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2015解步步高大一轮讲义(理)6.2


§ 6.2

等差数列及其前 n 项和

1. 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示. 2. 等差数列的通项公式 如果等差数列{an }的首项为 a1 ,公差为 d,那么它的通项公式是 an =a1 +(n-1)d

. 3. 等差中项 a+b 如果 A = ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 2 4. 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an =am +(n-m)d,(n,m∈N* ). (2)若{an}为等差数列,且 k +l=m+n,(k ,l,m,n∈N* ),则 ak+al =am +an . (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2 n }也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn }是等差数列,则{pan +qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. 5. 等差数列的前 n 项和公式 n ? a1 + an ? n?n-1? 设等差数列{an }的公差为 d,其前 n 项和 Sn = 或 Sn =na1 + d. 2 2 6. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d 2 d? Sn = n +? ?a1 -2?n. 2 数列{an }是等差数列?Sn =An2 +Bn(A 、B 为常数). 7. 等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an }中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最__大__值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最__小__值.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.

( (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N ,都有 2an +1 =an +an +2 . (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的. (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数. (5)数列{an}满足 an +1 -an =n,则数列{an}是等差数列.
*

× ( ( ( (

) √ √ × × ) ) ) )

(6)已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q 为常数),则数列{an }一定是等差数列. ( 2. 设{an }为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10 =S11 ,则 a1 等于 A.18 答案 解析 B 因为 S10 =S11 ,所以 a11 =0. B.20 C.22 D.24 ( √ ) )

又因为 a11 =a1 +10d,所以 a1 =20. 3.(2012· 辽宁)在等差数列{an }中,已知 a4 +a8 =16,则该数列前 11 项和 S11 等于 A.58 答案 解析 B 11?a1 +a11? 11?a4 +a8 ? S11 = = =88. 2 2 B.88 C.143 D.176 ( )

4.(2013· 课标全国Ⅰ)设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,Sm -1 =-2,Sm =0,Sm +1 =3,则 m 等 于 A.3 答案 解析 C am =2,am + 1 =3,故 d=1, B.4 C.5 D.6 ( )

m?m-1? 因为 Sm =0,故 ma1 + d=0, 2 m-1 故 a1 =- , 2 因为 am +am+ 1 =5, 故 am +am+ 1 =2a1 +(2m-1)d =-(m-1)+2m-1=5, 即 m=5. 5.(2013· 课标全国Ⅱ)等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 =0,S15 =25,则 nSn 的最小值为 ________. 答案 解析 -49 10 由题意知 a1 +a10 =0,a1 +a15 = . 3

10 两式相减得 a15 -a10 = =5d, 3 2 ∴d= ,a1 =-3. 3

?na + ∴nSn =n· 1 ?
3

n?n-1? ? n3 -10n2 d = =f (n), ? 2 3
2

x -10x 令 f (x)= ,x>0, 3 1 f ′(x)= x(3x-20). 3 20 令 f ′(x)=0 得 x=0(舍)或 x= . 3 当 x> 20 时,f(x)是单调递增的; 3 20 时,f (x)是单调递减的. 3

当 0<x<

故当 n=7 时,f (n)取最小值,f (n)min =-49. ∴nSn 的最小值为-49.

题型一 例1

等差数列的基本运算 在等差数列{an }中,a1 =1,a3 =-3.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 思维启迪 公差. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an =a1 +(n-1)d. 等差数列基本量的计算,基本思想就是根据条件列方程,求等差数列的首项与

由 a1 =1,a3 =-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an =1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an =3-2n, n[1+?3-2n?] 所以 Sn = =2n-n2 . 2 由 Sk=-35,可得 2k -k2 =-35, 即 k2 -2k -35=0,解得 k =7 或 k =-5. 又 k ∈N ,故 k =7. 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1 ,an ,d,n,Sn ,知
*

其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.

(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用, 而 a1 和 d 是等差数列的两 个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. (1)若等差数列{an}的前 5 项和 S5 =25,且 a2 =3,则 a7 等于 A.12 B.13 C.14 D.15 ( ) 1 (2)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 a1 = ,S4 =20,则 S6 等于 2 A.16 B.24 C.36 D.48 ) ( )

S S (3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且满足 3 - 2 =1,则数列{an }的公差是 ( 3 2 A. 1 2 B.1 C.2 D.3

答案 解析

(1)B (2)D (3)C 5?a1 +a5 ? (1)由题意得 S5 = =5a3 =25,故 a3 =5,公差 d=a3 -a2 =2,a7 =a2 +5d=3 2

+5×2=13. (2)∵S4 =2+6d=20,∴d=3,故 S6 =3+15d=48. n?a1 +an ? Sn a1 +an S3 S2 (3)∵Sn = ,∴ = ,又 - =1, 2 n 2 3 2 a1 +a3 a1 +a2 得 - =1,即 a3 -a2 =2, 2 2 ∴数列{an }的公差为 2. 题型二 例2 A.63 等差数列的性质及应用 (1)设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 S3 =9,S6 =36,则 a7 +a8 +a9 等于 B.45 C.36 D.27 ( )

(2)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个 数列的项数为 A.13 B.12 C.11 D.10 ) ( )

S S (3)已知 Sn 是等差数列{an }的前 n 项和, 若 a1 =-2 014,2 014 - 2 008 =6, 则 S2 013 等于( 2 014 2 008 A.2 013 思维启迪 B. -2 013 C. -4 026 D.4 026

(1)根据 S3 ,S6 -S3 ,S9 -S6 为等差数列解此题;

(2)利用 a1 +an =a2 +an- 1 =a3 +an- 2 求 n; S (3)数列{ n }为等差数列. n 答案 解析 (1)B (2)A (3)C (1)由{an}是等差数列,得 S3 ,S6 -S3 ,S9 -S6 为等差数列.

即 2(S6 -S3)=S3 +(S9 -S6 ), 得到 S9 -S6 =2S6 -3S3 =45,故选 B.

(2)因为 a1 +a2 +a3 =34,an- 2 +an -1 +an =146, a1 +a2 +a3 +an- 2 +an -1 +an =34+146=180, 又因为 a1 +an =a2 +an -1 =a3 +an- 2 , 所以 3(a1 +an)=180,从而 a1 +an =60, n?a1 +an ? n· 60 所以 Sn = = =390,即 n=13. 2 2 Sn (3)由等差数列的性质可得{ }也为等差数列. n 又∵ S2 014 S2 008 - =6d=6,∴d=1. 2 014 2 008

S2 013 S1 故 = +2 012d=-2 014+2 012=-2, 2 013 1 ∴S2 013 =-2×2 013=-4 026,故选 C. 思维升华 S 在等差数列{an }中,数列 Sm ,S2 m -Sm ,S3m -S2 m 也成等差数列;{ n }也是等差 n

数列. 等差数列的性质是解题的重要工具. (1)设数列{an}是等差数列,若 a3 +a4 +a5 =12,则 a1 +a2 +?+a7 等于( A.14 B.21 C.28 D.35 )

(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 S10 =10,S20 =30,则 S30 =________. 答案 解析 (1)C (2)60 (1)∵a3 +a4 +a5 =3a4 =12,∴a4 =4,

∴a1 +a2 +?+a7 =7a4 =28. (2)∵S10 ,S20 -S10 ,S30 -S20 成等差数列, ∴2(S20 -S10 )=S10 +S30 -S20 , ∴40=10+S30 -30,∴S30 =60. 题型三 例3 等差数列的前 n 项和及其最值 (1)在等差数列{an }中,已知 a1 =20,前 n 项和为 Sn ,且 S10 =S15 ,求当 n 取何值时,

Sn 取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an =4n-25,求数列{|an |}的前 n 项和. 思维启迪 (1)由 a1 =20 及 S10 =S15 可求得 d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项

为正,或利用 Sn 是关于 n 的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列 的性质,判断出数列从第几项开始变号. 解 (1)方法一 ∵a1 =20,S10 =S15 , 10×9 15×14 5 d=15×20+ d,∴d=- . 2 2 3

∴10×20+

5? 5 65 ∴an =20+(n-1)×? ?-3?=-3n+ 3 .

∴a13 =0,即当 n≤12 时,an >0,n≥14 时,an <0, 12×11 ? 5? ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值,且最大值为 S13 =S12 =12×20+ ×?- ?=130. 2 3 方法二 5 同方法一求得 d=- . 3 n?n-1? ? 5? 5 125 ·- =- n2 + n ? 3? 2 6 6

∴Sn =20n+

5 25 2 3 125 =- ?n- ? + . 6? 2? 24 ∵n∈N* ,∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12 =S13 =130. 方法三 5 同方法一求得 d=- . 3

又由 S10 =S15 得 a11 +a12 +a13 +a14 +a15 =0. ∴5a13 =0,即 a13 =0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值. 且最大值为 S12 =S13 =130. (2)∵an =4n-25,an+ 1 =4(n+1)-25, ∴an + 1 -an =4=d,又 a1 =4×1-25=-21. 所以数列{an }是以-21 为首项,以 4 为公差的递增的等差数列. 令?
? ?an =4n-25<0, ?an + 1 =4? n+1?-25≥0, ?

① ②

1 1 由①得 n<6 ;由②得 n≥5 ,所以 n=6. 4 4 即数列{|an |}的前 6 项是以 21 为首项, 公差为-4 的等差数列, 从第 7 项起以后各项构成公 差为 4 的等差数列, 而|a7 |=a7 =4×7-25=3. 设{|an |}的前 n 项和为 Tn ,则 -1? ×?-4? ?n≤6? ?21n+n?n2 T =? ?n-6??n-7? ?66+3?n-6?+ 2 ×4 ?n≥7?
n 2 ? ?-2n +23n ?n≤6?, ? = 2 ?2n -23n+132 ?n≥7?. ?

思维升华

求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法:①利用等差数列的单调性,求出其

正负转折项;②利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;③将等差数列的前 n 项 和 Sn =An2 +Bn (A 、B 为常数)看做二次函数,根据二次函数的性质求最值. (1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若 a1 =-11, a4 +a6 =-6, 则当 Sn 取最小值 时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 ( )

(2)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 ak+a4 =0,则 k =________. 答案 解析 (1)A (2)10 (1)设该数列的公差为 d,则 a4 +a6 =2a1 +8d=2×(-11)+8d=-6,解得 d=2, n?n-1? ×2=n2 -12n=(n-6)2 -36, 2

所以 Sn =-11n+

所以当 Sn 取最小值时,n=6. (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,则 S9 -S4 =0, 即 a5 +a6 +a7 +a8 +a9 =0,5a7 =0,故 a7 =0. 而 ak+a4 =0,故 k =10.

等差数列的最值问题

典例:(15 分)(1)等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a5 +a7 =4,a6 +a8 =-2,则当 Sn 取最 大值时,n 的值是 A.5 B.6 C.7 D.8 ( )

(2)已知等差数列{an}的首项 a1 =20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn 的最大值为________. (3)设数列{an}是公差 d<0 的等差数列, Sn 为前 n 项和, 若 S6 =5a1 +10d, 则 Sn 取最大值时, n 的值为 A.5 思维启迪 B.6 C.5 或 6 D.11 ( )

(1)由已知分析等差数列项的变化规律、符号.

(2)等差数列前 n 项的和 Sn 是关于 n 的二次函数,可将 Sn 的最大值转化为求二次函数的最 值问题. (3)根据条件确定数列最后的非负项. 解析 (1)依题意得 2a6 =4,2a7 =-2,a6 =2>0,a7 =-1<0;

又数列{an }是等差数列,因此在该数列中,前 6 项均为正数, 自第 7 项起以后各项均为负数,于是当 Sn 取最大值时,n=6,选 B. (2)因为等差数列{an}的首项 a1 =20,公差 d=-2,代入求和公式得, n?n-1? n?n-1? Sn =na1 + d=20n- ×2 2 2 21 21 =-n2 +21n=-(n- )2 +( )2 , 2 2 又因为 n∈N* ,所以 n=10 或 n=11 时,Sn 取得最大值,最大值为 110. (3)由题意得 S6 =6a1 +15d=5a1 +10d,所以 a6 =0,故当 n=5 或 6 时,Sn 最大,选 C. 答案 (1)B (2)110 (3)C

温馨提醒

(1)求等差数列前 n 项和的最值常用的方法:

①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; ②利用等差数列的前 n 项和 Sn =An +Bn(A 、B 为常数)为二次函数,根据二次函数的性质 求最值. (2)注意区别等差数列前 n 项和 Sn 的最值和 Sn 的符号.
2

方法与技巧 1. 等差数列的判断方法 (1)定义法:an+ 1 -an =d (d 是常数)?{an }是等差数列. (2)等差中项法:2an+ 1 =an +an +2 (n∈N* )?{an }是等差数列. (3)通项公式:an =pn+q(p,q 为常数)?{an }是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn =An +Bn (A 、B 为常数)?{an}是等差数列. 2. 方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通过 建立方程(组)获得解. 3. 在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a,a+d,a+2d;(2)a-d,a,a+d;(3)a -d,a+d,a+3d 等,可视具体情况而定. 失误与防范 1. 当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式是 n 的一次函数,当公差 d=0 时,an 为常数. 2. 公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数,且常数项为 0. 若某数列的前 n 项 和公式是常数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.
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A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 一、选择题 1.(2012· 福建)等差数列{an }中,a1 +a5 =10,a4 =7,则数列{an }的公差为 A.1 答案 解析 B 方法一 设等差数列{an }的公差为 d, B.2 C.3 D.4 ( )

由题意得?

?2a1 +4d=10, ? ?a1 +3d=7. ?

解得?

? ?a1 =1, ?d=2. ?

∴d=2.

方法二

∵在等差数列{an }中,a1 +a5 =2a3 =10,∴a3 =5.

又 a4 =7,∴公差 d=7-5=2. 2. 已知等差数列{an }满足 a1 +a2 +a3 +?+a101 =0,则有 A. a1 +a101 >0 C. a3 +a99 =0 答案 解析 C 由题意,得 a1 +a2 +a3 +?+a101 B. a2 +a100 <0 D. a51 =51 ( )

a1 +a101 = ×101=0. 2 所以 a1 +a101 =a2 +a100 =a3 +a99 =0. 3. 已知等差数列{an }中,a2 =6,a5 =15,若 bn =a2 n ,则数列{bn }的前 5 项和等于( A.30 答案 解析 C 因为?
? ?a2 =a1 +d=6 ? a5 =a1 +4d=15 ?

)

B.45

C.90

D.186



所以 a1 =3,d=3, bn =a2 n =a1 +(2n-1)d=6n, S5 = 5?b1 +b5 ? 5?6+6×5? = =90, 2 2

因此选 C 项. 4.(2013· 辽宁)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an }的四个命题: p1 :数列{an }是递增数列;p2 :数列{nan }是递增数列;
?a ? p3 :数列? n? 是递增数列;p4 :数列{an +3nd}是递增数列. ? n?

其中的真命题为 A. p1 ,p2 C. p2 ,p3 答案 解析 D 由于 p1 :an =a1 +(n-1)d,d>0, B. p3 ,p4 D. p1 ,p4

(

)

∴an -an -1 =d>0,命题 p1 正确. 对于 p2 :nan =na1 +n(n-1)d, ∴nan -(n-1)an- 1 =a1 +2(n-1)d 与 0 的大小和 a1 的取值情况有关. 故数列{nan }不一定递增,命题 p2 不正确.

an - 1 -a1 +d a a n- 1 a 对于 p3 : n = 1 + d,∴ n - = , n n n n n-1 n?n-1? a 当 d-a1 >0,即 d>a1 时,数列{ n }递增, n 但 d>a1 不一定成立,则 p3 不正确. 对于 p4 :设 bn =an +3nd, 则 bn +1 -bn =an+ 1 -an +3d=4d>0. ∴数列{an +3nd}是递增数列,p4 正确. 综上,正确的命题为 p1 ,p4. 5. 在等差数列{an }中,a1 >0,a10· a11 <0,若此数列的前 10 项和 S10 =36,前 18 项和 S18 =12, 则数列{|an |}的前 18 项和 T18 的值是 A.24 答案 解析 C 由 a1 >0,a10 · a11 <0 可知 d<0,a10 >0,a11 <0, B.48 C.60 D.84 ( )

∴T18 =a1 +?+a10 -a11 -?-a18 =S10 -(S18 -S10)=60,故选 C. 二、填空题 6.(2013· 广东)在等差数列{an }中,已知 a3 +a8 =10,则 3a5 +a7 =________. 答案 解析 20 设公差为 d,则 a3 +a8 =2a1 +9d=10,

∴3a5 +a7 =4a1 +18d=2(2a1 +9d)=20. 7. Sn 为等差数列{an }的前 n 项和,S2 =S6 ,a4 =1,则 a5 =________. 答案 -1

6×5 ? ?a1 +a1 +d=6a1 + d, 2 解析 由题意知? ? ?a1 +3d=1, 解得?
? ?a1 =7, ?d=-2, ?

∴a5 =a4 +d=1+(-2)=-1.

1 1 1 8. 已知数列{an }中,a1 =1 且 = + (n∈N* ),则 a10 =________. an +1 an 3 答案 解析 1 4 1 1 1 由已知 = +(10-1)× =1+3=4, a10 a1 3

1 ∴a10 = . 4 三、解答题

9. 已知等差数列{an }中,a2 =8,前 10 项和 S10 =185. 求数列{an }的通项公式 an . 解 设数列{an }的公差为 d,

因为 a2 =8,S10 =185, a +d=8 ? ? ? 1 ?a1 =5 所以? ,解得? , 10×9 ?d=3 10a1 + d=185 ? ? ? 2 所以 an =5+(n-1)×3=3n+2, 即 an =3n+2. 10. 设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 a1 <0,S2 015 =0. (1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值; (2)求 n 的取值集合,使 an ≥Sn . 解 (1)设公差为 d,则由 S2 015 =0?

2 015×2 014 2 015a1 + d=0?a1 +1 007d=0, 2 d=- 2 015-n 1 a1 ,a1 +an = a, 1 007 1 007 1

n n 2 015-n ∴Sn = (a1 +an)= · a 2 2 1 007 1 a = 1 (2 015n-n2 ). 2 014 ∵a1 <0,n∈N* , ∴当 n=1 007 或 1 008 时,Sn 取最小值 504a1 . 1 008-n (2)an = a, 1 007 1 1 008-n a Sn ≤an ? 1 (2 015n-n2 )≤ a. 2 014 1 007 1 ∵a1 <0,∴n2 -2 017n+2 016≤0, 即(n-1)(n-2 016)≤0, 解得 1≤n≤2 016. 故所求 n 的取值集合为{n|1≤n≤2 016,n∈N* }. B组 专项能力提升

(时间:30 分钟) a11 1. 已知数列{an }为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n 的最 a10 大值为 A.11 答案 B B.19 C.20 D.21 ( )

解析



a11 <-1,且 Sn 有最大值, a10

∴a10 >0,a11 <0,且 a10 +a11 <0, 19?a1 +a19? ∴S19 = =19· a10 >0, 2 20?a1 +a20? S20 = =10(a10 +a11 )<0, 2 故使得 Sn >0 的 n 的最大值为 19. S 2n-3 a9 2. 设等差数列{an }, {bn }的前 n 项和分别为 Sn , Tn , 若对任意自然数 n 都有 n = , 则 Tn 4n-3 b5 +b7 a + 3 的值为________. b8 +b4 答案 解析 19 41 ∵{an },{bn}为等差数列,

a9 a3 a9 a3 a9 +a3 a6 ∴ + = + = = . b5 +b7 b8 +b4 2b6 2b6 2b6 b6 S11 a1 +a11 2a6 2×11-3 19 ∵ = = = = , T11 b1 +b11 2b6 4×11-3 41 a 19 ∴ 6= . b6 41 3. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. 答案 解析 67 66 设所构成数列{an }的首项为 a1 ,公差为 d,
? ?a1 +a2 +a3 +a4 =3, ?a7 +a8 +a9 =4, ?

依题意?

即?

? ?4a1 +6d=3, ?3a1 +21d=4, ?

, ?a =13 22 解得? 7 ?d=66,
1

13 7 67 ∴a5 =a1 +4d= +4× = . 22 66 66 4. 已知等差数列的前三项依次为 a, 4,3a,前 n 项和为 Sn ,且 Sk=110. (1)求 a 及 k 的值; S (2)设数列{bn}的通项 bn = n ,证明数列{bn }是等差数列,并求其前 n 项和 Tn. n 解 (1)设该等差数列为{an },则 a1 =a,a2 =4,a3 =3a,

由已知有 a+3a=8,得 a1 =a=2,公差 d=4-2=2, k ?k -1? k ?k -1? 所以 Sk=ka1 + · d=2k + ×2=k 2 +k . 2 2 由 Sk=110,得 k 2 +k -110=0, 解得 k =10 或 k =-11(舍去),故 a=2,k =10. n?2+2n? Sn (2)由(1)得 Sn = =n(n+1),则 bn = =n+1, 2 n 故 bn +1 -bn =(n+2)-(n+1)=1, 即数列{bn }是首项为 2,公差为 1 的等差数列, n?2+n+1? n?n+3? 所以 Tn = = . 2 2 5.(2012· 湖北)已知等差数列{an }前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2 ,a3 ,a1 成等比数列,求数列{|an |}的前 n 项和. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
? ?3a1 +3d=-3, ? a1 ?a1 +d?? a1 +2d?=8, ?

则 a2 =a1 +d,a3 =a1 +2d. 由题意得?
?a1 =2, ? ?d=-3, ? ?a1 =-4, ? ?d=3. ?

解得?

或?

所以由等差数列通项公式可得

an =2-3(n-1)=-3n+5 或 an =-4+3(n-1)=3n-7. 故 an =-3n+5 或 an =3n-7. (2)当 an =-3n+5 时,a2 ,a3 ,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 an =3n-7 时,a2 ,a3 ,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|an |=|3n-7|=?
? ?-3n+7,n=1,2, ?3n-7,n≥3. ?

记数列{|an |}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1 =|a1 |=4;当 n=2 时,S2 =|a1 |+|a2 |=5; 当 n≥3 时,Sn =S2 +|a3 |+|a4 |+?+|an | =5+(3×3-7)+(3×4-7)+?+(3n-7) =5+ ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 = n - n+10. 2 2 2

当 n=2 时,满足此式. 4,n=1, ? ? 综上,Sn =?3 2 11 ?2n - 2 n+10,n≥2. ?


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