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高一数学期末备考题三


高一数学期末备考题三
1. 已知向量 a =(-2,-1), b =(λ ,1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则实数λ 的取值范围是 A. (? ,2) ? (2,?? ) 2. 定义在区间 (0, ( )

1 2

B. (2,??)

C. (? ,?? )

?
2

/>
1 2

D. ( ?? ,? )

1 2

) 上的函数 y ? 6cos x 的图像与 y ? 5tan x 的图像交于点 P,过点 P 作 x 轴的


垂线,垂足为 P1 ,直线 PP1 与函数 y ? sin x 的图像交于点 P2 ,则线段 P1P2 的长为( A.

2 3

B.

3 2

C.1

D.

1 6

3.设长方体的三条棱长分别为 a, b, c ,若长方体的所有棱的长 度之和为 24,一条对角线长为 5,体积

1 1 1 ? ? 等于 a b c 4 11 11 2 A. B. C. D. 11 4 2 11 ??? ? ??? ? 4. △ ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,设 M 是△ ABC 内的一点 ( 不在边界上 ) ,定义
为 2,则

f (M ) ? ( x, y, z) , 其 中 x, y, z 分 别 表 示 △ MBC , △ MCA , △ MAB 的 面 积 , 若
1 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则 xy 的最大值为 2
A. ( ) D.

1 8

B.

1 9

C.

1 16

1 18

5. 已 知 ︱ OA ︱ =1 , ︱ OB ︱ =

3 , OA ? OB =0, 点 C 在 ∠ AOB 内 , 且 ∠ AOC=30°, 设


OC =m OA +n OB (m、n∈R),则
A.

m 等于 ( n
C.

1 3

B.3

3 3

D. 3

6.在正三棱锥 A ? BCD 中, E , F 分别是 AB , BC 的中点, EF ? DE 且 BC ? 2 ,若此正三棱锥的四 个顶点都在球 O 的面上,则球 O 的体积是( A )

3 ? 6

B

3 ? 2

C

3 ? 3

D 3 3?

1

7.函数 f (x ) ? x 2 ? 2x ? 2 ? x 2 ? 4x ? 8 的最小值 为( A 2 B3 2 C 10 D 2?2

)

8.已知 O 是正三角形 ABC 内部一点, OA ? 2OB ? 3OC ? 0,则三角形 OAC 的面积与三角形 OAB 的面积之比是( A ) B

3 2

2 3

C

2

D

1 3

9. 三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上, SA ? 平面ABC , AB ? BC , 又 SA ? AB ? BC ? 1 ,则球 O 的表面积为( )

A.

3 ? 2

B.

3 ? 2

C. 3 ?

D. 12 ?

10. 已知圆 O 的半径为 1, PA, PB 为该圆的两条切线, A, B 为两切点,那么 PAgPB 的最小值为

uuv uuv

A . ?3 ? 2 2

B. ?3 ? 2

C. ?4 ? 2 2

D. ?4 ? 2

2 2 11. 在 ?ABC 中, AB 边 上的中 线 CO 的长为 4 , 若动点 P 满 足 AP ? sin ? ? AO ? cos ? ? AC

??? ?

????

??? ?

( ? ? R ),则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是( A. ?9 B. ?8 C.

??? ? ??? ? ??? ?



4

D. 16

12.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB=3, AC=4, AB ? AC, AA1 =12, 则球 O 的半径为 A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

13.数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线 . 已知 ?ABC 的顶点

A(2, 0), B(0, 4) , AC ? BC ,则 ?ABC 的欧拉线方程为(
A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0

) D. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 2 x ? y ? 3 ? 0

14. 已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 是 三 角 形 ABC 的 重 心 , 动 点 P 满 足

??? ? 1 1 ??? ? 1 ??? ? ???? OP ? ( OA ? OB ? 2OC ) ,则点 P 一定为三角形 ABC 的( 3 2 2
A.AB 边上中线的中点 C.重心



B.AB 边上中线的三等分点(非重心) D.AB 边的中点

2

15、已知点 O,N,P 在 ,

所在平面内,且

, ,则点 O,N,P 依次是 的( )

A、重心、外心、垂心 B、重心、外心、内心 C、外心、重心、垂心 D、外心、重心、内心 16.有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面相切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个 球过正方体个顶点,则这三个球的表面积之比为 17.已知 在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,B C=6,CD=2, 3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0 ,求三角形 ABC 的外接圆半径 R 为 . 18.函数 f ( x ) 的定义域为 A, 若 x 1 , x 2 ? A 且 f (x 1 ) ? f (x 2 ) 时总有 x 1 ? x 2 , 则称 f ( x ) 为单函数. 例 如,函数 f ( x ) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题: ①函数 f (x ) ? x 2 (x ? R)是单函数; ②若 f ( x ) 为单函数, x 1 , x 2 ? A 且 x 1 ? x 2 ,则 f (x 1 ) ? f (x 2 ) ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象;[来源:学#科#网] ④函数 f ( x ) 在某区间上具有单调性,则 f ( x ) 一定是单函数. 其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号) 19. 在矩形 ABCD 中, 点 M 在线段 BC 上, 点 N 在线段 CD 上, 且 AB=4, AD=2, MN= 的最小值是 . 20.已知△ABC 中,AC=4,AB=2,若 G 为△ABC 的重心, → → 则AG· BC=________. , 则 ?

??? ? ????

??? ? ??? ?

21.已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10 ,标准差是 2 ,则 xy ? 22、三棱锥 S ? ABC , SA ? BC ? 1, SB ? SC ? AB ? AC ? 2 ,其外接球体积为 23.有如下四个命题: (1)已知 O 是 ?ABC 所在平面上一定点,且动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC), ? ? 。

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

[0, ??) ,则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心;

3

??? ? ??? ? ??? ? ? AB ? ? (2)已知 O 是 ?ABC 所在平面上一定点,且动点 P 满足 OP ? OA ? ? ? ??? ? | AB | sin B ???? ? AC ???? ? , ? ? [0, ??) ,则动点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的重心; | AC | sin C ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? AB AC ? ? ? ???? ? , ( 3 )已知 O 是 ?ABC 所在平面上一定点,且动点 P 满足 OP ? OA ? ? ? ??? ? | AB | | AC | ? ?

? ? [0, ??) ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的内心;
??? ? ??? ? ??? ? ? AB ? ? (4)已知 O 是 ?ABC 所在平面上一定点,且动点 P 满足 OP ? OA ? ? ? ??? ? | AB | cos B ???? ? AC ???? ? , ? ? [0, ??) ,则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的重心,则所有正确命题的序号为 | AC | cos C ?
_______________。 24.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0, 问是否存在斜率为 1 的直线 径的圆经过原点,若存在,写出直线

l ,使得 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直

l 的方程;若不存在,说明理由. (若存在写出直线的一般式)

25.对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若同时满足下列条件:① f ( x) 在 D 内单调递增或单调递减; ②存在区间[ a , b ] ? D , 使 f ( x) 在[ a , b ]上的值域为[ a , b ]; 那么把 y ? f ( x)( x ? D ) 叫闭函数。 (1)判断函数 f (x ) ? 2sin
2

?
4

x , x ? [?2, 2] 是否为闭函数?并说明理由;

(2) 判断函数 y ? x ? 2kx ? k ? 1, x ??k , ??? 是否为闭函数?若是闭函数, 求实数 k 的取值范围。 26.已知函数 f ? x ? 的定义域 D ? ? 0, ??? ,若 f ? x ? 满足对任意的一个三边长为 a , b, c ? D 的三角形, 都有 f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 也可以成为一个三角形的三边长,则称 f ? x ? 为“保三角形函数”。 (1)判断 g ? x ? ? sin x, x ? ? 0, ? ? 是否为“保三角形函数”,并说明理由; (2)证明:函数 h ? x ? ? ln x, x ?? 2, ?? ? 是“保三角形函数”; (3)若 f ? x ? ? sin x, x ? ? 0, ? ? 是“保三角形函数”,求实数 ? 的最大值
4


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