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微元法在高考物理中的应用


微元法在高考物理中的应用
河南省信阳高级中学 陈庆威 2013.10.06

微元法是高中物理中的一个重要的思想方法。 因其近年来在江苏 高考物理试题中的频繁出现,尤其是它在 2013 年普通高等学校招生 全国统一考试(课标卷 I)第 25 题中的闪亮登场,让它在我们的高考 备考中的地位变得更加重要。 很多同学在学习过程中对这类问题因陌生而感到头痛, 想集中训 练又苦于很难在较短时间里收集到较好的题型, 对很多顶尖的学生来 说这类问题做起来也往往心有余而力不足。 希望通过以下几个典型的 微元法试题的训练,能让你从陌生到熟练。

一、从真题中练方法
例题1.(2013全国课标卷 I) 如图,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为 θ,间距为 L。 导轨上端接有一平行板电容器,电容为 C。导轨处于匀强磁场中,磁 感应强度大小为 B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为 m 的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好 接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为 μ,重力加速度大小为 g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑,求: ?电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系; ?金属棒的速度大小随时间变化的关系。 【答案】?Q=CBLv ?
v? m ? sin ? ? ? cos ? ? gt m ? B 2 L2C
C m θ B

【解析】 (1)设金属棒下滑的速度大小为 v,则感应电动势为
1

L

E ? BLv



平行板电容器两极板之间的电势差为
U?E



设此时电容器极板上积累的电荷量为 Q,按定义有
C? Q U



联立①②③式得
Q ? CBLv



(2)设金属棒的速度大小为 v 时经历的时间为 t,通过金属棒的电流 为 i,金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上,大小为
f1 ? BLi



设在时间间隔 ? t, t ? ?t ? 内流经金属棒的电荷量为 ?Q ,按定义有
i? ?Q ?t



?Q 也是平行板电容器极板在时间间隔 ? t , t ? ?t ? 内增加的电荷量,由④

式得
?Q ? CBL?v



式中, ?v 为金属棒的速度变化量,按定义有
a? ?v ?t



金属棒所受的摩擦力方向斜向上,大小为
f2 ? ? N



式中,N 是金属棒对于导轨的正压力的大小,有
N ? mg cos?



金属棒在时刻 t 的加速度方向沿斜面向下,设其大小为 a,根据牛顿
2

第二定律有
mg sin ? ? f1 ? f 2 ? ma



联立⑤至⑾式得
a? m ? sin ? ? ? cos ? ? g m ? B 2 L2C



由⑿式及题设可知,金属棒做初速度为零的匀加速运动。T 时刻金属 棒的速度大小为
v? m ? sin ? ? ? cos ? ? gt m ? B 2 L2C



例 题 2.( 2007?江 苏 ) 如图所示,空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场 , 竖 直 方 向 磁 场 区 域 足 够 长 ,磁 感 应 强 度 B=1T,每 一条 形 磁 场 区 域 的 宽 度 及 相 邻 条 形 磁 场 区 域 的 间 距 均 为 d=0.5m, 有 一 边 长 现 l=0.2m、 质 量 m=0.1kg、 电 阻 R=0.1Ω 的 正 方 形 线 框 MNOP 以 v 0 =7m/s 的 初 速 从左 侧 磁 场 边 缘 水 平 进 入 磁 场 , 求 : ( 1) 线 框 MN 边 刚 进 入 磁 场 时 受 到 安 培 力 的 大 小 F; ( 2) 线 框 从 开 始 进 入 磁 场 到 竖 直 下 落 的 过 程 中 产 生 的 焦 耳 热 Q; ( 3) 线 框 能 穿 过 的 完 整 条 形 磁 场 区 域 的 个 数 n.

解: (1)线框MN边刚进入磁场时,感应电动势 E ? Blv0 ? 1.4V ,
3

感应电流 I ?

E ? 14 A ,受到安培力的大小 F= BIl ? 2.8N R 1 (2)水平方向速度为 0, Q ? mv02 ? 2.45 J 2

(3)用“微元法”解 线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻,感应电动势
B 2l 2v E E ? Blv0 ,感应电流 I ? ,受到安培力的大小 F= BIl ,得 F ? , R R

在 t ? ?t 时间内,由牛顿定律: 求和, ? ( 解得 x ? n=
B 2l 2 )v?t ? ? ?v , mR

F ?t ? ?v m

B 2l 2 ? x ? v0 mR

mv 0 R ? 1.75m , 线 框 能 穿 过 的 完 整 条 形 磁 场 区 域 的 个 数 B 2l 2

1.75 ? 4.375 ,取整数为 4。 0.4

例 题 3.( 2008?江 苏 ) 如图所示,间距为 L 的两条足够长的平行金属导轨与水平 面 的 夹 角 为 θ ,导 轨 光 滑 且 电 阻 忽 略 不 计 .场 强 为 B 的 条 形 匀 强 磁 场 方 向 与 导 轨 平 面 垂 直 , 磁 场 区 域 的 宽 度 为 d1, 间 距 为 d 2 . 两 根 质 量 均 为 m、 有 效 电 阻 均 为 R 的 导 体 棒 a 和 b 放 在 导 轨 上 , 并 与 导 轨 垂 直 . ( 设 重 力 加 速 度 为 g) ( 1)若 a 进 入 第 2 个 磁 场 区 域 时 ,b 以 与 a 同 样 的 速 度 进 入 第 1 个 磁 场 区 域 , b 穿 过 第 1 个 磁 场 区 域 过 程 中 增 加 的 动 △ Ek. 求 ( 2) a 进 入 第 2 个 磁 场 区 域 时 , 恰 好 离 开 第 1 个 磁 场 区 域 ; 若 b 此后 a 离开第 2 个磁场区域时,b 又恰好进入第 2 个磁场区 域 . 且 a. b 在 任 意 一 个 磁 场 区 域 或 无 磁 场 区 域 的 运 动 时 间 均 相 .求 b 穿 过 第 2 个 磁 场 区 域 过 程 中 ,两 导 体 棒 产 生 的 总 焦 耳
4

热 Q. ( 3)对 于 第( 2)问 所 述 的 运 动 情 况 ,求 a 穿 出 第 k 个 磁 场 区 域 时 的 速 率 v.

解:?因为a和b产生的感应电动势大小相等,按回路方向相反,所以 感应电流为0,所以a和b均不受安培力作用,由机械能守恒得
?Ek ? mgd1 sin ?



?设导体棒刚进入无磁场区时的速度为 v1 ,刚离开无磁场区时的速 度为 v 2 ,即导体棒刚进入磁场区时的速度为 v 2 ,刚离开磁场区时的速度 为 v1 ,由能量守恒得:
1 1 2 2 1 2 1 2 在无磁场区域: mv2 ? mv1 ? mgd2 sin ? 2 2
2 在磁场区域有: mv12 ? Q ? mv2 ? mgd1 sin ?

② ③

解得: Q ? mg (d1 ? d 2 )sin ? ?用微元法 设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为 t , 在无磁场区域有: v2 ? v1 ? gt sin ? 且平均速度:
v1 ? v2 d 2 ? 2 t

④ ⑤

在有磁场区域,对a棒: F ? mg sin ? ? BIl
5

且: I ? 解得: F ? mgsin? ?
B 2l 2 v 2R

Bl v 2R



因为速度 v 是变量,用微元法 根据牛顿第二定律, 在一段很短的时间 ?t 内
?v ? F ?t m
? ? B 2l 2 v ? ?t 2mR ? ?

则有 ? ?v ? ? ? g sin ? ?

因为导体棒刚进入磁场区时的速度为 v 2 ,刚离开磁场区时的速度 为 v1 , 所以 ? ?v ? v1 ? v2 ,

? v?t ? d

1

, ? ?t ? t ⑦

B 2l 2 所以: v1 ? v2 ? gt sin ? ? d1 2mR

联立④⑤⑦式,得 v1 ?

4mgRd 2 B 2 l 2 d1 sin ? ? 8mR B 2 l 2 d1

(原答案此处一笔带过,实际上这一步很麻烦,以下笔者给出详 细过程: ④代入⑦得: t ?
B 2 l 2 d1 , 4mgR sin ? 8mgd 2 R sin ? B 2 l 2 d1

⑧ ⑨

⑧代入⑤得: v1 ? v 2 ?

4mgRd 2 B 2 l 2 d1 ⑦+⑨得: v1 ? 2 2 sin ? ? 。) 8mR B l d1

a. b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等, 所以a 穿出任一个磁场区域时的速率v就等于 v1 .所以
v? 4mgRd 2 B 2 l 2 d1 sin ? ? 。 8mR B 2 l 2 d1

6

(注意:由于 a.b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均 相等,所以 a 穿出任一个磁场区域时的速率 v 都相等,所以所谓“第 K 个磁场区”,对本题解题没有特别意义。) 例题 4.( 2009?江 苏 ) 如图所示,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导 轨间距为 L、足够长且电阻忽略不计,导轨平面的倾角为 ? 。条形匀 强磁场的宽度为 d ,磁感应强度大小为 B、方向与导轨平面垂直。长 度为 2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“ ”

型装置。总质量为 m ,置于导轨上。导体棒中通以大小恒为 I 的电流 (由外接恒流源产生,图中未画出) 。线框的边长为 d ( d ? L ) ,电阻 为 R,下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放,导体棒恰好 运动到磁场区域下边界处返回。 导体棒在整个运动过程中始终与导轨 垂直。重力加速度为 g 。求: 1) 装置从释放到开始返回的过程中,线框中产生的焦耳热 Q; 2) 线框第一次穿越磁场区域所需的时间 t1 ; 3) 经过足够长时间后,线框上边与磁场区域下边界的最大距离 x m 。

7

【解答】设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程 中,作用在线框的安培力做功为 W 由动能定理 mg sin ? ? 4d ? W ? BILd ? 0 且 Q ? ?W 解得 Q ? 4mgd sin ? ? BILd (1) 设线框刚离开磁场下边界时的速度为 v1 , 则接着向下运动 2d 由动能定理 mg sin ? ? 2d ? BILd ? 0 ? mv12 装置在磁场中运动的合力
F ? mg sin ? ? F '

1 2

感应电动势 ? ? Bdv 感应电流 I ' ?
?
R

安培力 F '? BI ' d 由牛顿第二定律,在 t 到 t ? ?t 时间内,有 ?v ?
B 2d 2v )?t 则 ? ?v = ? ( g sin ? ? mR

F ?t m

有 v1 ? gt1 sin ? ?

2B 2 d 3 mR
8

解得 t1 ?

2m( BILd ? 2mgd sin ? ) ? mg sin ?

2B 2 d 3 R

(2) 经过足够长时间后, 线框在磁场下边界与最大距离 x m 之间往 复运动, 由动能定理 mg sin ? ? xm ? BIL( xm ? d ) ? 0 解得 xm ?
BILd 。 BILd ? mg sin ?

二、在强化训练中提升能力
1.(2004 哈尔滨)如图所示, 光滑导轨 EF、 等高平行放置, GH EG 间宽度为 FH 间宽度的 3 倍, 导轨右侧水平且处于竖直向上 的匀强磁场中,左侧呈弧形升高。ab、cd 是质量均为 m 的金属棒, 现让 ab 从离水平轨道 h 高处由静止下滑,设导轨足够长。试求: (1)、ab、cd 棒的最终速度; (2)、全过程中感应电流产生的焦耳热。 2.(1999 上海)如图所示,长电阻 r=0.3Ω 、m =0.1kg 的金属棒 CD 垂直跨搁在位于水平面上 的两条平行光滑金属导轨上,两导轨间距也是 L,棒与导轨间接触良好,导轨电阻不计,导轨左端接有 R=0.5Ω 的 电阻,量程为 0~3.0A 的电流表串接在一条导轨上,量程为 0~1.0V 的电压表接在电阻 R 的两端,垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平
9

面。现以向右恒定外力 F 使金属棒右移。当金属棒以 v=2m/s 的速 度在导轨平面上匀速滑动时,观察到电路中的一个电表正好满偏,而 另一个电表未满偏。问:?此满偏的电表是哪个表?说明理由。?拉 动金属棒的外力 F 多大?(3)此时撤去外力 F,金属棒将逐渐慢下 来,最终停止在导轨上。求从撤去外力到金属棒停止运动的过程中通 过电阻 R 的电量。 3.(2004 广州)如图所示,金属棒 ab 质量 m=5g,放在相距 L=1m、 处于同一水平面上的两根光滑平行金属导轨最右端,导轨距地高 h= 0.8m,电容器电容 C=400μF,电源电动势 E=16V,整个装置放在方 向竖直向上、磁感应强度 B=0.5T 的匀强磁场中。单刀双掷开关 S 先打向 1,稳定后再打向 2,金属棒因安培力的作用被水平抛出,落 到距轨道末端水平距离 x=6.4cm 的地面上;空气阻力忽略不计,取 g=10m/s2.求金属棒 ab 抛出后电容器两端电压有多高?
1 K 2 E C

h x

4.(南京 2010 三模)如图所示,两根足够长的平行金属导轨由倾斜 和水平两部分平滑连接组成,导轨间距 L ? 1m ,倾角θ =45°,水平 部分处于磁感应强度 B ? 1T 的匀强磁场中,磁场方向竖直向上,磁场 左边界 MN 与导轨垂直。金属棒 ab 质量 m1 ? 02 kg ,电阻 R1 ? 1? ,金属
10

棒 cd 质量 m2 ? 0.2kg ,电阻 R2 ? 3? ,导轨电阻不计,两棒与导轨间动 摩擦因数 ? ? 0.2 。开始时,棒 ab 放在斜导轨上,与水平导轨高度差
h ? 1m ,棒 cd 放在水平轨上,距 MN 距离为 s 0 。两棒均与导轨垂直,

现将 ab 棒由静止释放,取 g ? 10m / s 2 。求: (1)棒 ab 运动到 MN 处的速度大小; (2)棒 cd 运动的最大加速度; (3)若导轨水平部分光滑,要使两棒不相碰,棒 cd 距离 MN 的最小 距离 s 0 。
b

a

h

N

d

M S0 00

c

5.(2010 模拟) 如图所示, 两根足够长的光滑直金属导轨 MN、 平 PQ 行固定在倾角 θ=37° 的绝缘斜 面上,两导轨间距 L=1m,导轨的电 阻可忽略。 P 两点间接有阻值为 R 的电阻。 根质量 m=1kg、 M、 一 电阻 r=0.2?的均匀直金属杆 ab 放在两导轨上,与导轨垂直且接触 良 好。整套装置处于磁感应强度 B=0.5T 的匀强磁场中,磁场方向 垂直斜面向下。自图示 位置起,杆 ab 受到大小为 F=0.5v+2(式 中 v 为杆 ab 运动的速度,力 F 的单位为 N) 、 方向平行导轨 沿斜面向下的拉力作用,由静止开始运动,测得通过电阻 R 的电流
11

随时 间均匀增大。g 取 10m/s2,sin37° =0.6。 ?试判断金属杆 ab 在匀强磁场中做何种
R

运动,并请写出推理过程; ?求电阻 R 的阻值; (3) 求金属杆下滑 1m 所需的时间 t 以及此 过程产生的焦耳热。 6.(2012 虹口二模)如图(甲)所示,MN、PQ 为水平放置的足够 长的平行光滑导轨, 导轨间距 L 为 0.5m, 导轨左端连接一个阻值为 2Ω 的定值电阻 R,将一根质量为 0.2kg 的金属棒 cd 垂直放置在导轨上, 且与导轨接触良好,金属棒 cd 的电阻 r=2Ω,导轨电阻不计,整个装 置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中,磁感应强度为 B=2T。若棒 以 1m/s 的初速度向右运动,同时对棒施加水平向右的拉力 F 作用, 并保持拉力的功率恒为 4W,从此时开始计时,经过一定时间 t 金属 棒的速度稳定不变,电阻 R 中产生的电热为 3.2J,图(乙)为安培力 与时间的关系图像。试求: (1)金属棒的最大速度; (2)金属棒速度为 2m/s 时的加速度; (3)此过程对应的时间 t; (4)估算 0~3s 内通过电阻 R 的电量。
F 安/N 1.0 M R c F t/s 0 P d 图(甲) Q 1.0 3.0 2.0 图(乙) N 0.5 F 37° B

12

参考答案
2 1.解析: (1)由动能定理: m? m v 2 (*此题动量不守恒) g h v ? g h

1 2

ab 与 cd 匀速运动,则它们不受安培力作用,回路感应电动势为 零, E1=BL1v1,E2=BL2v2,则 v2=3v1 ab 与 cd 组成的系统受到安培力合力不为零,F1=3F2,动量不守 恒, 用动量定理:ΣF1 ? Δt=m(v-v1) ,ΣF2 ? Δt=mv2,
得v1 ? 1 2 gh 10 v2 ? 3 2 gh 10
1 2 1 2 9h m g 1 0

2 2 (2)系统能量守恒 Q h m m ? ?v m g ? v? 1 2

2.解析(1)U=I(R+r) ,当 U=1V 时,I=1.25A,所以电压表先满偏。 (2) E ?
B 2 L2v R?r ? 1.6 N , U ? 1.6V ,因为 E=BLv,所以 BL=0.8, F ? R?r R

(3)用动量定理, ΣF ? Δt=ΣBIL ? Δt=mv,BL ? ΣIΔt=mv,BLQ=mv,
Q? mv ? 0.25C BL
2h ? 0.4 s , Q1 ? CE ? 6.4 ?10 ?3 C , g

3.解析:下落时间 t ?

根据动量定理,ΣF ? Δt=ΣBIl ? Δt=mv,Bl ? ΣIΔt=mv,BlQ=mv,
mv Q ? Q2 ? 1.6 ?10 ?3 C , U ? 1 ? 12V Bl C 1 4.解析: (1) m1 gh ? m1v 2 , v ? 2 gh ? 2 5m / s ? 4.47 m / s 2 Q2 ?

(2)ab 刚进入磁场时,感应电流最大,加速度最大
13

amax ?

B 2l 2 v 5 ? m / s 2 ? 1.12 m / s 2 m1 ( R1 ? R2 ) 2

(3)ab 和 cd 组成的系统受到合外力为零,动量守恒,最后稳定下来,具 有共同的速度 v ' .
m1v ? (m1 ? m2 )v' , v' ?

v ,设 ab 和 cd 的瞬时速度分别为 v1 和 v2, 2

感应电动势为 E ? BL(v1 ? v2 ) 方法一: F1 ? m1a1 ? m1
(v1 ? v2 )?t ?
?v B 2 L2 (v1 ? v2 ) m (R ? R ) ? , (v1 ? v2 )?t ? 1 12 2 2 ?v ?t R1 ? R2 B L

m1 ( R1 ? R2 ) m (R ? R ) ?v ,两边求和: ?(v1 ? v2 )?t ? 1 1 2 2 ??v 2 2 B L B2 L m (R ? R ) m (R ? R ) v 4 即 s0 ? 1 12 2 2 (v ? v' ) ? 1 12 2 2 ? ? 5m ? 1.79m B L B L 2 5

方法二:对 ab 运用动量定理, ?F ? ?t ? m1 (v ? v' ) ,即
B 2 L2 ?(v1 ? v2 ) ? ?t ? m1 (v ? v' ) , R1 ? R2

m1 ( R1 ? R2 ) m (R ? R ) v 4 (v ? v' ) ? 1 1 2 2 ? ? 5m ? 1.79 m 2 2 B L B2 L 2 5 BLv 5.解析: (1)通过 R 的电流 I ? ? kv ,因为 I 随时间均匀增大,所 R?r s0 ?

以 v 随时间均匀增大,导体棒做匀加速直线运动。
2 2 (2)合外力是恒力, F合 ? F ? mg sin ? ? B L v ? 0.5v ? 2 ? 6 ? 0.25 v ? C

R?r

R ? 0.2

所以 R=0.3Ω ,F 合=8N, (3)a=8m/s2, t ?
Q??
2x ? 0.5s , a

E2 B 2 L2 2 B 2 L2 B 2 L2 a 2 3 ? ?t ? ?v ? ?t ? ?(at) 2 ? ?t ? t ? 4J R?r R?r R?r R?r

6.解析: (1)金属棒的速度最大时,安培力也最大,为 1N,拉力等于 安培力,
vmax ? P ? 4m / s , F

或 Fmax ?

B 2 L2 vmax ? 0.25vmax ? 1 , vmax ? 4m / s , R?r
14

(2) F安 ?

F '? F安 B 2 L2 v P ? 0.5 N , F ' ? ? 2 N , a ? ? 7.5m / s 2 , R?r m v

(3)在此过程中,由动能定理得:
1 2 1 2 Pt ? W安 = mvm ? mv0 , 2 2

安培力做功全部转化为焦耳热,W 安=-(QR+Qr)= -2QR =-2× 3.2J=-6.4J
0.2 ? 42 ? 0.2 ? 12 ? 2 ? 6.4 79 s= s=1.975s 2P 2? 4 40 (4)图线与横轴之间共有 124 ? 15 ? 1 ? 131.5 个小方格, 2 相应的“面积”为 131.5× 0.2× 0.1N· s=2.63 N· s,即 ? F安 ? ?t =2.63

解出 t ?

2 2 mvm -mv0 ? 2W安

?

N· s

F ? ?t 故 q ? ? I ? ?t ? ? 安 BL

?

2.63 C=2.63C 2 ? 0.5

15


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