当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的极值与导数习题课


跟踪训练 3 若函数 f(x)=2x3-6x+k 在 R 上只有一个 零点,求常数 k 的取值范围.
解: f(x)=2x3-6x+k,则 f′(x)=6x2-6, 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1,
可知 f(x)在(-1,1)上为减函数, f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数.

f(x)的极大值为 f(-1)=4+k,
f(x)的极小值为 f(1)=-4+k. 要使函数 f(x)只有一个零点, 只需 4+k<0 或-4+k>0(如图所示)

或 即 k<-4 或 k>4.∴k 的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).

例1,已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处的极大值为4,极小值为0, 试确定a、b、c的值. 2-3b). [解析 f′(x)=5ax4-3bx2=x2 [ 分析 ] ] 本题的关键是理解“ f(5 (xax )在 x=±1处的极大值为 4 ,极小 值为 0”的含义.即 x =±1 是方程 f′(x) = 的两个根且在根 x= 题意,f′(x)=0 应有根 x=±1,故 5a0 = 3b, ±1处f ′(x)取值左右异号 于是 f′(x)=5ax2(x2. -1) (1)当a>0时,
x y′ y (-∞,-1) -1 (-1,0) + 0 - 0 0 (0,1) - 1 0 (1,+∞) +

极 大 值

无 极 值

极 小 值

? ?4=f(-1)=-a+b+c 由表可知:? ? ?0=f(1)=a-b+c

又 5a=3b,解之得:a=3,b=5,c=2. (2)当 a<0 时,同理可得 a=-3,b=-5,c=2.

[点评] 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰
当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键.

[例2] 求函数f(x)=x3-3x2-2在(a-1,a+1)内的极值(a>0) [解析] 由f(x)=x3-3x2-2得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,0) + 0 0 极大值 (0,2) - 2 0 极小值 (2,+∞) +

由此可得: ①当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值; ②当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; ③当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; ④当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.

综上得: 当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值.

[点评] 判断函数极值点的注意事项:
(1) 若 f(x) 在 (a , b) 内有极值,那么 f(x) 在 (a , b) 内绝不是 单调函数,即在区间(a,b)上的单调函数没有极值. (2) 在讨论可导函数 f(x) 在定义域内的极值时,若方程 f′(x)=0的实数根较多时,应注意使用表格,使极值 点的确定一目了然. (3)极值情况较复杂时,注意分类讨论.

a 例 3:设 a>0,求函数 y=x +x(x>1)的单调区间,并且如果有极值 时,求出极值. a a 1 3 2 [解析] ∵y=x +x, ∴y′=2x- 2= 2(2x -a). x x 3 a 令 y′=0,得 x= . 2
2

因此,函数在(1,+∞)内的单调区间以及是否有极 值均与 有关系,要视 x=与1的大小关系而定 . 〕 a a(0,2 (2,+∞)
? 3 a? x (1,+∞) ?1, ? 2? ? y′ + - y ? ? 3 a 2 0 y 极小值= 3 a2 3 + 2a2 4 ?

?3 ? ? a,+∞? ? 2 ? +

综上可知, (1)若 0<a≤2,则函数在(1,+∞)上单调递增,无极值. ? 3 a? ?上递减, (2)若 a>2,则函数在?1, 2? ? 3 a ?3 ? 在? a,+∞?上递增,在 x= 处取得极小值, 2 ? 2 ? 3 a2 3 即函数的极小值为 y= + 2a2. 4

1 [例 4] 已知函数 f(x)=4x -3x cosθ+ ,其中 x∈R, 32 π θ 为参数,且 0≤θ≤ . 2
3 2

(1)当cosθ=0时,判断函数f(x)是否有极值; (2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ,函数f(x)在 区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围.

[分析]

f(x)是否有极值,需研究是否存在x0点,使f′(x0)=0

且在x0左、右f′(x)的符号相反;求参变量范围注意其他条件. 1 3 [解析] (1)当 cosθ=0 时,f(x)=4x + ,则函数 f(x) 32 在(-∞,+∞)上是增函数,故无极值. (2)f′(x)=12x2-6xcosθ, cosθ 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2= . 2 π 由 0≤θ≤ 及(1),只考虑 cosθ>0 的情况. 2 当x变化时,f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,0)

0 0 极大 值

? cosθ? ?0, ? 2 ? ?

+ ?

- ?

cosθ 2 0 极小值

?cosθ ? ? ,+∞? ? 2 ?

+ ?

?cosθ? cosθ 因此,函数 f(x)在 x= 处取得极小值 f? 2 ?,且 2 ? ? ?cosθ? 1 3 1 ? ? f 2 =- cos θ+ . 4 32 ? ? ?cosθ? 1 3 1 1 要使 f? 2 ?>0,必有- cos θ+ >0,可得 0<cosθ< , 4 32 2 ? ? π π 所以 <θ< . 3 2 ?cosθ ? (3)由(2)知, 函数 f(x)在区间(-∞, 0)与? 2 ,+∞?内都是增函数. ? ? 由题设,函数 f(x)在(2a-1,a)内是增函数,则 a 须满足不

等式组

由(2), 参数

?π π? 1 θ∈?3, 2?时, 0<cosθ< .要使不等式 2 ? ?

1 2a-1≥ 2

1 cosθ 关于参数 θ 恒成立,必有 2a-1≥ . 4 5 综上,解得 a≤0 或 ≤a<1. 8 所以 a
?5 ? 的取值范围是(-∞,0]∪?8,1?. ? ?

kx ? 1 例 5、已知函数 f ( x) ? 2 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ? R )恰有 x ?c

一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x ? ?c (1)求函数 f ( x) 的另一个极值点; (2) 求 函 数 f ( x) 的 极 大 值 M 和 极 小 值 m , 并 求 M ? m ≥ 1 时 k 的范围.
k ( x 2 ? c) ? 2 x(kx ? 1) ?kx 2 ? 2 x ? ck 解:(1) f ?( x) ? , ? 2 2 2 2 ( x ? c) ( x ? c) 由题意知 f ?(?c) ? 0 ,即得 c2k ? 2c ? ck ? 0 (*)
? c ? 0 ,? k ? 0 . 由 f ?( x) ? 0 得 ?kx2 ? 2x ? ck ? 0 ,

2 由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 (或 x ? c ? ) k

2 2 (2)由(*)式得 k ? ,即 c ? 1 ? . c ?1 k 当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1 时, k ? ?2 .

? c) 和 (1, ? ?) 内是减函数, ( i )当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??, 1) 内是增函数. 在 (?c,
k ?1 k ?kc ? 1 ?k 2 ? M ? f (1) ? ? ? 0 , m ? f (?c) ? 2 ? ? 0, c ?1 2 c ? c 2(k ? 2)

k k2 ≥1 及 k ? 0 ,解得 k ≥ 2 . 由 M ?m ? ? 2 2(k ? 2)

-c

1

(ii)当 k ? ?2 时, f ( x) 在 (??, ? c) 和 (1, ? ?) 内是增函数,
k ?k 2 1) 内是减函数.? M ? f (?c) ? 在 (?c, ? 0 , m ? f (1) ? ? 0 2 2(k ? 2) ?k 2 k (k ? 1)2 ? 1 M ?m ? ? ? 1? ≥1 恒成立. 2(k ? 2) 2 k ?2

综上可知,所求 k 的取值范围为 (??, ? 2) ? [ 2, ? ?)

-c

1


相关文章:
课题:导数与函数极值、最值习题课
课题:导数与函数极值、最值习题课_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 课题:导数与函数极值、最值习题课_数学_高中教育_教育专区。课题...
函数的极值与导数习题课学案文档
函数的极值与导数习题课学案文档_数学_高中教育_教育专区。函数的极值与导数习题课学案一例1.已知f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0)在x ? ?1时取得极...
导数与极值、最值练习题_图文
导数与极值、最值练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。导数与极值、最值练习题 三、知识新授(一)函数极值的概念 (二)函数极值的求法:(1)考虑函数的定义...
导数--函数的极值练习题
选修2-2 导数函数的极值命题人:林勇 审题人:林勇 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) : 1.下列说法正确的是 A.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为...
函数的极值与导数公开课说课稿
1.3.2 函数的极值与导数习题课说课稿高二数学组 康海萍 [教材分析]: 《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》 ,初步具备了运用导数研 究...
导数--函数的极值练习题
导数--函数的极值练习题一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极大值 B.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为...
数学教案——导数复习(2)函数的极值与最值,导数的综合...
数学教案——导数复习(2)函数的极值与最值,导数的...科目:文科数学 授课教师:祁振伟 三、习题巩固 1. ...创意简历模板汇集 推理型题分析与总结文档贡献者 祁...
《函数的极值与导数》教学设计
获得函数的极值定义 通过例题和练习,深化提高对函数的极值定义的理解 四、教学过程 〈一〉 、创设情景,导入新课 1、 通过上节课的学习, 导数和函数单 调性的...
函数的极值与导数经典教案
体会导数方法在研究函数性 五、巩固提高:对学案中的例题 和习题,先让学生 做,...通过对典型例题的板演,让 学生明确求极值的方法,突 出本节课的重点。培养学生...
汉沽一中选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数习题
汉沽一中选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。1. 函数y=f(x)的定义域为(a,b),y=f′(x)的图象如图,则函数y= f(...
更多相关标签: