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2014年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷


上海中学数学

2014年第6 期

2014年上海市高中数学竞赛( 新知杯 ) 试卷
( 2014年3月30日
说明:解答本试卷不得使用计算器 一、填空题 I 本题满分60 分。前4 小题每小题7 分。 后4小题每小题 8分 )

星期日

上午8 :30~ 10: 30)

/>
乘积是



2 .已知线段A B 、C D 的长分别为a 、b( n ,6> o) .若线段A B 、C D 分别在 X 轴、 3,轴上滑动,且使 得A,B ,C ,D 四点共圆,则这些圆的圆心轨迹方程

( 一 ~/ 孑 可 , o) 到 直 线 — xco— sOTyTsi nO=1的 距 离 的
n D

1.给定正实数n,6( n>6) ,两点( √7二矿,o) 、

是— —.

3.若z ∈( 一1,1) 时,厂( z) 一z2一口z+詈恒为

条件咒≥2与竹一 1两种情况的考虑,能注意咒一1时 对口。的检验,留意是否需分段表示 n。. 2改编2:已知S.=,( a 。。n)

即{1专一 ¨ 1}是以2 为首项, -- 1 为公比的等比数列.

已知数列 {n。 } 前挖项和 S。一竹 2+妄 n。+1,求通
项公式a 。.

历可二万而‘
‘ 如一Sn—S—t 一孬可j }丁可一

解法分析:当九=1,n1一S1—1+÷n1+1,...
t 2l =4.

獗下毒雨可,咒≥2

当 72≥ 2,。..S。一竹 2+寺n。 +1,.‘. s :一 l 一( n- - 1) 2
+寺口。一1+1. 两式作差,口。一2行一1+可1口。一可1口。一,,即口。一
一n。一1+4n一 2.

即当咒≥ 2, 口。一彳三;:雯薹数,

.’.口。一2,z 一一[ 口。一l 一 2( 咒一1) ] ,即{ 口。一 2n) 是 以2为首项,一1为公比的等比数列.
.’.%一27z 一2× ( 一1) ”1,即% =2X ( 一 1) ” 1+2咒,

当, z一 1, nl - -- - 4 符合上式,.‘.an-- - -- 2 ×( - -1) ”1+2n . 改编意图:此题与原题比较,加大了难度,旨在 让学生体验到当S。与丑。关系较为直接时,想到消 除S。求口。,而口。一S。,口。一S。一S。一。( 挖≥2) 仍是本 题的解题关键.
3

4结语 已知 S。的关系式求通项公式a 。,是高考的常 见内容,所以有必要对课本的原题进行深入分类拓 展.另外,改编原题也符合数学教学的根本目的,在 变题的训练过程中,不但巩固学生已有的知识结构, 更让学生的推理能力、归纳领悟能力得到进一步的 升华与提高. 通过变题训练,学生可以归纳出相关解题方法. ( 1) 当前72 项和S。与通项公式口。的关系比较 直接时,消 S。求口。,如改编 1、 2. ( 2) 当不能转化为前n项和S。与通项公式n。 的直接关系时,消口。求S。, 如改 编3 .

改编3:已知S。、l s 。一l 、a 。关系

已知数列{n。 }的前行项和为 S,且满足口。=÷,
S—S S一。+百1 口。( 7z ≥2) ,求数列{%) 的通项n 。. 解法分析:当 Tl ≥ 2, a。一S。一 S。一。,... S。 =

s 。S。一。+虿1( s 。一s 。一- ) ,...s 。一巫£Sn_- - 1j ,两边取

倒,圭一一虿 }+2,. .贾 1一 一一‘葛兰一 ) .

上海中学数学 正值,则实数 a 的取值范围是

2014年第6 期



o

4.数列{z。}定义如下:z。=÷,z 。+。一

3. (o, 2] . 4. 硒 4028. 5. ( 一 5, 一 3)U(1, 3) .
6.1511. 7. 1980. 8. 88060.

否乏茅 #谕 (n一 1, 2,… ) ,则 z, +zz+… +zz 。 t
●___ __________ __。_。。_ _●‘_____ 一●



二、解答题 9.设三角形D EF是三角形A B C 的外接正三 角形,如图1 所示.记么B A F=a,则由正弦定理可

5.不等式 l og占 ( z2+2x一 3) >z2+2x一16的 解集是


6.设a1 ,a2 ,…,a2 。14 是正整数1,2 ,…,2014 的 一个排列,记S^=a 。+…+a^ ,k=1,2,…,2014,则 S。,S。,…,S:叭中奇数个数的最大值是


得 AE一 唑 黠 掣 , AF=警 罴 产 . 叫 分

7.设S一 {1,2 ,…, 11) ,对S的每一个7元子 集,将其中的7个数从小到大排列,取出中间的数, 则所有取出的中间数的和等于


8.将9 0000个五位数 10000,1000 1,…,99999 打印在卡片上,每张卡片上打印一个五位数.有些卡 片上所打印的数,如19806倒过来看是90861,有两 种不同的读法,会引起混淆,则不会引起混淆的卡片 共有 二、解答题 9.( 本题满分14分) 在锐角三角形A BC 中,已 知么A =75 。,A C =b ,A B=c.求三角形A B C的外接 正三角形面积的最大值. 10.( 本题满分14分) 设7z是给定的大于2的 整数.有7" 1个外表上没有区别的袋子,第k个袋中有 k个红球, ( 靠一愚) 个白球,志一 1, 2,…, 7" /.把这些袋 子混合后,任选一个袋子,并且从中连续取出三个球 ( 每次取出不放回) ,求第三次取出的是白球的概率. 11.( 本题满分16分) 正实数 z ,3,, z 满足: 张.
图1

F

所以 EF— A E+A F=兰[ ( bs i nl 5。CO Sq+
, /3

9

6c。 s , 5。 si m)+( 譬 f ∞ 跗 +丢 csi m)] 一 去 [ ( 号 +
6cosl 5。) si n口 +( 宰c+6sinl5。) co跚]

≤ 去 / (2+bcosl 5。 )2+(-- 压 -23c+bsinl5。 )2
一圭 √62+c2+bc( cosl 5。+捂si nl 5。)
r ' ,- - -- -- -- - -- -. -- -— —. - -- -- - -- -- - -- -- -- - -- -- - -- -. ...... ...... .—- -- -- - -- -- -- - -- 一

:: 2.、/— bz+cz+2— bc os45。
√3

√3

l 詈≤z ≤m i n{z,y)
u

一; 2.石耳 7习瓦,

k≥ 去
1



3,z≥寺 L
u

当口 2--arctan嘉时等号成立‘
枣C+ot
■■1_

√3

s m ,15 a 。

求{+鲁 +导的最大值 ( 这里,mi n{z ,y} 表示
Z


所以,三角形 A BC的外接正三角形的边长的

V

Z

实数z,Y 中的较小者) . 12.( 本题满分 16分 ) 求 1, 2,…,咒的排列a 。,

最大值为一圭 ~/62+f2+仍 c. √3
于是,三角形 A BC的外接正三角形面积的最

口。,…,口。的个数,使得I 口。一志J ≥写} 对正整数忌=
1,2,…,n都成立. 参考答案 一、填空题
1. b2 .

大 值 为 争 F2=譬

c 去 石 耳 万 ≠ 瓦 , 2一 譬 c62

+c2+拉k) .…………………………………14分
10 .设选出的是第k个袋子,连续三次取球的 方法数是咒( 7z一1) ( 7z 一2) . 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下4 种情况:

2 .4x2- - 4y2一口2+62 —0 .

48

上海中学数学 臼,臼,臼,取法有( n一是 ) ( ,z一是一1) ( 行一是一2)

2014年第6 期 及口。为整数知, a^≥m +忌或a^≤志一m , ① 注意其中1≤m ≤咒一2m ,所以 m +愚≤ n^ ≤2m ( 1≤志≤研 ) , 1≤n。≤是一m (m +1≤忌≤2m ). ② ③

种; 白,红,白,取法有志( n- - k) ( n- - k- - 1) 种; 红,白,白,取法有量 ( n- - k) ( n- - k- - 1) 种; 红,红,白,取法有k( k- - 1) ( n- - k) 种. 所以,第三次取出的是白球的种数为( n- - k) ( 咒
一k 一 1) ( 咒一 k一 2) +忌 ( 咒一是 ) ( n 一是一1) +志 ( 竹一 k) ( 7z —k一1) +k( k一1) ( 靠一k) 一( 7z 一1) ( 咒一2) ( 行一

这里,a。,a。一。,…,a 。的取法是唯一的.事实 上,注意到a。,a :,…,a。两两不等,不断地利用②可 知,n。只能取 2m ,进而口。一,只能取 2m 一1,以此类 推知 a 。一,一2m —t ( 0 ≤t ≤ m 一1) .同理,由③知 a 。+1,a 。+2,…, a2。的取法也是唯一的. 因此当咒一2m 时,符合题意的排列恰有1个. ………………………………………………6 分 再考虑行为大于1 的奇数的情况.设n=2m +1 (m 为正整数) . 类似于偶数的情形知,①对最一1,2,…,2m +1 成立,因此志+m ≤口。≤2m +1( 1≤忌≤优) , 1≤ n^≤愚一m (m +2 ≤志≤2m +1) , ④ ⑤

是) .………………………………………………4 分 故在第愚个袋子中第三次取出的是白球的概率

为 P严 譬 . … … … … … … … … … … 6分


而选到第是个袋子的概率为上.故所求的概率

k奎 =l — n--_k i1一 n-17砉 (1咒一是 ) =嘉 霎 i 一 鲁 . … … … … … … 叫 4分
为 P=奎 k=l
R l 咒2
J ● ,‘

¨

P一

且 a。 +1∈ {1 , 2m +1) .…………………… 8分 不妨设 a。 +l 一 1.首先可知a 。+2, a。 +3,…, a2 。+1 的取法唯一.事实上,注意到n。+。,a 。+:,…,a 。。+。两 两不等,不断地利用⑤可知, 6t 。+。只能取2, a。+。只 能取3 ,以此类推知a 。+,一t ,1 ≤£≤m +1 . 对于剩下的数a ,,a 。,…,a 。,可以证明有2 —1 种取法. 事实上,由④可知a 。∈{2m ,2m 十 1},即a 。有 两种取值方式.以下对每个£ (2≤£≤ m 一 1) ,当a 。,

11. 由 7; - ≤ z ≤ mi n{z , Y}, 得 {≤ 导 , 孝 ≤ 1. 又
u

11.由。≤ z ≤m i n{z ,},得三≤羔,三≤.又

-



她≥去席去≤红.
2丢/ ‘去 / +÷ c , 一 詈 , ≤ 去 ’ 半 厄 +导 c 一 詈 , =一 号 c 箬 一
Z
Z

于 是 丢 +÷ 一 i 2十 i 1一 i 1
z
z

z

.t

.f

Z

华 ) z+4≤ 4. … … … … … … … . . 10分

a 。一1' .”,a 卅( 这些数均不小于f +1+m ) 取定后,再
利用④知,a ,取自集合{t +优,t +m +1,…,2m + 1} ,且不能取该集合中a。,a。一。,…,a 川这些元素, 故a ,的取法数为 F2m +1 一( £+m ) +1] 一( m —f ) 一
2.

类 似 的 , 由 占 ≤ 撕 , 羔 ≤ 1, 得 土 +土 : 旦 +
NY
j j ‘ )

{一 专 一 寺 。 专 +÷ c 一 羔 Y, ≤ 隽 ’ 瓢 +导 c IY) 一 导 ( 芳 一 万 2)2+虿 9≤ 虿 9. … … . . 14分
z



q》

q,

z

q》 j

j2

当口。, a。一。,…, a:均取定后, a。的取值方式唯 一确定,从而根据乘法原理知a 。, a。一。,…,a。 的取 法有2—1 种.…………………………………14分 以上表明,在符合题意的排列中,满足a ,十。一1 的排列共有2— 1个.同理可知,满足 a 。 +。 =2m +1 的排列亦有 2—1个. 因此,当n=2m +1 时,符合题意的排列有2 —1 +2” - 1=2”个. 综上所述,当n为偶数时,符合题意的排列恰有

综上可得土 + 呈+旦一 (z 土+土) +2( 上 +土) z ~ ~
z z z

≤ 4+2

=13,

当 z一 了 2 , y=虿 1, z一 吾 时 , 等 号 成 立 .
1

o

n

所以三 +兰 +兰的最大值为13.……… 16分 12.先考虑咒为偶数的情况.设,z 一2m (m 为正 整 ).

1个;当咒为奇数时,符合题意的排列恰有2孚个.


……………………………………………16分 ( 命题人:李大元、熊斌、顾鸿达、刘鸿坤、叶

对是一1,2,…,2m,由ak-- 志I ≥堡尹一m一号

声扬)


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