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高二数学圆锥曲线专题复习讲义


高二数学专题复习学案系列

高二数学圆锥曲线专题复习讲义 题型一 定义的应用

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例 1、 一动圆与已知圆 O1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1外切,与圆 O2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 81 内切,试求 动圆圆心 P 的轨迹方程。

式训练: △ ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,且满足 a ? b ? c ,A、C 两点的坐标分别 是 (?1, 0), (1, 0) ,求顶点 B 的轨迹方程。

例 2、

抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上有一点 M,它的纵坐标是 3,它与焦点 F 的距离是 5,
2

求抛物线方程和 M 点的坐标。

1

高二数学专题复习学案系列

题型二 焦点三角形问题 例 1、 已知点 P 是椭圆

y 2 x2 ? ? 1 上的一点, F1 和 F2 是焦点,且 ?F1PF2 ? 30? ,求△ 5 4

F1 PF2 的面积。

例 2、

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点 F1 , F2 ,当 a , b 满足什么关系时,椭 a 2 b2

? 圆上存在点 P,使△ F 1 PF 2 为直角三角形( ?F 1PF 2 ? 90 )?这样的直角三角形有几

个?

x2 x2 2 ? y ? 1(m ? 1) 与双曲线 ? y 2 ? 1(n ? 0) 有相同焦点 F1 , F2 ,P 变式训练 1、 若椭圆 m n
是两曲线的一个交点,则△ PF 1F 2 的面积是( A. 1 B. )

1 2
2 2

C. 2

D. 4

变式训练 2、 已知双曲线 16 x ? 9 y ? 144 , F1 , F2 是其左右焦点,点 P 在双曲线上,且

| PF1 |? | PF2 |? 32 ,求 ?F1PF2 。

2

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题型三 求标准方程 例 1、 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 经过点 P (?2 3,1) ,Q ( 3, ?2) 两点; (2) 长轴是短轴的 3 倍且经过点 A (3, 0) ; (3) 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3 ;

题型五 中点弦及对称问题 例 1、 过点 (1, 0) 的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 B 两点,直线 y ?

2 的椭圆 C 交于 A、 2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 2 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程。

3

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变式训练 已知椭圆 C: 试确定 m 的取值范围, 使对于直线 l : y ? 4x ? m , 3x2 ? 4 y 2 ? 12 , 椭圆 C 上有不同的两点关于这条直线对称。

例 2、

已知抛物线 y 2 ? 6 x ,过点 P (4,1) 引一弦,使它恰在点 P 被平分,求这条弦所在 的直线方程。

题型六 最值问题 例 1、 已知抛物线 y ? 2 x ,
2

(1) 设点 A 的坐标为 ( , 0) ,求曲线上与 A 点距离最近的 P 点的坐标及相应的 | PA | 的 值; (2) 设 A 点坐标为 ( a, 0) , a ? R ,求曲线上的点到点 A 的距离的最小值 d ,并写出

2 3

d ? f (a) 的函数关系式。

4

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例 2 、 定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y 2 ? x 上移动,求 AB 中点到 y 轴距 离的最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标。

变式训练
1 、 已知抛物线

y 2 ? 4x 的焦点 F,定点 P (4, ?2) ,在抛物线上找一点 M,使 | PM | ? | MF | 最小,


则点 M 的坐标为(

A. (2, ?2)

B. (1, 2)

C. (1, ?2)

D. (?1, 2)

2

x2 ? y 2 ? 1截得的最大弦长 、直线 y ? kx ? 1 ,当 k 变化时,此直线被椭圆 4
是( )

A.

4

B.

2

C.

4 3 3

D. 不能确定

3、 已知平面内有一固定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足 |PA|-|PB|=3 ,O 为 AB 的中点,则|PO| 的最小值为( A.1 B. )

3 2

C. 2

D. 4

4、 如果点 A 的坐标为(1,1) ,F 是椭圆 的最大值是( A. 9 ? ) B.

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,P 9 5

是该椭圆上的动点,则|PA|+|PF|

2

6? 2

C.

3? 2

D.

6? 2

例 3、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与射线 y ? 2x( x ? 0) 交于点 A,过点 A 作倾斜角互补的两条 2 4

直线,它们与椭圆的另一交点为点 B 和点 C. (1) 求证:直线 BC 的斜率为定值,并求这个定值; (2) 求 ?ABC 面积的最大值。

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例4、 如图,已知 ?OFQ 的面积为 S,且 OF ? FQ ? 1. (1) 若

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 1 ? S ? 2 ,求向量 OF 与 FQ 的夹角 ? 的正切值的取值范围; 2

S? (2) 设 | OF |? c(c ? 2) ,

??? ?

???? 3 c, 若以点 O 为中心, F 为焦点的椭圆经过点 Q, 当 | OQ | 4
Q

取得最小值时,求此椭圆的方程。

题型七 轨迹方程的求法 O F 重点方法:直接法、定义法、代入法。 例 1、 Rt△ ABC 中,AB 为斜边,且 AB=8,试求顶点 C 的轨迹方程。

变式训练 1

已知 F1 , F2 分别是

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, P 为双曲线上一点,过 F1 作 a 2 b2


?F1PF2 的平分线的垂线,垂足为 H,则 H 的轨迹为(
A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.抛物线

变式训练 2 直角坐标平面中,若定点 A(1,2)与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则点 P 的轨迹方程是
2 2

??? ? ??? ?


例 2、设直线 y ? ax ? b 与双曲线 3x ? y ? 1 交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆过原 点,求点 P (a, b) 的轨迹方程。

2 2 例3、 自双曲线 x ? y ? 1上一动点 Q 引直线 x ? y ? 2 的垂线,垂足为 M,求线段

QM 中点的轨迹方程。

6


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