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竞赛培训专题5---指数函数、对数函数


竞赛培训专题 5---指数函数、对数函数 一、计算: 例 1.化简 (1) (2) (3) 解:(1)x 的指数是 所以原式=1 (2)x 的指数是 =0 所以原式=1 (3)原式= 例 2.若,求 解:因为 所以 f(x)+f(1-x)=1 = 例 3.已知 m,n 为正整数,a>0,a11,且 求 m,n 解:左边= 原式为 loga(m+n)=logamn 得 m+n

=mn 即(m-1)(n-1)=1 因为 m,n?N,所以从而 m=n=2 二、比较大小 例 1.试比较与的大小 解:令 121995=a>0 则 ?= 所以> 例 2.已知函数 f(x)=logax (a>0,a11,x?R+)若 x1,x2?R+,试比较与的大小 解:f(x1)+f(x2)=loga(x1x2) ∵x1,x2?R+,∴ (当且仅当 x1=x2 时,取“=”号), 当 a>1 时,有,∴ 即 (当且仅当 x1=x2 时,取“=”号) 当 a>1 时,有,∴ 即 (当且仅当 x1=x2 时,取“=”号) 例 3.已知 y1=,y2=,当 x 为何值时 (1)y1=y2 (2)y1>y2 (3)y1<y2 解:由指数函数 y=3x 为增函数知 (1)y1=y2 的充要条件是:2x2-3x+1=x2+2x-5 解得 x1=2,x2=3

(2)y1>y2 的充要条件是:2x2-3x+1>x2+2x-5 解得 x<2 或 x>3 (3)y1<y2 的充要条件是:2x2-3x+1<x2+2x-5 解得 2<x<3 三、证明 例 1.对于自然数 a,b,c (a£b£c)和实数 x,y,z,w 若 ax=by=cz=70w (1) (2) 求证:a+b=c 证明:由(1)得: ∴ 把(2)代入得:abc=70=2′5′7,a£b£c 由于 a,b,c 均不会等于 1,故 a=2,b=5,c=7 从而 a+b=c 例 2.已知 A=6lgp+lgq,其中 p,q 为素数,且满足 q-p=29,求证:3<A<4 证明:由于 p,q 为素数,其差 q-p=29 为奇数,∴p=2,q=31 A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984 1000<1984<10000 故 3<A<4 例 3.设 f(x)=logax (a>0,a11)且 (q 为锐角),求证:1<a<15 证明:∵q 是锐角,∴,从而 a>1 又 f(15)==sinq+cosq =1 故 a<15 综合得:1<a<15 例 4.已知 0<a<1,x2+y=0,求证: 证:因为 0<a<1,所以 ax>0,ay>0 由平均值不等式 故

四、图象和性质 例 1.设 a、b 分别是方程 log2x+x-3=0 和 2x+x-3=0 的根,求 a+b 及 log2a+2b 解:在直角坐标系内分别作出函数 y=2x 和 y=log2x 的图象,再作直线 y=x 和 y= -x+3,由于 y=2x 和 y=log2x 互为反函数, 故它们的图象关于直线 y=x 对称, 方程 log2x+x-3=0 的根 a 就是 直线 y= -x+3 与对数曲线 y=log2x 的交点 A 的横坐标,方程 2x+x-3=0 的根 b 就是直线 y= -x+3 与指数曲线 y=2x 的交点 B 的横坐标 设 y= -x+3 与 y=x 的交点为 M,则点 M 的横坐标为(1.5,1.5), 所以 a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3 例 6.设 f(x)=min(3+,log2x),其中 min(p,q)表示 p、q 中的较小者,求 f(x)的最大值 解:易知 f(x)的定义域为(0,+¥) 因为 y1=3+在(0,+¥)上是减函数,y2=log2x 在(0,+¥)上是增函数,而当 y1=y2,即 3+=log2x 时,x=4,所以由 y1=3+和 y2=log2x 的图象可知 故当 x=4 时,得 f(x)的最大值是 2 另解:f(x)£3+=3- (1) f(x)=log2x (2) (1)′2+(2)消去 log2x,得 3f(x)£6,f(x)£2 又 f(4)=2,故 f(x)的最大值为 2 例 7.求函数的最小值 解:由 1-3x>0 得,x<0,所以函数的定义域为(-¥,0) 令 3x=t,则 t?(0,1),于是 故当 x= -1 时,得 y 的最小值-2+2log23

五、方程和不等式 例 1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5 (2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0 解:(1)原方程即:log22x+log2(2x-31) =5 log2[2x(2x -31)]=5 (2x)2-31×2x=32 解得:2x=32, ∴x=5 (2)原方程即:(2lgx)2-5×2lgx+4=0 解得:x1=100,x2=1 例 2.设 a>0 且 a11,求证:方程 ax+a-x=2a 的根不在区间[-1,1]内 解:设 t=ax,则原方程化为:t2-2at+1=0 (1) 由 D=4a2-430 得 a31,即 a>1 令 f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0 所以 f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外,故方程 t2-2at+1=0 在之外有两个实根,原 方程有两实根且不在区间[-1,1]内 例 3.解方程:lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数 x 的最大整数) 解:由[x]的定义知,[x]£x,故原方程可变为不等式: lg2x-lgx-2£0 即-1£lgx£2 当-1£lgx<0 时,[lgx]= -1,于是原方程为 lg2x=1 当 0£lgx<1 时,[lgx]=0,原方程为 lg2x=2,均不符合[lgx]=0 当 1£lgx<2 时,[lgx]=1,原方程为 lg2x=3,所以 lgx=, 当 lgx=2 时,x=100 所以原方程的解为 x1= 例 4.当 a 为何值时,不等式 有且只有一解 解:易知:a>0 且 a11,设 u=x2+ax+5,原不等式可化为 (1)当 0<a<1 时,原不等式为 (1) 由于当 u30 时,与均为单调增函数,所以它们的乘积 也是单增函数 因为 f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1 所以(1)等价于 u34,即 x2+ax+534 此不等式有无穷多解 (2)当 a>1 时,不等式化为 (2) 由 f(4)=1 知,(2)等价于 0£u£4,即 0£x2+ax+5£4 从上式可知,只有当 x2+ax+5=4 有唯一解即 D=a2-4=0,a=2 时,不等式 0£x2+ax+5£4 有唯 一解 x= -1 综上所述,当 a=2 时原不等式有且只有一个解 例 5.已知 a>0 且 a11,试求使方程有解的 k 的取值范围 解:原方程即 即 分别解关于的不等式、方程得: (k10 时) 所以解得 k< -1 或 0<k<1 又当 k=0 时,代入原式可推出 a=0 与已知矛盾,故 k 的取值范围为(-¥,-1)U(0,1)


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