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09届高三数学暑期新教师招考试题


09 届高三数学暑期新教师招考试题

中学数学
( 由江苏省海门中学 江苏省海门中学 小题, 一、填空题(本题 14 小题,共计 42 分) 填空题( 1.设数集 M={x|m≤x≤m+ 方伟 命制) )

3 1 },N={x|n- ≤x≤n},且 M、N 都是集合{x|0≤x≤1} 4 3

的子集,如果把 b-a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合 M∩N 的“长 度”的最小值是___________.

?? 1 2? 2.矩阵 ? 5 3? 的特征值是 ?2 ? ? ?
4.在等式“1=

______。 _____.

3.已知向量 a = (2,1), b = (3, ?1) ,则 a 与 b 的夹角 θ 为

( )

1

+

()

9

”的两个括号内各填入一个正整数,使它们的和 _________. I←0 S←0 While I<6 I←I+2 S←S+I2 End while Print S (第 6 题)

最小,则填入的两个数是

_______. 5.已知 z = (| z | ?1) + 5i ,则复数 z = 6. 已知伪代码如图,则输出结果 S=_ 7.过点 M (3, ?4) ,且在两坐标轴上截距相等的直线的方程 为 __________________________. 8.若



t

0

2 xdx ? ∫ dx < 3 ,则 t ∈
0

2t

____

9.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程 为 2 x ? y = 0 ,则双曲线的离心率为 __________.

f (1) < f (lg x) ,则 x 的取值范围是 ______________ . 11.在 ?ABC 中,已知 a ? b = c cos B ? c cos A ,则 ?ABC 为 ________三角形. 12.用三种不同颜色给 3 个矩形随机涂色,每个矩形上涂一种颜色,则 3 个矩形颜 色都不同的概率是 ______. 13.老张、老刘、老李和老赵, 一个是教师,一个是职员,一个是工人,一个是干 部,还知道(1)张、刘为邻居,每天骑车上班;(2)老刘比老李年纪大;(3) 老张教老赵打太极拳;(4)教师每天步行上班;(5)职员的邻居不是干部; (6)干部和工人不认识;(7)干部比职员和工人年纪都大,那么他们的职业按职 员、工人、干部、教师的姓氏排列为____________________.
14. 设 f ( x) =

10.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在区间 [ 0,+∞ ) 上的单调增函数,若

1 3x + 3

,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得

f(-12)+ f(-11)+ f(-10)+…+ f(0)+…+ f(11)+ f(12)+ f(13)的值为________.
小题, 二、解答题(本题 6 小题,共计 58 分) 解答题(

15.如图,摩天轮的半径为 40m,点 O 距地面的高度为 50m,摩天轮做匀速转动,每 3min 转一圈,摩天轮上的点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 70m. O 50 40 P

16.已知函数 f ( x) = ln(2 x + 1) . (Ⅰ)求曲线 f ( x) = ln(2 x + 1) ,在 x =

1 处的切线的方程; 2 (Ⅱ)若方程 f ( x) + f ′( x) = a 有解,求 a 的取值范围.

17.如图,以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A、C 及另两个顶点为顶点构造四面体.

(1)若该四面体的四个面都是直角三角形,试写出一个这样的四面体(不要求证 明); (2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱,若该四面体的任一对对棱垂 直,试写出一个这样的四面体(不要求证明); (3)若该四面体的任一对对棱相等,试写出一 个这样的四面体(不要求证 明),并计算它的体积与长方体的体积的比. D1 C1 + + B1 A1 D + C + A B

18.设绝对值小于 1 的全体实数的集合为 S,在 S 中定义一种运算“ ? ”, 使得 a ? b =

(1) 证明:如果 a 与 b 属于 S,那么 a ? b 也属于 S. (2) 证明:结合律 (a ? b) ? c = a ? (b ? c ) 成立.

a+b 1 + ab

19.如图,过椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a > b > 0) 的左焦点 F 任

作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB ,若点 M 在 x 轴上,且使得 MF 为 ?AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点”.(1):求椭圆

x2 + y 2 = 1(a > b > 0) 的“左特征点” M 的坐标;(2):试根据(1)中的结 5
论猜测:椭圆 的结论.
x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的“左特征点” M 是一个怎样的点?并证明你

20.关键词 关键词:数学作文 关键词 理论背景:从 2000 年开始,我国已把“探索型课题学习”列入教学计划,并 理论背景 规定了教学时间。2001 年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告 中,提出了“数学作文”这个概念,它类似于国外学生做的“Project”,结合我 国的实际,“数学作文”是“探索型课题”研究过程和结果的展现形式。它不同于 严格意义上的数学论文,它是数学“双基”的延伸。通过数学作文能够对数学基础 进行整理,上升为更加理性的认识。 200字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。(注意: 。(注意 请你用 200-300 字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。(注意:数学语 言的运用) 言的运用)

参考答案

1.

1 12

2.4,-2 3.

π
4

4.4,12 5.12-5i 10. x > 10或0 < x < 1 10

6.20 7

x + y + 1 = 0或4 x + 3 y = 0
12.

8 . (-1,3)9. 5或 5 9
2

11. 等腰或直角

2 13. 张职员、刘 9
16. (1)

工人、赵干部、李教师 14.

13 3

3 15.

(1) y = 40 cos( 2π t ) + 50 (2)1 分钟 3

y = x + ln 2 ?

1 (2) a ≥ ln 2 + 1 17. 解(1)如四面体 A1-ABC 或四面体 C1-ABC 或四面体 A12

ACD 或四面体 C1-ACD; (2)如四面体 B1-ABC 或四面体 D1-ACD;(3)如四面体 A-B1CD1 18. (1)当-1<a<1,-1<b<1 时,有-1<

a+b +c a+b 1 + ab b)*c= *c= = a + b + c + abc 因为此式关于 a+b 1 + ab 1+ ? c 1 + bc + ca + ab 1 + ab
a,b,c 对称,所以即得(a*b)*c=a*(b*c)成立,这样就利用对称性减少了一半计算。 19. (1)解:设 M (m,0) 为椭圆

a+b 2 ( ) 1 + ab

a+b <1 1 + ab

成立,也即证

<1 成 立 , 从 而 用 比 较 法 即 可 证 得 ( 2 )

x2 + y 2 = 1 的左特征点,椭圆的左焦点为 5
x2 + y2 =1 得 5
轴 平 分 , ∴

F

(-2,0) , 可 设 直 线

AB

的 方 程 为 x = ky ? 2( k ≠ 0) , 并 将 它 代 入

(ky ? 2) 2 + 5 y 2 = 5 .即 (k 2 + 5) y 2 ? 4ky ? 1 = 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 则 y1 + y2 = 4k , y1 y2 = 2
k +5 1 . k2 + 5



∠AMB



x

k AM + k BM = 0 .




y1 y2 + = 0, 化简得y1 ( x 2 ? m) + y 2 ( x1 ? m) = 0 x1 ? m x 2 ? m
2 2 2

x1 = ky1 ? 2

, x 2 = ky 2 ? 2 代 入 得 2ky1 y 2 ? ( y1 + y 2 )(m + 2) = 0 , 由 (2)由(1)猜想:椭圆

k≠0

,即整理得

5 5 m = ? ∴ M (? ,0) . 2 2

x a

+

y

b2

= 1 的“左特征点”是椭圆的左准

线与 x 轴的交点. 证明:设椭圆的左准线 l 与 x 轴相交于点 M ,过点

A 、 B 分别作 l 的垂线,
AC ∥ FM ∥ BD ,∴

垂足分别为点 C 、 D .据椭圆第二定义得 | AF | = | BF | , 即 | AF | = | AC | . ∵ | AC | | BD | | BF | | BD | | AC | | CM | | AC | | BD | | AF | | CM | .于是 = ,即 = . = | BD | | DM | | CM | | DM | | BF | | DM |
∴ tan ∠AMC = tan ∠BMD.又 Q ∠AMC与∠BMD均为锐角

∴∠ AMC =∠ BMD .∴∠

AMF

=∠ BMF .∴ MF 为∠

AMB 的平分线。

故点 M 为椭圆的“左特征点”. 20. 纲要(1)数学归纳法作为归纳法的一种,它属于完全归纳。(2)数学归纳法的定义(或者 解题步骤)(3)重难点突破:奠基的重要性及注意点,在证明 P(K+1)时一定要用到归纳假设 P(K)(4)适用范围:可以证明与正整数相关的命题。(5*)其他:数学归纳法从证明的方式 来区分,可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、多重数学归纳法、翘翘板数学归纳等等


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