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高一 集合综合讲义


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集? 合?

模块框架

高考要求
内容 集合的含义 集合的表示 基本要求
会使用符号“ ? ”或“ ? ”表示元素与集合之间的关系; 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题; 理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常 用数集,方程或不等式的解集等 理解集合之间包含

与相等的含义, 及子集的概念. 在具体情景中, 了解空集和全集的含义;

集合间的基本关系

理解两个集合的交集和并集的含义, 会求两个简单集合的交集与 并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集 的补集 掌握有关的术语和符号, 会用它们表达集合之间的关系和运算. 能 使用维恩图表达集合之间的关系和运算.

集合的基本运算

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板块一? 集合的概念与表示?

知识内容
1. 集合:某些能够确切指定的对象集在一起成为集合。? 1) 集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;? 若 b 不是集合 A 的元素,记作 b ? A ;? 2) 集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;? ? 确定性: 设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; ? 互异性: 一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此, 同一集合中不应重复出现同一元素; ? 无序性: 集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; 3) 表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;? ? 列举法: 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 例如: {1, 2, 3, 4, 5} , {1, 2, 3, 4, 5, ?} ? 注:所谓“一一列举”就是指凡是具有符合集合 A 的特征的元素必须全部列举在大 括号内,一个都不能少。

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描述法: 把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 例如:大于 3 的所有整数表示为: {x ? Z | x ? 3} ? 方程 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 的所有实数根表示为:{ x ? R | x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 }? 具体方法: 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化) 范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注:在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分 如:{大于 104 的实数} 错误表示法:{实数集};{全体实数}(乱加修饰)

板块一? 集合的概念与表示?

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注意: 列举法与描述法各有优点, 应该根据具体问题确定采用哪种表示法, 要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。?

4) 常用数集及其记法:? ? ? ? ? ? ? ? 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N* 或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;? 空集,不含任何元素的集合叫做空集,记作 ?? 有限集,含有有限个元素的集合;无限集,含有无限个元素的集合? ? ? <教师备案>? 1) 2) 3) 集合是数学中最原始的概念之一, 不能用其他的概念给它下定义, 所以集合是不定义的 概念,只能做描述性的说明.? ? 构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外,还可以是其他任何 对象.? .. 例:{小明,机器猫,哈里波特}? 正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征.? ? 任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素,这是集合中元素的最基本的特 征——确定性,反例:“很小的数”,“个子较高的同学”;? ? 集合中的任何两个元素都是不同的对象,即在同一集合里不能重复出现相同元素 ——互异性,事实告诉我们,集合中元素的互异性常被忽略,从而导致解题出错.? 例:方程 ( x ? 1) 2 ( x ? 2) ? 0 的解集不能写成 {1,1, 2} ,而应写成 {1, 2} ? ? 在同一集合里,通常不考虑元素之间的顺序——无序性? 例:集合 {a, b, c} 与集合 {b, c, a} 是相同集合? 4) 用描述法表示集合,对其元素的属性要准确理解.? 例如:集合 ? x y ? x 2 ? 表示自变量 x 值的全体,即 ? x x ? R? ;集合 ? y y ? x 2 ? 表示函数 值 y 的全体,即 ? y y ≥ 0? ;集合 ?( x , y ) y ? x 2 ? 表示抛物线 y ? x 2 上的点的全体,是点 的集合(一条抛物线) ;而集合 ? y ? x 2 ? 则是用列举法表示的单元素集.? 5) 关于集合的表示方法之间的转换?

6 ? ? A ? ?x x ? N? ? Z, 1 2, 4,, 5 6, 9? ? 3? x ? ,用列举法表示为 A ? ?0,, 例如:① ?

? a b ? ? ? 0, 2? ? a, b是非零实数 ? ,用列举法表示为 A ? ??2, ② A ? ?x x ? ? , a b ? ? ? ?

典例分析
板块一? 集合的概念与表示? 2/?13

题型一 集合的性质
???

【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是( ). A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流
2 C. 方程 x ? 1 ? 0 的实数解

D. 周长为 10cm 的三角形
【题型】选择?

【考点】集合的性质? 【答案】B?

【难度】1 星? ?

【例2】在“①难解的题目;②方程 x2+1=0 在实数集内的的解;③直角坐标平面上第四 象限内的所有点;④很多多项式”中,能组成集合的是() A②③ B①③ C②④ D①②④

【考点】集合的性质? 【难度】1 星? ? 【题型】选择? 【解析】由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合 【答案】A?

【例3】分析下列各组对象能否构成集合: (1)比 2008 大的几个数; (2)一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的图象上的若干个点; (3)正比例函数 y ? x 与反比例函数 y ? ? (4)面积比较小的三角形.
【考点】集合的性质? 【难度】1 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】 (1)中“几个数” 、 (2)中的“若干个点”和(4)中的“面积比较小”都是模

1 的图象的交点; x

糊的概念,因此与之对应的对象都是不确定的,自然它们不能构成集合.而(3)

1 的图象没有交点,所以这两个函数 x 的图象的交点能构成集合,这个集合是空集 ? .
中正比例函数 y ? x 与反比例函数 y ? ? 判断一组对象能否构成集合,关键是看其对象是否满足集合中元素的三个特 征,特别是看是否满足确定性.构成集合的对象是确定的,是指能让人们说清 楚的对象,存在可以,不存在也可以.如(3)中两个图象没有交点,这两个函 数的交点也能构成集合, 不过是空集 ? 罢了.不能构成集合的对象是不确定的对 象,是指让人们说不清楚的对象,存在与不存在都是模糊的,如(1) 、 (2) 、 (4)中的对象.
【答案】 (1) (2) (4)不可以构成集合, (3)可以构成集合

板块一? 集合的概念与表示?

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【例4】下面四个命题正确的是(



A.10 以内的质数集合是{0,3,5,7} B. “个子较高的人”不能构成集合 C.方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是{1,1}
2

D.偶数集为 ?x | x ? 2k , x ? N ?
【考点】集合的性质? 【答案】B? ? 【难度】1 星? ? 【题型】选择?

【例5】下面的结论正确的是(
A. ax ? Q ,则 a ? N



B. a ? N ,则 a ? {自然数} C. x ? 1 ? 0 的解集是{-1,1}
2

D.正偶数集是有限集
【考点】集合的性质? 【答案】C? 【难度】1 星? ? 【题型】选择?

【例6】已知集合 S={ a, b, c }中的三个元素可构成 ? ABC 的三条边长, 那么 ? ABC 一定 不是( )
B.直角三角形 D.等腰三角形
【难度】1 星? ? 【题型】选择?

A.锐角三角形 C.钝角三角形
【考点】集合的性质? 【答案】D?

【例7】已知集合 M ? x ? x ? a ? ? x 2 ? ax ? a ? 1? ? 0 各元素之和等于 3,则实数 a 的值为 【解析】根据集合中元素的互异性,当方程 ? x ? a ? ? x 2 ? ax ? a ? 1? ? 0 重根时,重根只能 算一个元素。
M ? x ? x ? a ?? x ? 1? ? x ? ? a ? 1? ? ? 0
【考点】集合的性质? 【难度】2 星? ? 【题型】填空?

?

?

?

?

1? 不合题意; 当 a =1 时, M ? ?0 ,

当 a ? 1 ? 1 时,即 a ? 2 时, M ? ?1 ,2? ,符合题意; 当 a ? 1 ,且 a ? 2 时, a ? 1 ? a ? 1 ? 3 ,则 a ? 综上 a ? 2 或
【答案】 a ? 2 或

3 3? ?1 ,M ?? , 1 , ? ,符合题意。 2 2? ?2

3 2

3 ? 2
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板块一? 集合的概念与表示?

【例8】求集合 {x 2 ? x, 2, x} 中的元素 x 的取值范围.

【考点】集合的性质? 【答案】 {x ? R | x ? ?1,2,0}. ?

【难度】2 星? ?

【题型】解答?

? 【解析】集合中的元素必须满足互异性,因此 x 的取值必须满足集合中的三个元素互不

? x2 ? x ? 2 ? 相等,从而由元素的互异性可知, x 必须满足 ? x ? 2 ,解得 x ? ?1 , x ? 2 ? x2 ? x ? x ?
且 x ? 0. 故 x 的取值范围是 {x ? R | x ? ?1,2,0}. 在求解有关的集合中元素的问题时,互异是至关重要的,应引起足够的重视. 互异性是指集合中没有两个相同的元素,相同的元素只能算作是一个元素
【答案】 {x ? R | x ? ?1,2,0}. ? ?

【例9】下面有四个命题: ⑴集合 N 中最小的数是 1 ; ⑵若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; ⑶若 a ? N, b ? N ,则 a ? b 的最小值为 2 ; ⑷ x 2 ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ?1,1? ; 其中正确命题的个数为( ) B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 A. 0 个
【考点】集合的性质? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 【解析】⑴最小的数应该是 0 ,⑵反例: ?0.5 ? N ,但 0.5 ? N ⑶当 a ? 0, b ? 1, a ? b ? 1 ,⑷元素的互异性. 【答案】A?

【例10】下列命题正确的有( ) ⑴很小的实数可以构成集合; ⑵集合 ? y | y ? x 2 ? 1? 与集合 ?? x, y ? | y ? x 2 ? 1? 是同一个集合;
3 6 1 ⑶ 1, , , ? , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

⑷集合 ?? x, y ? | xy ≤ 0, x, y ? R? 是指第二和第四象限内的点集. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

板块一? 集合的概念与表示?

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【考点】集合的性质? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 【解析】⑴错的原因是元素不确定,⑵前者是数集,而后者是点集,种类不同, ⑶ 【答案】A?

3 6 1 ? , ? ? 0.5 ,有重复的元素,应该是 3 个元素,⑷本集合还包括坐标轴. 2 4 2

【例11】下列各选项中的 M 与 P 表示同一集合的是 A. M ? {0}, P ? ? B. M ? {(3, ?7)}, P ? {(?7,3)} C. M ? {( x, y ) | y ? x 2 ? 3, x ? R} , P ? { y | y ? x 2 ? 3, x ? R} D. M ? { y | y ? t 2 ? 1, t ? R}, P ? {t | t ? ( y ? 1) 2 ? 1, y ? R}
【考点】集合的性质? 【关键词】无? 【难度】3 星? ? 【题型】选择?





【解析】A 中 M ? {0} 不是空集;B 中 M 和 P 所含的元素不同;C 中集合 M 与 P 的元素不 是同一类型的元素. 【答案】D? ?

【例12】已知集合 A={ kx 2 ? 8 x ? 16 ? 0 }只有一个元素,试求实数 k 的值,并用列举法 表示集合 A。
【考点】集合的性质? 【难度】3 星? ?
2

【题型】解答?

【解析】当 k=0 时,原方程变为-8x+16=0,x=2,此时集合 A={2}



当 k ? 0 时 要 使 一 元 二 次 方 程 kx ? 8 x ? 16 ? 0 有 一 个 实 根 , 需

? ? 64 ? 64k ? 0 ,即 k=1。此时方程的解为 x1 ? x 2 ? 4 。集合 A={4},满足题
意。 综上所述,使数 k 的值为 0 或 1 当 k=0 时,集合 A={2};当 k=1 时,集合 A={4}. 【答案】A 当 k=0 时,集合 A={2};当 k=1 时,集合 A={4}?

题型二 :集合的表示法
【例13】下列集合表示法正确的是(
A.{1,2,2} C.{有理数}
【考点】集合的表示法? 【答案】C?
板块一? 集合的概念与表示?



B.{全体实数} D.不等式 x ? 5 ? 0 的解集为{ x ? 5 ? 0 }
2 2

【难度】1 星? ?

【题型】选择?

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?

?x ? y ? 1 【例14】方程组 ? 2 的解集是( 2 ?x ? y ? 9 A. ? 5, 4 ? B. ? 5, ?4 ?


D. ?? 5, ?4 ?? .
【题型】选择?

C. ?? ?5, 4 ??
【难度】1 星? ?

【考点】集合的表示法?

?x ? y ? 1 ?x ? 5 【解析】 ? 得? ,该方程组有一组解 (5, ?4) ,解集为 ?(5, ?4)? ? x ? y ? 9 ? y ? ?4
【答案】D?

【例15】已知集合 M ? {x ? N | 8 ? x ? N } ,则 M 中元素的个数是
A. 10
【考点】集合的表示法? 【答案】B ?





B. 9

C. 8
【难度】1 星? ? 【题型】选择?

D. 7

【例16】试选用适当的表示方法表示下列集合: (1)一次函数 y ? ? x ? 3 与 y ? 2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 的函数值组成的集合; (3)反比例函数 y ?
【考点】集合的表示法? 【关键词】无?

5 的自变量的值组成的集合. x ?4
2

【难度】2 星? ?

【题型】解答?

【解析】 (1)? ?( x, y ) | ?

?

?

? y ? ? x ? 3? ? ? {(?1, 4)} ,从而由一次函数 y ? ? x ? 3 与 ? y ? 2 x ? 6?

y ? 2 x ? 6 的图象的交点组成的集合为 {(?1,4)}.
(2)?{ y | y ? x 2 ? 2 x ? 4} ? { y | y ? ( x ? 1) 2 ? 3} ? { y | y ? 3} ,从而由二次函 数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ? 3}. (3)?{x | y ?

5 5 } ? {x | x ? ?2} ,从而由反比例函数 y ? 2 的自变量 x ?4 x ?4
2

的值组成的集合为 {x | x ? ?2}. 只有确定的对象才能构成集合,可根据对象的特点或个数的多少来表示集合, 如对象的个数较少的有限集可采用列举法,而其它的一般采用描述法.在本例 中,代表元素份别为点、函数值、自变量.因此在解题过程中不能将点的坐标表 示成 {?1,4} ,也应注意对比(2)和(3)中的两个集合,自变量的范围和函数
板块一? 集合的概念与表示? 7/?13

值的范围在着本质的区别, 分析时时应引起特别的注意.另外, 在表示集合的过 程中,要特别注意数学语言、符号的规范使用.
【答案】 (1) {( ?1,4)}. , (2) { y | y ? 3}. , (3) {x | x ? ?2}. ?

【例17】用列举法表示下列集合 ⑴ 方程 2 x 2 ? x ? 6 ? 0 的根; ⑵ 不大于 8 且大于 3 的所有整数; 1 ⑶ 函数 y ? 3x ? 2 与 y ? 的交点组成的集合. x 【考点】集合的表示法? 【难度】2 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 3? ? 【解析】⑴ ??2, ? ; 2? ? ⑵ {4, 5, 6, 7 , 8} ;
?? 1 ? ? ⑶ ?? , 3 ? , ? ?1, ? 1? ? . ?? 3 ? ?

1 ? y ? 3x ? 2 ? ? x ? ?1 ? ?x ? ? , 3 或? ? ? 1 y ? ?1 y? ? ? ? x ? ?y ? 3
所以函数 y ? 3x ? 2 与 y ?

1 ?? 1 ? ? 的交点组成的集合 ?? , 3 ? , ? ?1, ? 1? ? . x ?? 3 ? ?
?? 1 ? ? ⑶ ?? , 3 ? , ? ?1, ? 1? ? 3 ? ?? ?

? 【答案】 】⑴ ??2, ?

3? ?; 2?

⑵ {4, 5, 6, 7 , 8} ;

8 ? ? 【例18】已知集合 A ? ? x ? N| ? N ? ,试用列举法表示集合 A. 6 ? x ? ?
【考点】集合的表示法? 【难度】2 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】由题意知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x ? 1 , x ? 5 ;当 6 ? x ? 2 , x ? 4 ;

当 6 ? x ? 4 , x ? 2 ;当 6 ? x ? 8 , x ? ?2 ;而 x ≥ 0 ,∴ x ? 2, 4, 5 ,
即 A ? {2, 4, 5} . 【答案】 A ? {2, 4, 5} ? ?

【例19】判断下列集合是有限集还是无限集.对于有限集,指出其元素的个数. (1) A ? {x ? Z | ?4012 ? 1 ? 2 x ? 4031} ; (2)平面内到线段 AB 的两个端点距离距离相等的点 P 的集合.
【考点】集合的表示法? 【关键词】无? 【难度】2 星? ? 【题型】解答?

板块一? 集合的概念与表示?

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【解析】 (1)由 ?4012 ? 1 ? 2 x ? 4031 可得 ?4013 ? ?2 x ? 4030 ,解得 ?2015 ? x ? 2006 . 再由 x ? Z 得 A ? {?2015, ?2014,?,2006} ,所以集合 A 是有限集,共有 4022 个元素. (2)到线段 AB 的两个端点的距离相等的点 P 都在线段 AB 的垂直平分线上, 集合可表示为 {P | PA ? PB} ,它是无限集. 在第(1)小题中,4022 是这样算出来的:连续的整数 mr , mr ?1 ,? mn 中,共有

1 2

mn ? mr ? 1 个整数.
【答案】C?

? 10 ? ? Z , m ? Z? ? 【例20】用列举法表示集合: M ? ?m ? m ?1 ?

【考点】集合的表示法? 【难度】2 星? ? 【关键词】无? 【解析】 m ? 1 ? ?10, ? 5, ? 2, ? 1 ( 10 的约数) 【答案】 ??11, ? 6 , ? 3, ? 2, 0, 1, 4 , 9? ?

【题型】填空?

【例21】已知 a ? Z , A ? ?( x , y ) ax ? y ≤ 3? ,且 (2 , 1) ? A , (1 , ? 4) ? A ,求满足条件 的 a 的值.
【考点】集合的表示法? 【难度】3 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】∵ (2 , 1) ? A ,∴ 2a ? 1 ≤ 3 ,解得: a ≤ 2 , 又 (1 , ? 4) ? A ,∴ a ? 4 ? 3 ,解得: a ? ?1
∴ ?1 ? a ≤ 2 ,又 a ? Z ,∴ a 的值为 0 , 1 , 2 【答案】 0 , 1 , 2 ?

【例22】直角坐标平面除去两点 A(1, 1) 、 B(2, ? 2) 可用集合表示为( A. ?( x , y ) | x ? 1, y ? 1, x ? 2 , y ? 2?



? ? ?x ? 2 ? ?x ? 1 ? B. ?( x , y ) | ? 或? ? ? ? y ? 2? ?y ?1 ? ?

? ?x ? 1 ?x ? 2 ? ? ? C. 且? ?( x , y) | [( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ][( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ] ? 0? ? D. ?( x , y ) | ? y 1 y 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【答案】D?
板块一? 集合的概念与表示?

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【考点】集合的表示法? 【难度】3 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 【解析】考察点 (1, 0) ,显然点 (1, 0) 在除去点 A 和 B 以外的平面上,但点 (1, 0) 不在 A 中, 故 A 是错误的,另外,此点也不在 B、C 中,所以应选 D.
? ? ? x ? 1? ? 本题的关键点在于:按集合表示规则知,形如 ?( x, y ) | ? ? 的集合中元素的横 ? ? ? y ? 1? ?

纵坐标均不等于 1 ,即横坐标或纵坐标等于 1 的点,比如点
? ? ? x ? 1? ? (1, 0) , (1, 2) , (0, 1) , (2, 1) 等都不属于集合 ?( x, y ) | ? ? .由此可知,平面上除 ? ? ? y ? 1? ? ? ? x ? 1? ? ? 去 点 (1, 1) 的 点 的 集 合 不 应 用 集 合 ?( x , y ) | ? ? 表示,应该表示为 ? y 1 ? ? ? ? ?

?( x , y) | ( x ? 1)
? ?

2

? ( y ? 1) 2 ? 0? .

【例23】已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a ? R , b ? R) , A ? {x | x ? f ( x) , x ? R} ,
B ? {x | x ? f [ f ( x)], x ? R} .当 A ? {?1, 3} 时,用列举法表示集合 B .
【考点】集合的表示法? 【难度】4 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】集合 A , B 为相应的方程的解集,而 A 已知,因此可考虑先求 a , b 再求集合 B

∵ ?1, 3 是方程 x ? x 2 ? ax ? b 的两个根,∴ a ? ?1, b ? ?3 ∴ x ? f [ f ( x)] ? x ? ( x 2 ? x ? 3)2 ? ( x 2 ? x ? 3) ? 3
? ( x 2 ? x ? 3) 2 ? x 2 ? 0 ? ( x 2 ? 2 x ? 3)( x 2 ? 3) ? 0

∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 3 .

? x1 ? ?1, x2 ? 3, x3 ? 3 , x4 ? ? 3

∴ B ? {? 3 , ? 1, 3 , 3} .
【答案】 B ? {? 3 , ? 1, 3 , 3} ?

题型三集合与元素的关系
【例24】用“ ? ”或“ ? ”填空: ⑴ 若 A ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0} ,则 ?1 ___ A ; ?4 ___ A ; ⑵ 0 ___ ? ; ⑶ 0 ___ {0} .
【考点】集合与元素关系? 【难度】1 星? ? 【答案】⑴ ? ; ? ⑵ ? ;⑶ ? 【题型】填空?

板块一? 集合的概念与表示?

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【例25】用符号“ ? ”或“ ? ”填空 ⑴ 0 ______ N , 5 ______ N , 16 ______ N 1 ⑵ ? ______ Q, π _______ Q,e ______ ?R Q (e 是个无理数) 2 ⑶ 2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b , a ? Q , b ? Q
【考点】集合与元素关系? 【关键词】无? 【难度】1 星? ?

?

?

【题型】填空?

【解析】 0 是自然数, 5 是无理数,不是自然数, 16 ? 4 ;
( 2 ? 3 ? 2 ? 3 ) 2 ? 6, 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 6, 当 a ? 0, b ? 1 时 6 在集合中.

【答案】⑴ ?, ?, ? ;⑵ ?, ?, ? ;⑶ ? ;

【例26】已知 P ? {x | 2 ? x ? k , x ? N } ,若集合 P 中恰有 3 个元素,求 k 。
【考点】集合与元素关系? 【答案】 5 ? k ? 6 【难度】1 星? ? 【题型】解答?

【例27】用适当的符号填空:已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z } ,则有:
17 A; -5 A; 17 B.

【考点】集合与元素关系? 【难度】2 星? ? 【题型】填空? 【关键词】无? 【解析】由 3k ? 2 ? 17 ,解得 k ? 5 ? Z ,所以 17 ? A ; 7 由 3k ? 2 ? ?5 ,解得 k ? ? Z ,所以 ?5 ? A ; 3

由 6m ? 1 ? 17 ,解得 m ? 3 ? Z ,所以 17 ? B . 【答案】∈,?,∈

【例28】设集合 A ? {x | x ?
A. x ? A

1 1 9 k ? , k ? Z } ,若 x ? ,则下列关系正确的是( 2 4 2
C. {x} ? A D. {x} ? A



B. x ? A

【考点】集合与元素关系? 【关键词】无? 【解析】由于

【难度】2 星? ?

【题型】选择?

1 1 2k ? 1 9 18 k? ? 中 2k ? 1 只能取到所有的奇数,而 ? 中 18 为偶数。则 2 4 4 2 4 9 9 ? A,{ } ? A 。 2 2

【答案】D

板块一? 集合的概念与表示?

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【例29】给出下列关系:
(1) {0}是空集; (2)若 a ? N ,则 ? a ? N ; (3)集合 A ? x ? R x ? 2 x ? 1 ? 0
2

?

?

(4)集合 B ? ? x ? Q

? ?

? 6 ? N? x ?
( ) C.3个 D.0个

其中正确的个数为 A.1个 B.2个

【考点】集合与元素关系? 【解析】略 【答案】D

【难度】2 星? ?

【题型】选择?

【例30】集合 A ? ? x x ? 3n ? 1 , n ? Z? , B ? ? x x ? 3n ? 2 , n ? Z? ,
C ? ? x x ? 6n ? 3 , n ? Z? . ⑴若 c ? C ,问是否有 a ? A , b ? B ,使 c ? a ? b ; ⑵对于任意 a ? A , b ? B ,是否一定有 a ? b ? C ?并证明你的结论.
【考点】集合与元素关系? 【难度】3 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】由 c ? C ,可写出 c 的表达式,再根据 A , B 的元素特征,寻找 a , b ; 第⑵ ? 问中可表示 a , b ; 然后找 a ? b ;最后观察 a ? b 的形式 ⑴ 令 c ? 6m ? 3 , 则 c ? 3m ? 1 ? 3m ? 2(m ? Z) , 令 a ? 3m ? 1 , b ? 3m ? 2 , 则c ? a ?b 故对 c ? C ,一定有 a ? A , b ? B ,使 c ? a ? b 成立 ⑵ ? 设 a ? 3m ? 1 , b ? 3l ? 2 , m , l ? Z ,则 a ? b ? 3( m ? l ) ? 3 ,
∴ 当m?l

? 2k (k ? Z) 时, a ? b ? 6k ? 3 ? C ,此时有 c ? C 使 a ? b ? c

当 m ? l ? 2k ? 1(k ? Z) 时, a ? b ? 6k ? 6 ? C ,此时不存在 c 使 a ? b ? c 成立

【答案】⑴ 存在,⑵ 不存在

【例31】试用适当的符号把 2 ? 3 ? 2 ? 3 和 a ? b 6 a ? R, b ? R 连接起来.

?

?

【考点】集合与元素关系? 【关键词】无?

【难度】4 星? ?

【题型】解答?

【解析】 2 ? 3 ? 2 ? 3 = 6

2 ? 3 ? 2 ? 3 ∈ a ? b 6 a ? R, b ? R
【答案】∈
板块一? 集合的概念与表示?

?

?
12/?13

【例32】设 S ? {x | x ? m ? 2n , m , n ? Z}
⑴若 a ? Z ,则 a 是否是集合 S 的元素? ⑵对于 S 中任意两个元素 x1 、 x2 ,则 x1 ? x2 、 x1 ? x2 是否属于 S ? ⑶对于给定的整数 n ,试求满足 0 ? m ? n 2 ? 1 的 S 中元素的个数. 【考点】集合与元素关系? 【关键词】无?
⑵ ? 令 x1

【难度】4 星? ?

【题型】解答?

【解析】⑴ ? 当 m ? a , n ? 0 时,有 m ? n 2 ? a ,∴ a ? S

? m1 ? n1 2 , x2 ? m2 ? n2 2 , m1 , m2 , n1 , n2 ? Z

x1 ? x2 ? (m1 ? m2 ) ? (n1 ? n2 ) 2 , x1 ? x2 ? (m1m2 ? 2n1n2 ) ? (m1n2 ? m2 n1 ) 2
又 m1 ? m2 , n1 ? n2 , m1m2 ? 2n1n2 , m1n2 ? m2 n1 ? Z

x1 ? x2 ? S , x1 ? x2 ? S ;
⑶?

0 ? m ? n 2 ? 1 ? ? 2n ? m ? ? 2n ? 1 若 n ? 0 , S 中不含满足条件的元素 若 n ? 0 ,在相差为 1 的两个无理数之间恰有一个整数. 此时满足所给条件的元素恰有 1 个

【答案】⑴ 是,⑵ 属于,⑶ 1 个 【例33】已知集合 A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}
求证: (1)3∈A; (2)偶数 4k—2 (k∈Z)不属于 A. 【考点】集合与元素关系? 【难度】4 星? ? 2 2 【答案】 (1)3=2 -1 ∴3 ? A 【题型】解答?

(2)设 4k-2 ? A,得存在 m,n ? Z,使 4k-2=m2-n2 成立. (m-n)(m+n)=4k-2 当 m,n 同奇或同偶时,m-n,m+n 均为偶数 ∴(m-n)(m+n)为 4 的倍数,与 4k-2 不是 4 倍数矛盾.

当 m,n 同分别为奇,偶数时,m-n,m+n 均为奇数

(m-n)(m+n)为奇数,与 4k-2 是偶数矛盾.∴4k-2 ? A

板块一? 集合的概念与表示?

13/?13

?

板块二? 集合之间的关系?

知识内容
? 1. 集合的包含关系:? 1) 集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) ,? ;? 记作 A ? B(或 A ? B ) 则称 A 等于 B, 记作 A=B; 集合相等: 构成两个集合的元素完全一样。 若 A ? B 且 B ? A, 若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A? ?? B;? 2) 简单性质:? ? ? A ? A(任何一个集合是它本身的子集) 。? ? 若 A ? B,B ? C,则 A ? C;? ?? 2. 全集与补集:? 1) 2) 3) 包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U;? 若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A} 称为 S 中子集 A 的补集;? 简单性质:1) C S ( C S A)?=?A;? 2) C S S=??,? CS ? =?S。? ? <教师备案>? 1) 强调说明,加深印象:? ? 表示元素和集合之间的关系:属于“ ? ”和不属于“ ? ”? ? 表示集合与集合之间的关系:? 则集合 A 是集合 B 的子集, 记为 A ? B 或 B ? A ; 包含关系: 如果对于任意 a ? A ? a ? B , 注意提示: A ? A , ? ? A ? ? 真子集关系:对于两个集合 A 与 B ,若 A ? B 且 .A ? B ,则集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ? B (或 B ? A )? 相等关系:对于两个集合 A 与 B ,如果 A ? B ,且 .B ? A ? ,那么集合 A 与 B 相等,记 作 A? B? 注意:? 那么有 A ? B 或 A ? B , 两种情况二者必居其一; 而 A ? B 是不允许 A ? B , 如果“ A ? B ”, 所以即使 A ? B , A ? B 不一定成立;反之, A ? B 可以说 A ? B ; A ? B 也可说 A ? B ?

? ? ? A(空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集) ;? ?

板块二? ? 集合之间的关系?

1/?11

不包含关系: 如果集合 A 中存在着不属于集合 B 的元素, 那么集合 A 不包含于 B , 或B 不包含 A .分别记作 A ? B ,或 B ? A ? 2)

0 , {0} , ? , {?} 之间的区别与联系?
? 0 与 {0} 是不同的,0 只是一个数字, 而 {0} 则表示集合, 这个集合中含有一个元素 0 , 它们的关系是 0 ? {0} ? ? ? 与 {0} 是不同的, ? 中没有任何元素, {0} 则表示含有一个元素 0 的集合,它们的 关系是两个集合之间的关系( ? ? ?0? )? ? ? 与 {?} 是不同的, ? 中没有任何元素, {?} 则表示含有一个元素 ? 的集合,它们 的关系是 ? ? {?} 或 ? ? {?} 或 ? ? ??? ? ? 显然, 0 ?? , 0 ? {?} ?

3)

集合中的计数问题? 当研究有限集合问题时,常有一些计数问题.? 在计数时常用下列结论:设集合 A 中元 素个数为 n ,则:? ? 子集的个数为 2 n ,? ? 真子集的个数为 2 n ? 1 ,? ? 非空真子集的个数为 2n ? 2 ?

典例分析
题型一 子集与真子集
【例1】下列四个命题:① ? ={0} ;②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两 个以上的子集;④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有(
A.0 个 【考点】子集与真子集? 【答案】B? B .1 个 C .2 个 D.3 个 【题型】选择?



【难度】1 星? ?

【例2】用适当的符号填空
⑴ {1} ___ {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} ⑵ {1, 2} ___ {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} ⑶ {x | x ? 2k , k ? N} ___{x | x ? 6? ,? ? N} ⑷ ? ___ {x ? R | x 2 ? 2 ? 0} 【考点】子集与真子集? 【难度】1 星? ? 【题型】填空?

【答案】⑴? ? ? ;⑵? ? ;⑶? ? ;⑷? =?

板块二? ? 集合之间的关系?

2/?11

【例3】用适当的符号填空: ⑴ ? ___{0} ⑵ 2 ___{(1, 2)}
⑶ 0 ___ {x | x 2 ? 2 x ? 5 ? 0} ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ {3,5}____ {x | x 2 ? 8 x ? 15 ? 0} {3,5}___ N {x | x ? 2n ? 1, n ? Z}___{x | x ? 4k ? 1, k ? Z} {(2 , 3)}___{(3, 2)}

【考点】子集与真子集? 【难度】1 星? ? 【题型】填空? 【答案】⑴ ;⑵ ? ;⑶ ? ;⑷ ? ;⑸ ;⑹ ? ;⑺ ? ?

【例4】若集合 X ? {x | x ? ?1} ,下列关系式中成立的为(
A. 0 ? X 【考点】子集与真子集? 【解析】 0 ? ?1, 0 ? X , ?0? ? X ? 【答案】D? B. ?0? ? X C. ? ? X



D. ?0? ? X 【题型】选择?

【难度】1 星? ?

【例5】用适当的符号填空
⑴ 3 ______ ? x | x ≤ 2? , ?1, 2 ? ____ ?? x, y ? | y ? x ? 1? ⑵ 2 ? 5 _______ x | x ? 2 ? 3 ,

?

?

? 1 ? ⑶ ? x | ? x , x ? R ? _______ ? x | x3 ? x ? 0? ? x ?

【解析】⑴ ?, ? ;⑵ ? ;⑶ ? ; ⑴ 3 ? 2 , x ? 1, y ? 2 满足 y ? x ? 1 , ⑵估算
2 ? 5 ? 1.4 ? 2.2 ? 3.6 , 2 ? 3 ? 3.7 , 或 ( 2 ? 5) 2 ? 7 ? 40 ,

(2 ? 3) 2 ? 7 ? 48

⑶左边 ? ??1,1? ,右边 ? ??1,0,1?
【考点】子集与真子集? 【关键词】无? 【难度】2 星? ? 【题型】填空?

【解析】⑴ 3 ? 2 , x ? 1, y ? 2 满足 y ? x ? 1 , ⑵估算
2 ? 5 ? 1.4 ? 2.2 ? 3.6 , 2 ? 3 ? 3.7 , 或 ( 2 ? 5) 2 ? 7 ? 40 ,

(2 ? 3) 2 ? 7 ? 48

⑶左边 ? ??1,1? ,右边 ? ??1,0,1? 【答案】⑴ ?, ? ;⑵ ? ;⑶ ? ;

板块二? ? 集合之间的关系?

3/?11

【例6】下列说法中,正确的是( ) A.任何一个集合必有两个子集; B.若 A ? B ? ?, 则 A, B 中至少有一个为 ? C.任何集合必有一个真子集; D.若 S 为全集,且 A ? B ? S , 则 A ? B ? S
【考点】子集与真子集? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 【解析】选项 A: ? 仅有一个子集,选项 B:仅说明集合 A, B 无公共元素,

选项 C: ? 无真子集,选项 D 的证明:∵ ( A ? B) ? A ,即 S ? A ,而 A ? S ,
∴ A ? S ;同理 B ? S ,? ∴ A ? B ? S .? 【答案】D?

【例7】已知集合 A ? {a , a ? d , a ? 2d }, B ? {a , aq , aq 2 } ,其中 a ? 0 ,且 A ? B ,则 q 等于 ___.
【考点】子集与真子集? 【关键词】无? 【难度】2 星? ? 【题型】填空?

?a ? d ? aq ?a ? d ? aq 2 【解析】由 A ? B 可得 ? 或 ? 2 ?a ? 2d ? aq ?a ? 2d ? aq 2 ∵ a ? 0 ,由①得: q ? 1 或 2q ? q ? 1 ? 0 1 ∵ q ? 1 ,∴ q ? ? . 2 1 【答案】 ? ? 2

……①

【例8】设 A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? a} ,若 A
【考点】子集与真子集? 【难度】2 星? ? 【关键词】无? 【解析】借助数轴直观图分析可得 a ≤ ?1 【答案】 a ≤ ?1 ?

B ,则 a 的取值范围是______
【题型】填空?

【例9】已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , B ? A ,求 m 的取值范围.
【考点】子集与真子集? 【解析】时刻注意空集的情况 【难度】2 星? ? 【题型】解答?

当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? ,满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;
?m ? 1 ? ?2 即 2 ? m ? 3; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? ? 2m ? 1 ? 5

∴m?3.
【答案】 m ? 3 ?
板块二? ? 集合之间的关系? 4/?11

n 1 【例10】设集合 A ? {x | x ? , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} , 则下列图形能表示 A 与 B 2 2

关系的是(
A B?

).
B A

A

B

A

B

? ? ? A.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.? 【考点】子集与真子集? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 3 1 1 3 【解析】思路一:简单列举两个集合的一些元素, A ? {? ? ?, ? ? 1, ? , 0, ,1, , ? ? ?} , 2 2 2 2 3 1 1 3 B ? {? ? ?, ? , ? , , , ? ? ?} , 2 2 2 2 ? 易知 B A,故答案选 A.

?

思路二:由 B ? {x | x ?
【答案】A?

2n ? 1 , n ? Z} ,易知 B ? A,故答案选 A. ? 2

【例11】若集合 M ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ,T ? {x | mx ? 1 ? 0} , 且M ?T . 求实数 m 的取值范 围.
【考点】子集与真子集? 【难度】2 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】解含参量 m 的一元一次不等式 mx ? 1 ? 0 ,应对 m 分类讨论. 解 M ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ? (?? , ? 1) ? (2, ? ?) 对 mx ? 1 ? 0 有 mx ? ?1 1 1? ? 1? ? ① 当 m ? 0 时, x ? ? ,此时 T ? ? x | x ? ? ? ? ? ?? , ? ? . m m? ? m? ? 1 1 由 T ? M 知 ? ≤ ?1 ? ≥ 1 ,所以 0 ? m ≤1 m m 1 1 1 ? 1 ? ② 当 m ? 0 时, x ? ? ,此时 T ? ? ? , ? ? ? .由 T ? M 知 ? ≥ 2 ? ≤ ?2 , m m m ? m ? 1 所以 ? ≤ m ? 0 2 ③ 当 m ? 0 时, T ? ? ,显然 ? ? M 1 由①,②,③可得: ? ≤ m ? 1 . 2 1 【答案】 ? ≤ m ? 1 ? 2

【例12】若集合 M ? ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0? , N ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,求实数 a 的值.
【考点】子集与真子集? 【关键词】无?
板块二? ? 集合之间的关系?

【难度】2 星? ?

【题型】解答?

5/?11

【解析】由 x 2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? 2或 ? 3 ,因此, M ? ?2, ?3? .
(i)若 a ? 0 时,得 N ? ? ,此时, N ? M ; (ii)若 a ? 0 时,得 N ? { } . 若 N ? M ,满足 故所求实数 a 的值为 0 或

1 a

1 1 1 1 ? 2或 ? ?3 ,解得 a ? 或a ? ? . 2 3 a a

1 1 或? . 2 3 在考察“ A ? B ”这一关系时,不要忘记“ ? ” ,因为 A ? ? 时存在 A ? B . 从 而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行. 1 1 【答案】 0 或 或 ? .? 2 3

【例13】已知集合 A={x|x2-2x-8≤0,x∈R},B={x|x2-(2m-3)x+m2-3m≤0,x∈ R,m∈R },全集为 R,若 A??RB,则实数 m 的取值范围是
【考点】子集与真子集? 【关键词】无? 【难度】2 星? ? 【题型】填空?

【解析】化简集合后用数轴比较,化简 A ? ? x ? 2 ≤ x ≤ 4? ,

B ? ? x m ? 3 ≤ x ≤ m ,m ? R? ,
集合 CR B ? ? x x ? m ? 3或x ? m ,x ? R ,m ? R? ,画数轴比较端点知: m ≤ ?2 或者

m ? 3 ≥ 4 .本题把集合 B 改为 B ? ? x x 2 ? ? 2m ? 3? ? m 2 ? 3 ≤ 0 ,x ? R ,m ? R? 呢?
则不宜化简集合 B,思路是构造函数看图象。 【答案】 ? ?? ,? 2? ? ? 7 ,? ? ? .?

【例14】已知集合 A = x x 2 ? ax ? a ? 0, x ? R, a ? R , Z = ?整数? ,全集为 R ,若

?

?

A ? Z ? R ? ?0? ,则实数 a 的取值范围是
【考点】子集与真子集? 【关键词】无?
2


【题型】填空?
2

【难度】2 星? ?

【解析】即不等式 x ? ax ? a ? 0 解集中的整数有且只有 0,令 f ( x ) ? x ? ax ? a ,则只 须 f (0) ? a ? 0且f (?1) ? 1 ? 2a ? 0且f (1) ? 1 ? 0 ,即有 ? 【答案】 ?

1 ? a ? 0 。? 2

1 ?a?0? 2

板块二? ? 集合之间的关系?

6/?11

【例15】已知 a, b 均为实数, 设数集 A ? ? x a ? x ? a ? ? , B ? ? x b ?

?

?

4? 5?

?

?

1 ? ? x ? b? , 且 A、 3 ?

B 都是集合 x 0 ? x ? 1 的子集.如果把 n ? m 叫做集合 x m ? x ? n 的 “长度” , 那么集合 A ? B 的“长度”的最小值是
【考点】子集与真子集? 【关键词】无? 【难度】2 星? ?

?

?

?

?

.
【题型】填空?

【解析】在数轴上直观描述这里的子集关系,则有 a ? 0且a ?

4 1 ? 1,b- ? 0且b ? 1 ,以 5 3 4 1 1 1 及两个集合的区间长度分别是 与 ,则有 0 ? a ? , ? b ? 1 ,分别考查以下两 5 3 5 3 1 4 2 4 1 4 1 2 个最小值: (b ? a ) min ? ? ? ? , ((a ? ) ? (b ? )) min ? ? (1 ? ) ? 即可。 3 5 15 5 3 5 3 15 2 【答案】 ? 15
?

【例16】已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}. 若 A=B,求实数 x 的值.
【考点】子集与真子集? 【难度】3 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? ?a ? b ? ax 【解析】若 ? ? a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0,即 a=0 或 x=1. 2 ?a ? 2b ? ax

当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. ?a ? b ? ax 2 若? ? 2ax2-ax-a=0. a ? 2 b ? ax ? 因为 a≠0,所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0.
1 又 x≠1,所以只有 x ? ? . 2

1 经检验,此时 A=B 成立. 综上所述 x ? ? . 2 抓住集合相等的定义,分情况进行讨论. 融入方程组思想,结合元素的互异性 确定集合. 1 【答案】 x ? ? ? 2

题型二 子集的列举与个数
【例17】集合{1,2,3}的真子集共有(
A、5 个 B、6 个 C、7 个


D、8 个
【题型】选择?

【考点】子集的列举与个数? 【答案】C?
板块二? ? 集合之间的关系?

【难度】2 星? ? ?

7/?11

【例18】已 知 集 合 A ? {x | x ? sin 为 .

n? , n ? Z} , 则 集 合 A 的 真 子 集 的 个 数 3
【题型】填空?

【考点】子集的列举与个数? 【解析】解析:化简集合 A ? {0, 【答案】7?

【难度】2 星? ?

3 3 , ? } ,真子集有 2n ? 1 ? 7 个 2 2

【例19】已知集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R} .
(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并求出这个元素; (2)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围.

【考点】子集的列举与个数?

【难度】2 星? ?

【题型】解答?

【答案】 (1)a=0,x=-

1 或 a=1,x=-1; 2

(2)a≥1 或 a=0.
?

【例20】求满足条件 {1, 2} ? A {1, 2, 3, 4, 5} 的集合 A 的个数
{1, 2};{1, 2, 3};{1, 2, 4};{1, 2, 5};{1, 2, 3, 4};{1, 2, 3, 5};{1, 2, 4, 5} .
【考点】子集的列举与个数? 【关键词】无? 【解析】7 个. 【答案】7 个? 【难度】2 星? ? 【题型】解答?

{1, 2};{1, 2, 3};{1, 2, 4};{1, 2, 5};{1, 2, 3, 4};{1, 2, 3, 5};{1, 2, 4, 5} .

【例21】 {a , b , c}

A

{a , b , c , d , e , f } ,求满足条件的 A 的个数.
【难度】3 星? ? 【题型】解答?

【考点】子集的列举与个数? 【解析】? 【答案】6 个?

【例22】集合{a,b,c}的所有子集是
【考点】子集的列举与个数? 【关键词】无? 【解析】

真子集是

;非空真子集是
【题型】填空?

【难度】3 星? ?

【答案】 ? ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}?

板块二? ? 集合之间的关系?

8/?11

【例23】同时满足{1} A {1,2,3,4,5}, 且 A 中所有元素之和为奇数的集合 A 的个数 () A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【考点】子集的列举与个数? 【难度】3 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 【解析】若 A 为二元集,则 A 可为{1,2},{1,4};若 A 为三元集,则 A 可为{1,2,

4},{1,3,5},若 A 为四元集,则 A 可为{1,2,3,5},{1,3,4,5};所以 共 6 个符合条件的集合,答案为 B。
【答案】B?

【例24】设有限集合 A ? {x | x ? ai , i ? n, i ? N ? , n ? N + } ,则 ? ai 叫做集合 A 的和,记作
i ?1

n

S A . 若集合 P ? {x | x ? 2n ? 1, n ? N ? , n ? 4} ,集合 P 的含有 3 个元素的全体子集
分别为 P 1、P 2 ?、P k ,则 ? S p =
i ?1
i

k



【考点】子集的列举与个数? 【难度】3 星? ? 【题型】填空? 【关键词】无? 【解析】先确定集合 p 的 4 个元素 1、3、5、7,它的四个子集中,集合 P 的每个元素都出 现 3 次,故 ? S p =3(1+3+5+7)=48
i ?1
i

k

【答案】48?

【例25】求集合 {a , b} 的子集的个数,真子集的个数,非空真子集的个数,并推导出
{1, 2, 3, 4, 5, ? , 100} 的子集和真子集的个数.

【考点】子集的列举与个数? 【难度】6 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】集合 {a , b} 的子集的个数为 4 ,真子集的个数为 3 ,非空真子集的个数为 2
? {1, 2, 3, 4, 5,? , 100} 的子集的个数 2100 ; 真子集的个数 2100 ? 1 ; 非空真子集的

个数 2100 ? 2 . 拓展: 设集合 A 中元素个数为 n , 则子集的个数为 2 n ,真子集的个数为 2n ? 1 ,

非空真子集的个数为 2n ? 2 .
【答案】 2n ? 2 ?

板块二? ? 集合之间的关系?

9/?11

【例26】若规定 E= a1, a2 ...a10 的子集 ak1 ak2 ..., akn 为 E 的第 k 个子集,其中 k=

?

?

?

?

2k1 ? 2k 2 ?1 ? ? ? 2kn ?1 ,则 (1) ?a1, , a3 ? 是 E 的第
(2)E 的第 211 个子集是_______ 【考点】子集的列举与个数? 【答案】 (1)5 【难度】4 星? ? 【题型】填空?

个子集;

a2 , a3 , a5 , a8 (2) ?a1 ,

?

【例27】求集合 M ? {1, 2, 3, ? , 100} 的所有子集的元素之和的和(规定空集的元素和为 零) .
【考点】子集的列举与个数? 【难度】4 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】先分析特殊情形,发现元素出现的规律之后再研究集合 M .设 A ? {1, 2, 3} ,它

共有 23 ? 8 个子集: ? , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .
我们发现 A 中的每个元素各出现

1 3 ?2 ? 4 次 , 依 此 类 推 , 集 合 2 1 M ? {1, 2, 3, ? , 100} 共有 2100 个子集,其中 M 的每个元素各出现 ? 2100 ? 299 次. 2 1 100 ? 2 ? 299 次. 故 M 的所有子集的元素和之和为 299 ? (1 ? 2 ? ? ? 100) ? 5050 ? 299 . 2

解 由 于 M ? {1, 2, 3, ? , 100} 共 有 2100 个 子 集 , 集 合 M 中 每 个 元 素 各 出 现

帮助学生分析此题时,可按以下步骤: ② 所有子集的元素之和 ① 集合 M 的所有子集的情况 ③ 元素之和的和 ④ 空集的元素和为零 , 则 M 的子集共有 2 n 个. 所 此题可适当拓展: 如果 M ? {1, 2, 3, ? , n}( n ? N + )
1 n(n ? 1) n ? 2 ? 2n ? 2 ? n(n ? 1) (可作为 有子集的元素和之和为 ? 2n ? (1 ? 2 ? ... ? n) ? 2 22 公式熟记) ,可由此让学生注意到补集的情形.
【答案】 2n ? 2 ? n(n ? 1)

【例28】设 S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合:① 1? S ,②若 a ? S ,则
1 ? S .求解下列问题: 1? a
⑴若数列 {2 ? (?1)n } 中的项都在 S 中,求 S 中所含元素个数最少的集合 S ? ; ⑵ S 中所含元素个数一定是 3n(n ? N? ) 个吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理 由.
板块二? ? 集合之间的关系? 10/?11

【考点】子集的列举与个数? 【难度】5 星? ? 【关键词】2006 年,上海,高考模拟?

【题型】解答?

【解析】⑴ an ? 2 ? (?1)n ,∴ a1 ? ?2 , a2 ? 2 , a3 ? ?2 …即集合 S 中必有 2 和 ?2 1 1 1 1 2? S ? ? S ? ?1 ? S ? ?S ? ?S ? ? S ? 2?S , 1 1? 2 1 ? (?1) 2 1? 2 1 ∴ S 中至少含有元素 2 , ?1 , 2 1 3 同理 ?2 ? S ,可得 ? S 和 ? S 3 2 1 3 ∴ S 中 至 少 含 有 元 素 ?2 , , ,即 S 中所含元素个数最少的集合为 3 2 1 1 3? ? S ? ? ? 2, ? 1, , ? 2, , ? 2 3 2? ? 1 1 1 1 ? A ,∴对于 ? A ,有 ⑵∵ a ? A ,有 ?1? ? A 1 1? a 1? a a 1? 1? a 1 1 对于 1 ? ? A ,有 ? a ? A ,以下循环. a ? 1? 1 ? ?1 ? ? ? a? 1 1 下面证明 a , , 1 ? 互不相等. 1? a a 1 1 若a ? ,则 a ? a 2 ? 1 ,即 a 2 ? a ? 1 ? 0 无解,所以 a ? . 1? a 1? a 1 1 若 a ? 1 ? ,则 a 2 ? a ? 1 ? 0 无解,所以 a ? 1 ? . a a 1 1 1 1 2 ? 1 ? ,则 a ? a ? 1 ? 0 无解,所以 ? 1? 若 a a 1? a 1? a 1 1 即a, , 1 ? 互不相等.所以 S 中含有元素个数一定是 3n (n ? N? ) 个. 1? a a 1 1 3? ? ? 1, , ? 2, , ? ⑵ 3n (n ? N? ) ? 【答案】⑴ S ? ? ?2, 2 3 2? ?

【例29】集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1 ? A 且

x+1 ? A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素” ,写出 S 中所有无“孤立元素”的 4 元
子集.
【考点】子集的列举与个数? 【难度】5 星? ? 【题型】解答? 【解析】依题意可知, “孤立元素 x”是没有与 x 相邻的,非“孤立元素 x”是指在集合

中有与 x 相邻的元素.因此所求问题的集合可分成如下两类: (1)4 个元素连续的,有 3 个:{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5}; (2)4 个元素分两组,每组两个连续的,也有 3 个:{0,1,3,4},{1,2,4, 5},{0,1,4,5}. 【答案】 (1)4 个元素连续的,有 3 个:{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5}; (2)4 个元素分两组,每组两个连续的,也有 3 个:{0,1,3,4},{1,2,4, 5},{0,1,4,5}.
板块二? ? 集合之间的关系? 11/?11

?

板块三? 集合的运算?

知识内容
? 1. 交集与并集:? 1) 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集。交 集 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。? 2) 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集。

并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 。?
? 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交 集与并集的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个 字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强 数形结合的思想方法。? ?
<教师备案>? 1) 理解两个集合的并集、交集、补集的含义,会求两个简单集合的并集与交集? ? 能使用 Venn 图表示集合的并集、交集、补集; ? 能使用数轴表示不等式或不等式组的解集和表示集合 A 的补集 CRA? 2) 基础知识点拨:? ? 交集的概念:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A ? ,即 A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B} ? 与 B 的交集,记作 A ? B (读作“ A 交 B ”) ? ? ? ? ? ? ? ? ①? 数学符号表示: A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B} ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②?Venn 图反映:?

A B
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A

B

A

B

A B
? ?
板块三? 集合的运算? 1/?15

? 并集的概念:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集 ,即 A ? B ? {x | x ? A, 或 x ? B} ? 合 A 与 B 的并集,记作 A ? B (读作“ A 并 B ”) ? ? ? ? ? ? ? ? ①? 数学符号表示:? A ? B ? {x | x ? A, 或 x ? B} ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②?Venn 图反映:?

B

A

A B

A
? 补集的概念:?

B
?

全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素,那么就称 这个集合为全集,通常记作 U ? 补集:对于一个集合 A ,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合

A ? 相对于全集 U 的补集,记作 CU A,即 CU A ={x|x∈U,且 x ? A} ?
①? 数学符号表示:? CU A ={x|x∈U,且 x ? A} ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②?Venn 图反映:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ? (?U A) ? U ;? ? A ? (?U A) ? ? ;? ? ?U (?U A) ? A ? ? ? 公式定理小结:?
⑴ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽

U A

U

A

A ? A ; ? ? A ;? ⑵ 若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ;? A ? B ? B ? A ;? A? B ? A; A? B ? B ; A?? ? ?; A? B ? B ? A; A? A? B ;B ? A? B ; A?? ? A

A ? (?U A) ? ? ; A ? (?U A) ? U ;
?U (?U A) ? A
2/?15

板块三? 集合的运算?

? 2. 集合的简单性质:?

1) 2) 3) 4) 5)

A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; ? A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; ? ( A ? B) ? ( A ? B); ? A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ;?
,? ? ? ? C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) ? ? ? C S(A∪B) = ( C S A) ∩ ( C S B) 。?

3. 集合元素个数公式: n( A ? B ) ? n( A) ? n( B ) ? n( A ? B) .? ?

典例分析
题型一 集合的基本运算
【例1】若 I ? ? x | x ≥ ?1, x ? Z? ,则 ?I N =
【考点】集合的基本运算? 【难度】1 星? ?


【题型】填空?

【答案】 ??1? ; I ? ??1? ? N , ?I N ? ??1? ?

【例2】已知全集 I ? {( x , y ) | x ? R , y ? R} , P ? {(1, 1)} ,表示 ?I P .
【考点】集合的基本运算? 【难度】1 星? ? 【题型】解答?

【答案】 ?I P ? {( x , y ) | ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 0} ? ?

【例3】若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | mx ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为(
A. 1 ? ? ? B. ?1 ? ? ? C. 1 或 ?1 ? ? ? D. 1 或 ?1 或 0 ? ? 【考点】集合的基本运算? 【关键词】无? 【难度】1 星? ? 【题型】选择?



?1? 【解析】当 m ? 0 时, B ? ? 满足 A ? B ? A ,即 m ? 0 ;当 m ? 0 时, B ? ? ? , ?m?
而 A ? B ? A ,∴ 【答案】D?
板块三? 集合的运算? 3/?15

1 ? 1 或 ?1,m ? 1 或-1;∴ m ? 1, ?1 或 0. m

【例4】若 A ? ?a, b? , B ? ? x | x ? A? , M ? ? A? ,求 ?B M .
【考点】集合的基本运算? 【关键词】无? 【难度】1 星? ? 【题型】解答?

【解析】 x ? A ,则 x ? ?, ?a? , ?b? , ?a, b? , B ? ??, ?a? , ?b? , ?a, b?? ,∴ ?B M ? ??, ?a? , ?b?? .
【答案】 ?B M ? ??, ?a? , ?b?? ? ?

【例5】已知 A ? { y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R} , B ? { y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 2, x ? R} ,则 A ? B 等于 ( ) A. ? ? ? ? ? ? ? B. {?1, 3} ? ? ? ? ? ? C. R ? ? ? ? ? ? D. [?1, 3] ? ? 【考点】集合的基本运算? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【解析】集合 A, B 均是由某些实数构成的,其构成元素并不是指自变量 x 的值,而是相应的 函数值 y .虽然 x 2 ? 4 x ? 3 ? ? x 2 ? 2 x ? 2 无实数解,但并不意味着集合 A 与 B 中没
2 2 ? 4 x0 ? 3 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 ,有可 有公共元素,仅仅表明不存在某一个实数 x0 ,使 x0

能存在实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,使得?
2 x12 ? 4 x1 ? 3 ? ? x2 ? 2 x2 ? 2 .? 换句话说,集合 A, B 指的是两个函数的值域,因此,?

由? y ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ( x ? 2)2 ? 1≥ ?1 知 A ? { y | y ≥ ?1} ;? 由? y ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ? ?( x ? 1)2 ? 3 ≤ 3 知 B ? { y | y ≤ 3} ? 所以 A ? B ? { y | ?1 ≤ y ≤ 3} ? ,故选 D? 【答案】D? ?

【例6】若 A ? ?1, 4, x? , B ? ?1, x 2 ? 且 A ? B ? B ,则 x ?
【考点】集合的基本运算? 【关键词】无? 【难度】2 星? ?


【题型】填空?

【解析】由 A ? B ? B 得 B ? A ,则 x 2 ? 4 或 x 2 ? x ,且 x ? 1 . 【答案】 0, 2, 或 ? 2 ? ?

【例7】若集合 M ? ?( x , y ) x ? y ? 0? , N ? ( x , y ) x 2 ? y 2 ? 0 , x ? R , y ? R , 则有 (
A. M ? N ? M ? ? ? B. M ? N ? N ? ? C. M ? N ? M ? ? ? D. M ? N ? ? ? ? 【考点】集合的基本运算? 【关键词】无? 【难度】2 星? ? 【题型】选择?

?

?



【解析】当 N ? (0,0) ? ?, N ? M . 【答案】A?

板块三? 集合的运算?

4/?15

【例8】已知集合 A ? ?a 2 , a ? 1, ?3? , B ? ?a ? 3, 2a ? 1, a 2 ? 1? ,若 A ? B ? ??3? ,求实数 a 的 值.
【考点】集合的基本运算? 【难度】2 星? ?
2

【题型】解答?

【解析】∵ A ? B ? ??3? ,∴ ?3 ? B ,而 a ? 1 ? ?3 , ∴当 a ? 3 ? ?3, a ? 0, A ? ?0,1, ?3? , B ? ??3, ?1,1? , 这样 A ? B ? ??3,1? 与 A ? B ? ??3? 矛盾; 当 2a ? 1 ? ?3, a ? ?1, 符合 A ? B ? ??3?
∴ a ? ?1 .? 【答案】 a ? ?1 ? ?

【例9】设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} ,B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} , 求 A ? B, A ? B .
【难度】 4? 【解析】 A ? {3, a} B ? {4, 1} 若 a ? 3 , A ? B ? {1, 3, 4} , A ? B ? ? ? 若 a ? 1 , A ? B ? {1, 3, 4} , A ? B ? {1} ? 同理? 若 a ? 4 ? , A ? B ? {1, 3, 4} , A ? B ? {4} ? 若 a ? 1 或 3 或 4 , A ? B ? {1, 3, 4, a} , A ? B ? ? .? ?

【例10】设集合 A ? {x | x 2 ? x ? 0}, B ? {x | x 2 ? x ? 0} ,则集合 A ? B ? (
A. 0 ? ? ? B. ?0? ? ? ? C. ? ? ? ? D. ??1,0,1? ? ? ? 【考点】集合的基本运算? 【解析】当 A ? ?0,1? , B ? ??1,0? 【答案】B? ? 【难度】2 星? ? 【题型】选择?



【例11】已知全集是 R , A ? {x | 3 ≤ x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ? 10} ,求 ?R ( A ? B) , (?R A) ? B
【考点】集合的基本运算? 【难度】2 星? ? 【题型】解答?

【答案】 ?R ( A ? B) ? {x | x ≤ 2或x ≥ 10} ; (?R A) ? B ? {x | 2 ? x ? 3或7 ≤ x ? 10} ?

【例12】设全集 U ? R , M ? ?m | 方程mx 2 ? x ? 1 ? 0有实数根? ,
N ? ?n | 方程x 2 ? x ? n ? 0有实数根? ,求 ? ?U M ? ? N .

【考点】集合的基本运算?

【难度】2 星? ?

【题型】解答?

1? ? 【答案】 (?U M ) ? N ? ? x | x ? ? ? 4? ? ?
板块三? 集合的运算? 5/?15

【解析】当 m ? 0 时, x ? ?1 ,即 0 ? M ;
1 当 m ? 0 时, ? ? 1 ? 4m ? 0, 即 m ? ? ,且 m ? 0 4 1 1? ? ∴ m ? ? ,∴ ?U M ? ?m | m ? ? ? 4 4? ?

而对于 N , ? ? 1 ? 4n ? 0, 即 n ?
1? ? ∴ (?U M ) ? N ? ? x | x ? ? ? . 4? ?

1 1? ? ,∴ N ? ?n | n ? ? 4 4? ?

【例13】已知 M ? ? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R? , N ? ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 8, x ? R? , 则 M ? N ? __________ .
【考点】集合的基本运算? 【关键词】无? 【难度】2 星? ? 【题型】填空?

2 (x ? 2) ? 1 ? ?1? ? ? ? 【解析】 M ? ? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R? ? ? y | y ? 2 N ? ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 8, x ? R? ? ? y | y ? ? (x ? 1 ) ? 9 ? 9? .?

【答案】 ? x | ?1 ? x ? 9? ? ? ?

【例14】已知 A ? {x | x ? 28m ? 20n , m , n ? Z} , B ? {x | x ? 12m ? 18n , m , n ? Z} ,则 A ? B 中最小的正整数是 _________.
【考点】集合的基本运算? 【难度】2 星? ? 【题型】填空? 【关键词】无? 【解析】∵ 28m ? 20n ? 4(7m ? 5n),12m ? 18n ? 6(2m ? 3n) ? ∴ A ? {x | x ? 4(7 m ? 5n) , m , n ? Z}; B ? {x | x ? 6(2m ? 3n) , m , n ? Z} ? 由此可知 A ? B 是由 12 的所有的整数倍数构成的集合,故 A ? B 中最小的正整数 是 12.? 拓展讲解: 1.当 m ? Z , n ? Z 时, 7m ? 5n 及 2m ? 3n 仍为整数,且 {x | x ? 7m ? 5n , m , n ? Z} ? ? {x | x ? 2m ? 3n , m , n ? Z} ? Z , 因 为 当 m ? ?2, n ? 3 时 , 7 m ? 5n ? 7 ? (?2) ? 5 ? 3 ? 1 ,? 即存在 m0 , n0 使 7m0 ? 5n0 ? 1 ,所以当 k ? Z 时, 7 ? (km0 ) ? 5 ? (kn0 ) ? k ,? 因此必有 {x | x ? 7 m ? 5n , m , n ? Z} ? Z .同理可得 {x | x ? 2m ? 3n , m , n ? Z} ? Z ? 2.进一步思考可得,对整数 a , b , 当 a 与 b 互质(即 (a , b) ? 1 )时,必存在相应的 整数 a0 , b0 ,? 使 a0 ? a ? b0 ? b ? 1 .? 【答案】12? ? ?

板块三? 集合的运算?

6/?15

?

?1 ? 【例15】设 A ? {x | 2 x 2 ? ax ? b ? 0} , B ? {x | 6 x 2 ? (a ? 2) x ? 5 ? b ? 0} ,若 A ? B ? ? ? ,求 ?2? A? B .
【考点】集合的基本运算? 【难度】2 星? ? 【关键词】无? 1 ?1 1 ? 【解析】把 代入得, A ? B ? ? , , ? 4? . 2 2 3 ? ? 【题型】解答?

?1 1 ? 【答案】 A ? B ? ? , , ? 4? ? ?2 3 ?

【例16】设 U ? R ,集合 A ? ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 0? ; 若 (?U A) ? B ? ? ,求 m 的值.
【考点】集合的基本运算? 【难度】2 星? ? 【关键词】无? 【解析】 A ? ??2, ?1? ,由 (?U A) ? B ? ? 得 B ? A , 【题型】解答?

当 m ? 1 时, B ? ??1? ,符合 B ? A ; 当 m ? 1 时, B ? ??1, ?m? ,而 B ? A ,∴ ?m ? ?2 ,即 m ? 2 ∴ m ? 1或 2 .
【答案】 m ? 1 或 2 ?

【例17】 x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| 时,a,b 的关系式是_________
【考点】集合的基本运算? 【关键词】无?
新疆 源头学子小屋
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x y =1,a>0,b>0},当 A∩B 只有一个元素 ? a b
【题型】填空?

特级教师 王新敞
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新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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【难度】2 星? ?

【解析】由 A∩B 只有 1 个交点知,圆 x2+y2=1 与直线 即 ab= a 2 ? b 2
【答案】ab= a 2 ? b 2 ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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ab x y , ? =1 相切,则 1= a b a 2 ? b2

新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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【例18】若集合 M ? ?( x, y ) x ? y ? 0? , N ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 0, x ? R , y ? R ,则有
A. M ? N ? M ? ? B. M ? N ? N ? ? C. M ? N ? M ? ? ? D. M ? N ? ? ?

?

?



【考点】集合的基本运算? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 【解析】一定注意集合所表示的几何意义,集合 M 表示一条直线,集合 N 表示原点.所

以选 A.
【答案】A? ?

板块三? 集合的运算?

7/?15

【例19】集合 A ? ? x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0? ,C ? ? x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0? 满足 A ? B ? ? , A ? C ? ? ,求实数 a 的值.
【考点】集合的基本运算? 【难度】3 星? ? 【题型】解答? 【解析】 B ? ?2,3? , C ? ??4, 2? ,而 A ? B ? ? ,则 2,3 至少有一个元素在 A 中,

又 A ? C ? ? ,∴ 2 ? A , 3 ? A ,即 9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 ,得 a ? 5 或 ?2 , 而 a ? 5 时, A ? B 与 A ? C ? ? 矛盾,∴ a ? ?2 .
【答案】 a ? ?2 ? ?

【例20】设 I ? R ,集合 A ? {x | x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0} , B ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0} ,
C ? {x | x 2 ? 2ax ? 2a ? 0} .若 A, B, C 中至少有一个不是空集,求实数 a 的取值

范围.
【考点】集合的基本运算? 【难度】3 星? ? 【题型】解答? 【解析】“若 A, B, C 中至少有一个不是空集”也就是对应的三个一元二次方程中至少有一

个有实根.根据一元二次方程的判别式理论分别讨论即可.
解? 对方程①: x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 ,? 3 1 当 ?1 ? (4a)2 ? 4 ? (3 ? 4a) ≥ 0 即 a ≤ ? 或 a ≥ 时,方程①有实根,此时 A ? ? .? 2 2 2 2 对方程②: x ? (a ? 1) x ? a ? 0 ? 1 当 ? 2 ? (a ? 1)2 ? 4 ? a 2 ≥ 0 ,即 ?1 ≤ a ≤ 时,方程②有实根,此时 B ? ? ? 3 2 对方程③: x ? 2ax ? 2a ? 0 ? 当 ?3 ? (2a)2 ? 4 ? (?2a) ? 0 ,即 a ≤ ?2 或 a ≥ 0 时,方程③有实根,此时 C ? ? ?

1 ? ?1 3? 3? ? ∵ ? ?? , ? ? ? ? , ?? ? ? ? ?1, ? ? ? ?? , ?2? ? ? 0, ?? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ?1, ?? ? ? 2? ?2 1? 2? ? 3 ∴当 a ≤ ? 或 a ≥ ?1 时,集合 A , B , C 中至少有一个不是空集.? 2 此题的易错点在于如何理解“集合 A , B , C 中至少有一个不是空集”,这并非指

因此对 ?1 ≥ 0, ? 2 ≥ 0, ? 3 ≥ 0 所得结果求公共部分 (即交 集合 A, B, C 皆非空集, 集)是错误的. 此题还可理解为“集合 A , B , C 中至少有一个不是空集”意指“集合 A , B , C 不全是空集”? 因此可先求出使 A, B, C 全是空集时 a 的取值范围:?
1 ? 3 ?? 2 ? a ? 2 ??1 ? 0 ? 3 1 ? 由? ?? 2 ? 0 ? ?a ? ?1或a ? ? ? 2 ? a ? ?1 ? 3 ?? ? 0 ? ? 3 ??2 ? a ? 0 ? ?

3 再求这个范围对应的集合的补集即得所求 a 的范围,所以 a ≤ ? 或 a ≥ ?1 .? 2 3 【答案】 a ≤ ? 或 a ≥ ?1 ? 2

板块三? 集合的运算?

8/?15

题型二 集合的运算律
【例21】下列表述中错误的是( ) A.若 A ? B ,则 A ? B ? A ? ? ? ? ? ? B.若 A ? B ? B ,则 A ? B ? C. ( A ? B) ? A ? ( A ? B) ? ? ? ? ? D. ?U ? A ? B ? ? ? ?U A? ? ? ?U B ? ?
? 【考点】集合的运算律? 【难度】1 星? ? 【解析】当 A ? B 时, A ? B ? A ? A ? B .? 【答案】C? 【题型】选择?

【例22】已 知 全 集 U ? {1, 2, 3, ? , 10} , A ? {1, 2, 3, 4, 5} , B ? {4, 5, 6, 7 , 8} ,
C ? {3, 5, 7 , 9}

求: A ? B , A ? B , A ? (?U B) , ?U A ? B , A ? ( B ? C ) ? ? 【考点】集合的运算律? 【难度】1 星? ? 【题型】解答? 【答案】 A ? B ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8} ; A ? B ? {4, 5} ;

A ? (?U B) ? {1, 2, 3} ; ?U A ? B ? {4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10} ;? A ? ( B ? C ) ? {1, 2, 3, 4, 5, 7} .?
?

【例23】若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( ⑴若 A ? B ? ? ,则 ? ?U A ? ? ? ?U B ? ? U ⑵若 A ? B ? U ,则 ? ?U A ? ? ? ?U B ? ? ? ⑶若 A ? B ? ? ,则 A ? B ? ? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个



【考点】集合的运算律? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 【解析】D;⑴ (?U A) ? (?U B) ? ?U ( A ? B) ? ?U ? ? U ;

⑵ (?U A) ? (?U B) ? ?U ( A ? B) ? ?U U ? ? ; ⑶证明:∵ A ? ( A ? B) ,即 A ? ? ,而 ? ? A ,∴ A ? ? ; 同理 B ? ? , ∴ A ? B ? ? .
【答案】D?

【例24】设集合 A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2, 3? , C ? ?2, 3, 4? ,则 (A ? B) ?C?
【考点】集合的运算律? 【解析】 A ? B ? ?1, 2? ? 【答案】 ?1, 2, 3, 4? ? ? 【难度】2 星? ? 【题型】填空?

板块三? 集合的运算?

9/?15

y ?3 ? ? 【例25】已 知 I ? {( x , y ) | x , y ? R} , A ? ?( x , y ) | ? 1? , B ? ?( x , y ) | y ? x ? 1? , 则 x?2 ? ?

?I ( A ? B) 等于(



A. ? ? ? ? ? ? ? B. {(2, 3)} ? ? ? ? ? ? C. (2 , 3) ? ? ? ? ? ? D. {2 , 3} ? ? 【考点】集合的运算律? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【解析】方法一 直接法 y ?3 ?1 ? y ? x ?1且 x ? 2 , ∵ x?2 ∴ A ? B ? {( x , y ) | y ? x ? 1 且 x ? 2} ?{( x , y ) | y ? x ? 1}

? ? x ? 2? ? ? ∴ ?I ( A ? B) ? ?( x , y ) | ? ? ? {(2, 3)} ,选 B. y ? 3 ? ? ? ? ? 方法二 排除法 观察两集合均为点坐标集,作集合运算后,仍为点坐标集或空集,故排除 C、D,经 分析后 ?I ( A ? B) 不为空集,即选 B.?
【答案】B?

【例26】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A ? B, ? U ( A ? B) .
【考点】集合的运算律? 【关键词】无? 【难度】2 星? ? 【题型】解答?

【解析】 在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示: A ? B ? {x | 3 ? x ? 5} , CU ( A ? B) ? {x | x ? ?1, 或x ? 9} , 【答案】 A ? B ? {x | 3 ? x ? 5} ; CU ( A ? B) ? {x | x ? ?1, 或x ? 9} ; 【例27】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1, 2,3? , C ? ?3, 4,5,6? ,求:
(1) A ? ( B ? C ) ;? ? (2) A ? ?A ( B ? C ) .? ? 【考点】集合的运算律? 【难度】2 星? ? 【解析】? A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5,6? .
(1)又? B ? C ? ?3? ,∴ A ? ( B ? C ) ? ?3? ; (2)又? B ? C ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 得 C A ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . ∴ A ? C A ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? .

A

A∩B

B

【题型】解答?

【答案】 (1) A ? ( B ? C ) ? ?3? ;
(2) A ? C A ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? ?

板块三? 集合的运算?

10/?15

【例28】已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N * } , A ? {2, 4,5,8} , B ? {1,3,5,8} ,求 CU ( A ? B) ,
CU ( A ? B) , (CU A) ? (CU B) , (CU A) ? (CU B) ,并比较它们的关系.

【考点】集合的运算律? 【难度】2 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? 【解析】法一:由 A ? B ? {1, 2,3, 4,5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {6, 7,9} .

?

? ? 由 A ? B ? {5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {1, 2,3, 4,6, 7,9} 由 CU A ? {1,3, 6, 7,9} , CU B ? {2, 4, 6, 7,9} , 则 (CU A) ? (CU B) ? {6, 7,9} ,

(CU A) ? (CU B) ? {1, 2,3, 4,6, 7,9} .
由计算结果可以知道, (CU A) ? (CU B ) ? CU ( A ? B) ,

(CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) .
法二:作出 Venn 图,如右图所示,由图形可以直接观察出来结果. 可用 Venn 图研究 (CU A) ? (CU B ) ? CU ( A ? B) 与 (CU A) ? (CU B ) ? CU ( A ? B) , 在理解的基础记住此结论,有助于今后迅速解决一些集合问题. 【答案】 CU ( A ? B) ? {1, 2,3, 4, 6, 7,9} . CU ( A ? B) ? {1, 2,3, 4, 6, 7,9} ,

(CU A) ? (CU B) ? {6, 7,9} , (CU A) ? (CU B) ? {1, 2,3, 4,6, 7,9} , (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ?
? y?2 ? 【例29】设全集 U ? ?( x, y ) x, y ? R? ,集合 M ? ?( x, y ) ? 1? , N ? ?( x, y ) y ? x ? 4? , x ?2 ? ?

那么 (?U M ) ? (?U N ) 等于________________.
【考点】集合的运算律? 【关键词】无? 【难度】2 星? ? 【题型】填空?

【解析】 ?? 2, ?2 ?? ; M : y ? x ? 4( x ? 2) , M 代表直线 y ? x ? 4 上,但是挖掉点 (2, ?2) ,
?U M 代表直线 y ? x ? 4 外,但是包含点 (2, ?2) ;

N 代表直线 y ? x ? 4 外, ?U N 代表直线 y ? x ? 4 上,
∴ (?U M ) ? (?U N ) ? ?(2, ?2)? .?
【答案】 (?U M ) ? (?U N ) ? ?(2, ?2)? ? ?

板块三? 集合的运算?

11/?15

【例30】下列表示图形中的阴影部分的是 A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) ? B. ( A ? B ) ? ( A ? C ) ? C. ( A ? B ) ? ( B ? C ) ?
D. ( A ? B ) ? C ? ? 【考点】集合的运算律? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【解析】设阴影部分表示的集合为 M ,由图可知, C ? M , A ? B ? M .





A B C
【答案】A? ? ?

【例31】设 全 集 I ? {x | x ≤ 20 且 x 为 质 数 } . 若 A ? ?I B ? {3, 5}, ?I A ? B ? {7 , 19} , 且
?I A ? ?I B ? {2, 17} ,求集合 A , B .

【考点】集合的运算律? 【关键词】无?

【难度】3 星? ?

【题型】解答?

【解析】法一:首先写出全集 I ,再利用元素与集合的关系 a ? ?I P ? a ? P 即可求出集合 A, B
? ? ? ? ? ?

I ? {2, 3, 5, 7 , 11, 13, 17 , 19} ,?
由 A ? ?I B ? {3, 5} 知 3, 5 ? A , 3, 5 ? ?I B ,即 3, 5 ? B ? 由 ?I A ? B ? {7 , 19} 知 7 , 19 ? B , 7 , 19 ? ?I A ,即 7 , 19 ? A ? 由 ?I A ? ?I B ? {2, 17} 知 ?I ( A ? B) ? {2, 17} ,所以 A ? B ? {3, 5, 7 , 11, 13, 19} . ? 由此可得 2, 17 ? ?I A 且 2, 17 ? ?I B ,即 2, 17 ? A 且 2, 17 ? B ?

∴ 3, 5 ? A , 2, 7 , 17 , 19 ? A ; 7 , 19 ? B , 2, 3, 5, 17 ? B .?
又 11, 13 ? A ? B ,且 11, 13 ? A ? ?I B , 11, 13 ? ?I A ? B ,?

∴ 11, 13 ? A ? B ,∴ A ? {3, 5, 11, 13}, B ? {7 , 11, 13, 19} .?

法二:通过维恩图求解: ? 如图所示,? Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分可分别表示为: A ? ?I B, A ? B, ?I A ? B, ?I ( A ? B) .?
? 由此不难得出全集 I ? ( A ? ?I B) ? ( A ? B) ? (?I A ? B) ? (?I ( A ? B)) ,?

板块三? 集合的运算?

12/?15

I II A IV

III

B

? ? ? 如果要证明这个式子就很繁琐了,这正好体现了直观图的优势.? ? 按此维恩图还可验证德?摩根定律:? ?I ( A ? B) ? ?I A ? ?I B, ?I ( A ? B) ? ?I A ? ?I B .? ? ? 如果利用维恩图,则可得 A ? B ? {11,13} ,再根据图示即可求出集合 A, B .? ? 结合集合的运算性质:? ? ⑴ 交换律: A ? B ? B ? A, A ? B ? B ? A ;?

⑵ 结合律: A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C ; A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C ;? ⑶ 分配律:A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ;A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; ? ⑷ 吸收律: A ? ( A ? B) ? A; A ? ( A ? B) ? A ;? .? ⑸ 对偶律: ?I ( A ? B) ? ?I A ? ?I B; ?I ( A ? B) ? ?I A ? ?I B (德?摩根定律) ? 由此可解此题: ?I A ? ?I A ? I ? ?I A ? ( B ? ?I B) ? (?I A ? B) ? (?I A ? ?I B) ? ?? ? ? ? {7 , 19} ? {2, 17} ? {2, 7 , 17 , 19} ?
∴ A ? {3, 5, 11, 13} ,同理可得 B ? {7 , 11, 13, 19} .? 【答案】 A ? {3, 5, 11, 13} B ? {7 , 11, 13, 19} .? ?

题型三 集合的元素个数
【例32】A= ? x ? x ? 1? ? 3 x ? 7? ,则 A ? Z 的元素的个数
2



【考点】集合的元素个数? 【答案】0?

【难度】2 星? ?

【题型】填空?

【例33】 A ? x ? Z 2 ? 2 2? x ? 8 , B ? ?x ?R log x x ? 1 ? , 则 A ? (C R B) 的元素个数为
A.0 【考点】集合的元素个数? 【答案】C? B.1 C.2 【难度】2 星? ? D.3 【题型】选择?

?

?

跳远和铅球测验成绩分别为及格 40 人和 31 人, 【例34】 50 名同学参加跳远和铅球测验,
2 项测验成绩均不及格的有 4 人, 2 项测验成绩都及格的人数是(



A. 35

B. 25

C. 28

D. 15

【考点】集合的元素个数? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【解析】B。 全班分 4 类人:设两项测验成绩都及格的人数为 x 人;仅跳远及格的人数

为 40 ? x 人;仅铅球及格的人数为 31 ? x 人;既不爱好体育又不爱好音乐的 人数为 4 人 .∴ 40 ? x ? 31 ? x ? x ? 4 ? 50 ,∴ x ? 25 . 【答案】B
板块三? 集合的运算? 13/?15

【例35】某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱 好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为
【考点】集合的元素个数? 【难度】2 星? ? 【题型】填空? 【关键词】无? 【解析】全班分 4 类人:设既爱好体育又爱好音乐的人数为 x 人;仅爱好体育

人.

的人数为 43 ? x 人;仅爱好音乐的人数为 34 ? x 人;既不爱好体育又不爱好音乐 的人数为 4 人 .∴ 43 ? x ? 34 ? x ? x ? 4 ? 55 ,∴ x ? 26 .
【答案】 26 ?

【例36】已知全集 I 中有 15 个元素,集合 M ? N 中有 3 个元素, ?I M ? ?I N 中有 5 个元 素, M ? ?I N 中有 4 个元素.则集合 N 中元素的个数(
A.3? ? ? ? ? ? ? ? ? B.4? ? ? ? ? ? ? ? ? C.5? ? ? ? ? ? ? ? ? D.6? ? 【考点】集合的元素个数? 【难度】2 星? ? 【题型】选择? 【关键词】无? 【解析】如图可知? I 5 ? ? 4 3 ? M N 【答案】D?



15

【例37】向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的
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五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另 外,对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。 问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
【考点】集合的元素个数? 【难度】3 星? ? 【题型】选择?

3 【解析】赞成 A 的人数为 50× =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 名学 5 生组成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体 为集合 B。

A 33-X X

B 33-X X 3

U

+1

板块三? 集合的运算?

14/?15

设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,

x +1, 3 赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x,
则对 A、B 都不赞成的学生人数为 赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x。 依题意(30-x)+(33-x)+x+(

x +1)=50, 3

解得 x=21。所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人。

X 3

在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实 掌握。 本题主要强化学生的这种能力。 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件, 想到用韦恩图直观地表示出来。 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂, 一时 理不清头绪,不好找线索。画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。 【答案】对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人 。? ? ?
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【例38】求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数 的自然数共有多少个?
【考点】集合的元素个数? 【难度】3 星? ? 【题型】解答? 【关键词】无? ? 【解析】如图先画出 Venn 图,不难看出不符合条件 的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5) -(200÷10)-(200÷6)-(200÷15) +(200÷30)=146 所以,符合条件的数共有 200-146=54(个)

3的倍数

2的倍数

5的倍数

分析 200 个数分为两类, 即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类, 而不满足 条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。 【答案】54。? ?

板块三? 集合的运算?

15/?15


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