当前位置:首页 >> 高二数学 >>

直线的倾斜角与斜率课件上课


问题情境 飞逝的流星沿不同 的方向运动

在空中形成美丽的直线
2

我们思考:?
知识回顾: 我们学过:y=x+1,它表示什么?
如何在平面直角坐标系内确定它的位置? y
1 -1

o

x

问题1:在直角坐标系下,确定一条直线的几何 要素有哪些? 过一点能不能确定一条直线?

问题1: 经过一点可以作出无数条直线?

y

o

.

x

确定直线位置的要 素除了点之外,还有直线 的方向,也就是直线的倾 斜程度.

一、直线的倾斜角:
1、定义:
y
当直线l与x轴相交时, 我们取x轴作为基准,x轴 o 正向与直线l向上方向之间 所成的最小正角角 ? 叫做直 线的倾斜角。

l

?
x

注意: (1) 直线向上方向; (2) x轴的正方向; (3)最小正角。

练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对? 如果不对,违背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?
x

o

? x

? o
(3)

?
x o (4) x

(1)

(2)

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y y

A
y

a
C D
x x o

x

o

o

a

B
y

a

o

x

a

按倾斜角分类,直线可分几类?
y o
y p

l x

o

?

p

l
x

y p o

l

y o p?

?

x

x

l

规定:1.当直线与x轴平行或重合时, ? ?0

0

? ? 90 2.当直线与x轴垂直时,

0

2、范围:

0 ? a ? 180
?

?

直线倾斜角的范围
规定:当直线和x轴平行或重合时, 它的倾斜角为0°
y o p

l
x

y p
o

l

y
o p

y

?

?x

?x

p

o

l x

l

由此我们得到直线倾斜角α的范围为:

o o ? ? [ 0 ,180 )

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾

斜角与它对应。



2、每一个倾斜角都对应于唯一的
一条直线。



问题2:生活中也有一些反映倾斜程度的量, 你知道有哪些量可以用来表示某一斜坡的倾 类似的,能否引进一个来刻画直 斜程度吗?
线的倾斜程度的量?

升 高 量 前进量

升高量 坡度(比) ? 前进量 (即为坡角的正切值)

类比坡度,引进一个刻画直线倾斜程度的 量——直线的斜率(直线倾斜角的正切值)

二、直线的斜率
定义:我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

k ? tan ? , ? ? ? 0 ,90 ? ? 90 ? ,180 ? ? ?
0

0

?

倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度

练习:已知直线的倾斜角,求直线的斜率:

3 ?1?a ? 30 ? k ? tan30 ? 3 ? ? ?2?a ? 45 ? k ? tan45 ? 1
?
?

?3?a ? 60 ? k ? tan60 ? 3 ? 180 ?120 ) ? ? ?4?a ? 120 ? k ? ? tan( ? ?5?a ? 150 ? k ? ? tan(180 ?150 ) ? ?
?
?
? ?
? ?

3
3 3

2、直线的斜率
一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。 斜率通常用k表示,即: (? ? 90 o )
K ? tan ?

k ? tan ?
?

k

- -

3? 2

?

?

?
2

1

?

-1

0

?

2

3? 2

? [0 , 90 )时,k随?增大而增大,且k ? 0 (2)当 ? ? (90 0 ,180 0 ) 时,k随? 增大而增大,且k<0
(1)当 ?
0 0

注意: ?

? 90 0 时, k 不存在

想一想

我们知道,两点也可以唯一确定一条直线。

问题3:如果知道直线上的两点,怎么样来求
直线的斜率(倾斜角)呢?

探究新知:由两点确定的直线的斜率

锐角
y
y2
y1

k ? tan ?
能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角时, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

想一想?



p1 p 2的位置对调时,k 值又如何呢?

y
P2 ( x2 , y2 )

P 1 ( x1 , y1 )

?

y

P 1 ( x1 , y1 )

Q( x1 , y2 )

? o

?

(3)

x

o

Q( x1 , y2 )

P2 ( x2 , y2 )

?

(4)

x

3、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2
P1 P1

P2

对公式的
深入理解
1、当直线平行于x轴,或与 x轴重合时, ? k ? tan0 ? 0 上述公式还适用吗?为什么?

? ?0

?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1
答:成立,因为分 子为0,分母不为0, K=0

x1 o

x2

x

对公式的
深入理解
2、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?

? ? 90 , tan90 (不存在)
? ?

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1
答:斜率不存在, 因为分母为0。

y1

o

x

y
o

?

p

l
x

y p
o

l

y
o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90°
k不存在

90°< ? <180° ? = 0°

k >0

k<0

k=0

例1:如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2), 求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些 直线的倾斜角是什么角?
y. 2?2 k AB ? ?0 解: B A . ?8? 4 . . . . . . . o ?2?2 ?4 1 x . k BC ? ? ?? 0 ? (?8) 8 2 C 2 ? (?2) 4 kCA ? ? ?1 4?0 4 ? k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零

? kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

? kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角

练习:已知P 1 (1,2), P 2 ( x,3), P 3 (?3,?1)在一条

直线上, 求x的值.
解: ? P 1, P 2, P 3在一条直线上

?kP1P2 ? kP2 P3
3 ? 2 ?1 ? 3 即 ? x ?1 ? 3 ? x

7 x? . 3

例2、在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4
y A3 A1 O A2

l3

l1

解:(待定系数法) 设直线上另一点A1(1,y)
y?0 ?1 ? 则:k ? 1? 0

y ?1

x

所以过原点和A1 (1,1) 画直线即可

A4 l 4

l2

说明:也可设其它特殊点

例 3 从 M ? 2 , 2 ?射出一条光线, 经过 x 轴反射

后过点 N( ? 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标
解:设P(x,0) 因为入射角等于反射角
y

? K MP ? ?K PN
2 3 ? 2?x 8? x

N(-8,3)
2 -2

M(2,2)
O
2

x

解得 x ? ?2

P

? 反射点 P ( ? 2 ,0 )

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?
4、斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

巩固与测试
1. 判断正误: ①因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有斜率。

( )

②因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平行于y轴的直线 的倾斜角不存在 ③直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大

( ) ( )
1 2 ,则

2.(填空题)已知

A(x,-2),B(3,0),且 k AB ?

x = ______ -1 .

3.(填空题)已知三点 A(-2,3),B(3,-4m),C( 1 在同一条直线上,则实数 m=_________. 2

1 2

,m)

作业: P86练习:2,3,4. P89习题3.1A组:3,4,5. P90习题3.1B组:5,6.


相关文章:
直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率 - 《直线的倾斜角和斜率》教学设计 教师学科 数学 胡跃源 授课 年级 教龄 高二 8年 课题 学校 贵州省实验中学 直线的倾斜角和斜率 本课是...
直线的倾斜角和斜率教学设计
直线的倾斜角和斜率教学设计 - 《直线的倾斜角和斜率》教学设计 教师 学科 数学 课题 教龄 学校 直线的倾斜角和斜率 本课是北师大版数学必修二第二章第一节...
直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率 - 3.1.1 直线的倾斜角和斜率 【教学目标】 1.知识与技能:理解直线倾斜角与斜率的概念;掌握直线斜率计算公式及初步运 用。 2.过程与方法:...
直线的倾斜角与斜率(教学设计)_图文
直线的倾斜角与斜率(教学设计)_数学_高中教育_教育专区。2014 年全国中职学校“...通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节,课上再通过 ppt、...
《直线的倾斜角和斜率》说课稿
直线的倾斜角和斜率》说课稿 - “直线的倾斜角和斜率”说课稿 我说课的题目是人教版数学必修 2 第三章第一节直线的倾斜角与斜率,我 把说课内容分成教材分析...
直线的倾斜角和斜率
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 专业资料 ...直线的倾斜角和斜率_数学_自然科学_专业资料。直线倾斜角 斜率 初中 高中 数学...
《解析几何》课题:直线的倾斜角和斜率(一)(1课时)
《解析几何》课题:直线的倾斜角和斜率(一)(1课时) - 高三数学学案 第 18 周第 01 次 课题:直线的倾斜角和斜率(一)(1 课时 总 097 课时) 备课时间:2016...
直线的倾斜角和斜率课例
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...直线的倾斜角和斜率课例_高二数学_数学_高中教育_教育专区。普通高中课程标准实验...
直线的倾斜角和斜率优质课比赛说课稿 精品
直线的倾斜角和斜率优质课比赛说课稿 精品 - 说课 高中数学必修二 3.1.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率》说课稿 课题:人教 A 版必修二,第三章第...
《直线的倾斜角和斜率》教案与说课稿
搜试试 7 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...《直线的倾斜角和斜率》教案与说课稿_数学_高中教育_教育专区。7.1 直线的...
更多相关标签: