:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为

7 5 7 5 7 + ( )2 × + ( )4 × + L 12 12 12 12 12 7 1 12 . = × = 25 17 12 1? 144
7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1 P ? B1 = α ,则

sin α =

10 . 4

解一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点,

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