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2014年“华约”自主招生数学全真模拟


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2014 年“华约” 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟 1 Advanced Assessment for Admission(AAA) 数学与逻辑
试题说明:本试题为重组试题,知识能力要求与华约数学试题相近,试题范围参照华约真题。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每

小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的。
1.已知△ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,a,b,c 所对的角依次为 A,B,C.则 sinB+cosB 的取值范围是( A.(1,1+
3 ] 2

) B.[
1 3 ,1+ ] 2 2

C. (1, 2 ]

D.[

1 , 2] 2

2.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的, 依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( A 1/2 B 2/5 C 3/5 )

D 4/7

3.正四棱锥 S ? ABCD 中,侧棱与底面所成的角为 ? ,侧面与底面所成的角为 ? ,侧面等 腰三角形的底角为 ? ,相邻两侧面所成的二面角为 ? ,则 ? 、 ? 、? 、? 的大小关系( (A) ? ? )

? ? ? ? ? (B) ? ? ? ? ? ? ? (C) ? ? ? ? ? ? ? (D) ? ? ? ? ? ? ?

4. 已知 f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2007|(x∈ 2 R) ,且 f(a -3a+2)=f(a-1).则 a 的值有( ). (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)无数个
?x ? 2 ? 5.平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0 的点(x,y)形成的区域为 D,区域 D 关于直线 y=2x ? x ? y ? 10 ? 0 ?

对称的区域为 E,则区域 D 和区域 E 中距离最近的两面三刀点的距离为( A.
6 5 5



B.

12 5 5
2

C.

8 3 5

D.

16 3 5

6. 若 m、n∈{x|x=a2×10 +a1×10+a0},其中 ai∈{1,2,3,4,5,6,7},i=0,1,2, 并且 m+n=636,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为( ) . (A)60 个 (B)70 个 (C)90 个 (D)120 个

7 . 数 列 ?an ? 定 义 如 下 : a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?

2 ?n ? 1? n an ?1 ? an , n ? 1, 2,? . 若 n?2 n?2
). D 4425

am ? 2 ?
A 4025

2011 ,则正整数 m 的最小值为( 2012
B 4250 C 3650

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8.

用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 1,2, ? ,9 的 9 个小

1 4 7

2 5 8

3 6 9

正方形(如图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都 不相同,且“3、5、7”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂 法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120 9.设 an=2
n

(n=1,2,3, 。 。 。 ) ,An、Bn 分别为数列{an}、{bn}的前 n 项和。 ,bn=n, ) D.110×(2 10-1)

记 cn=anBn+bnAn—anbn,则数列{cn}的前 10 项和为( A.210+53 B.2 11 +53

C.110×(2 9-1)

10 如图,以 O (0,0) 、 A(1,0) 为顶点作正 ?OAP 1 ,再以 P 1 和 P 1 A 的中点 B 为顶点作正

?P1 BP2 ,再以 P2 和 P2 B 的中点 C 为顶点作
正 ?P2 CP3 , …,如此继续下去.则下面选项 中错误的是 ( )

P1
C

P2
P3 P6 P5 P4

1 A 所作的正三角形的边长构成公比为 的等 2
比数列; B 每一个正三角形都有一个顶点在直线 AP2 ( x ? 1 )上; C 第六个正三角形的不在第五个正三角形边

B

63 25 上的顶点 P6 的坐标是 ( , 3) ; 64 64

O

A

D 第 2004 个 正 三 角 形 的 不 在 第 2003 个 正 三 角 形 边 上 的 顶 点 P2004 的 横 坐 标 是

x2004 ? 1 ?

1 2
2004



二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 11.(本小题满分 14 分)已知双曲线 C : a ( a ? 0 , b ? 0 )的离心率为 2,过 ??? ? ??? ? m) ( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点,且 AP ? 3PB , 点 P (0 , ??? ? ??? ? OA ? OB ? 3 .
(1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是否存在定 点 M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

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12.(本小题满分 14 分)已知函数 F ?x ? ?

3x ? 2 ? 1? , ? x ? ?. 2x ?1 ? 2?

(I)求 F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ?? F? ? ? ... ? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

(II)已知数列 ?an ?满足 a1 ? 2 , an ?1 ? F ?an ? ,求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an ?

2n ? 1 .

13.(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a. (I) 当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (II) 当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围; (III) 是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性? 若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由。

2

2

14.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,设 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c 向量 m ? (cos A, sin A), n ? ( 2 ? sin A, cos A), 若 | m ? n | ?2,
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(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 4 2 , 且c ?

2a, 求?ABC 的面积.

15. (本小题满分 14 分)已知 m,n 为正整数. m (Ⅰ)用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x) ≥1+mx;

1 ? 1 m ? ? ? ?1? (Ⅱ)对于 n≥6,已知 ?1 ? ? ? ,求证 ?1 ? ? ? ? ? ,m=1,1,2…,n; 2 ? n ? 3? ? n ? 3? ?2?
(Ⅲ)求出满足等式 3 +4 +…+(n+2) =(n+3) 的所有正整数 n.
n m m n

n

n

m

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2013 年“华约” 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟 1 答案
1.C 3.A 2.B

4.解:由题设知 f(x)为偶函数,则考虑在-1≤x≤1 时,恒有 f(x)=2×(1+2+…+2007)=2008×2007. 2 所以当-1≤a -3a+2≤1,且-1≤a-1≤1 时,恒有 f(a2-3a+2)=f(a-1). 由于不等式-1≤a -3a+2≤1 的解集为 集为 0≤a≤2.因此当
2

3- 5 3+ 5 ≤a≤ ,不等式-1≤a-1≤1 的解 2 2

3- 5 2 ≤a≤2 时,恒有 f(a -3a+2)=f(a-1). 故选(D) . 2

5. (B) . 6.解:由 6=5+1=4+2=3+3 及题设知,个位数字的选择有 5 种. 因为 3=2+1=7+6- 10,故(1) 由 3=2+1 知,首位数字的可能选择有 2×5=10 种; (2) 由 3=7+6-10 及 5=4+1=2+3 知, 首位数字的可能选择有 2×4=8 种. 于是, 符合题设的不同点的个数 为 5×(10+8)=90 种. 故选(C) . 7.A 8.B 解:首先看图形中的 1,5,9,有 3 种可能, 当 1,5,9,为其中一种颜色时, 2,6 共有 4 种可能,其中 2 种 2,6 是涂相同颜色,各有 2 种可能共 6 种可能. 4,8 及 7,与 2,6 及 3,一样有 6 种可能并且与 2,6,3,颜色无关. 当 1,5,9 换其他的颜色时也是相同的情况,符合条件的所有涂法共有 3×6×6=108 种, 9. (D) . 10.C 解:由题意可得,每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的 1/2 ,故①正确; 根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线 AP2x=1 上,故②正确; 第 六 个 正 三 角 形 的 边 长 为 1/64 , 故 顶 点 P6 的 横 坐 标 为 63/64 , P5 的 纵 坐 标 为
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3 /2- 3 /8- 3 /16 =5 3 /16
从而顶点 P6 的纵坐标为 5 3 /16 + 3 /64 =21 3 /64 ,故 C 错误; 第 n 个正三角形的不在第 n-1 个正三角形边上的顶点 Pn 的横坐标是 xn,xn= 1 ?

1 ,则 2 n ?1

limx n ?1 ,故 D 正确. n→∞

x2 y 2 ? 2 ?1 2 3a 11.(1)由双曲线离心率为 2 知, c ? 2a , b ? 3a ,双曲线方程化为 a . ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ? a 3a ? y ? x?m 又直线 l 方程为 y ? x ? m .由 ? ,得 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 3a 2 ? 0 . A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , ??? ? ??? ?




x1 x2 ?

? m 2 ? 3a 2 2 .

(? x1 , m ? y1 ) ? 3( x2 , y2 ? m) x1 ? ?3 x2 因为 AP ? 3PB ,所以 , . x1 ? x2 ? m , 解 得 x1 ? 3 1 ? m 2 ? 3a 2 m x2 ? ? m x1 x2 ? 2 , 2 2 . 代 入 , 得

结 合

3 2 ? m 2 ? 3a 2 ? m ? 2 2 4 2 ,化简得 m ? 6a .又 ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m 2 ? 3a 2 ? 3a 2,
且 OA ? OB ? 3 . 所以 a ? 1 .此时, m ?
2 2

??? ? ??? ?

6 ,代入①,整理得 2 x 2 ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方程有两个不

同的实根. a ? 1 符合要求.

故双曲线 C 的方程为

x2 ?

y2 ?1 3 . Q( x0 , y0 ) x0 ? 1
( )

0) . 0) . (2) 假设点 M 存在, 设 M (t , 由 (1) 知, 双曲线右焦点为 F (2 , 设
为双曲线 C 右支上一点.

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x0 ? 2 时 ,

tan ?QFM ? ? k Q F ? ?

y0 y tan ?QMF ? k Q M ? 0 x0 ? 2 , x0 ? t , 因 为

y0 y x0 ? t ? 0 ? x0 ? 2 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? t . ?QFM ? 2?QMF ,所以 2?

2 2 2 2 y0 ? 3 x0 ? 3 代入,并整理得, ?2 x0 ? (4 ? 2t ) x0 ? 4t ? ?2 x0 ? 2tx0 ? t 2 ? 3 .

? 4 ? 2t ? ?2t ? ? 4t ? t 2 ? 3 于是 ? ,解得 t ? ?1 .


x0 ? 2

时, ?QFM ? 90 ,而 t ? ?1 时, ?QMF ? 45 ,符合 ?QFM ? 2?QMF .
0 0

0) . 所以 t ? ?1 符合要求.满足条件的点 M 存在,其坐标为 ( ?1 ,
12.解:( ? )因为 F ?x ? ? F ?1 ? x ? ?

3 x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1

所以设 S= F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ?? F? ? ? ... ? F ? ? ; .......... (1) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ?? F? ? ? ... ? F ? ? ……….(2) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

S= F ? (1)+(2)得:

? ? 1 ? ? ? 2008 ? ? 2008 ? ? ? ? 2 ? ? 2007 ? ? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ?? F? ?? ? ? F ? ?? F? ? ? ? ... ? ? F ? ?? F? ?? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? ? 2009 ?
= 3 ? 2008 ? 6024 , 所以 S=3012

( ?? )由 an ?1 ? F ?an ? 两边同减去 1,得

an ?1 ? 1 ? 1

3an ? 2 a ?1 ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1 ? 2an ? 1 2 ?an ? 1? ? 1 1 ? ? 2? , an ? 1 an ? 1 an ? 1

所以

an ?1 ? 1 1

所以

? 1 ? 1 1 ? 2,? ? 1 为首项的等差数列, ? 是以 2 为公差以 an ?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ? ?

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所以

1 1 2n ? 2 ? ?n ? 1?? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? 1 2n ? 1 2n ? 1
2 2

???? ?因为 ?2n ? ? ?2n ?
所以

? 1 ? ?2n ? 1??2n ? 1?

2n 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? , ? ,... ? 2n ? 1 2n 1 2 3 4 2n ? 1 2n

所以 a1a2 a3 ...an ?

?a1a2 a3 ...an ?

2

?

2 2 4 4 2n 2n ? ? ? ...... ? 1 1 3 3 2n ? 1 2n ? 1

>

2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? ...... ? ? 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n
即m ?

13 解: (1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 记? ?

x ln x

x ,则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x) min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ln 2 x
当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值, 即 ? ( x) min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . (2)函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a,在[1,3] 上恰有两个相异实根。 令 g(x)=x-2lnx,则 g '( x) ? 1 ?

2 x

当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数。 故 g ( x) min ? g (2) ? 2 ? 2 ln 2 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) (3)存在 m=

1 ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 2

f '( x) min

m 2x2 ? m ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) 。 ? 2x ? ? x x

若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;

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若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x -m>0,解得 x>
2

m m 或 x<(舍去) 2 2

故 m ? 0 时,函数的单调递增区间为(

m ,+∞) 2

单调递减区间为(0,

m 1 )而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, ),单调递增区间是 2 2

(

1 ,+∞) 2 m 1 1 1 = ,解之得 m= 即当 m= 时,函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有 2 2 2 2

故只需

相同的单调性。 14 解(1) m ? n ? ( 2 ? cos A ? sin A, cos A ? sin A)

| m ? n |? ( 2 ? cos A ? sin A) 2 ? (cos A ? sin A) 2 ? 4 ? 4 sin( A ? ?| m ? n |? 2 ? sin( A ? ) ? 0, 4 又? 0 ? A ? ?

?
4

)

?

??

?

4

?A

?

? ?
4

?

?A?

?
4

3? , 4

? 0, A ?

4

(2)? c ?

2 a, A ?

?
4

?

c sin C ? ? 2, a sin A

? sin C ? 1, 又 ? 0 ? C ? ? ?C ?

?
2 1 ? (4 2 ) 2 ? 16 2
1 ○
2

? ABC 为等腰三角形, S ABC ?

15 解: (Ⅰ)证:当 x=0 或 m=1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明: 当 x>-1,且 x≠0 时,m≥2,(1+x)m>1+mx.
2

(i)当 m=2 时,左边=1+2x+x ,右边=1+2x,因为 x≠0,所以 x >0,即左边>右边,不等式

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①成立; k (ii)假设当 m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x) >1+kx,则当 m=k+1 时,因为 x>-1, 2 所以 1+x>0.又因为 x≠0,k≥2,所以 kx >0. k 于是在不等式(1+x) >1+kx 两边同乘以 1+x 得 2 (1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx >1+(k+1)x, k+1 所以(1+x) >1+(k+1)x,即当 m=k+1 时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立.

1 m 1 ? 1 m? 1 (Ⅱ)证:当 n ? 6, m ? n时, ? (1 ? ) ? ,? ?(1 ? ) ? ? ( )m , n?3 2 ? n?3 ? 2
而由(Ⅰ) , (1 ?

n

1 m m ) ?1? n?3 n?3
n

? (1 ?

m n ? 1 m? 1 ) ? ?(1 ? ) ? ? ( )m . n?3 n?3 ? 2 ?
n0

(Ⅲ)解:假设存在正整数 n0 ? 6使等式 3n 0 ? 4 n 0 ? ? ? ( n0 ? 2) 即有(

? ( n0 ? 3) n0 成立,

3 0 4 n0 n ? 2 n0 )+ ( ) ??? ( 0 ) =1. n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3
n

n



又由(Ⅱ)可得 (

3 0 4 n0 n ? 2 n0 n n ? 1 n0 )+ ( ) ??? ( 0 ) ? (1 ? 0 ) n0 ? (1 ? 0 ) ?? n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3
1 n0 1 1 1 1 ) ? ( ) n0 ? ( ) n0 ?1 ? ? ? ? 1 ? n0 ? 1, 与②式矛盾, n0 ? 3 2 2 2 2

+ (1 ?

故当 n≥6 时,不存在满足该等式的正整数 n. 故只需要讨论 n=1,2,3,4,5 的情形; 当 n=1 时,3≠4,等式不成立; 2 2 2 当 n=2 时,3 +4 =5 ,等式成立; 3 3 3 3 当 n=3 时,3 +4 +5 =6 ,等式成立; 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 当 n=4 时,3 +4 +5 +6 为偶数,而 7 为奇数,故 3 +4 +5 +6 ≠7 ,等式不成立; 当 n=5 时,同 n=4 的情形可分析出,等式不成立. 综上,所求的 n 只有 n=2,3.

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