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等比数列(复习课)


等比数列(复习课) 等比数列(复习课)
理解等比数列的概念; 一.教学基本要求: ① 理解等比数列的概念; ② 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和 教学基本要求: 公式及应用 ③ 了解等比数列与指数函数的关系 发展要求: 掌握等比数列的典型性质及应用。 发展要求:①掌握等比数列的典型性质及应用。②能用类比观点推导等比数列的 性质 二.教学过程 、知识回顾 (1) 知识回顾 ) 、 等比数列的概念、 等比数列的概念、有关公式和性质 ( 学生可以根据左边等差数列的性质运用类比思想然后分组讨论得出右边等比数列的性质 学生可以根据左边等差数列的性质运用类比思想然后分组讨论得出右边等比数列的性质) { a n }为等差数列 { a n }为等比数列

定义

an +1 an = d (d 为常数) ( n ∈ N )
d 为公差

an +1 = q (q为常数且q ≠ 0) n ∈ N ) ( an
q 为公比

通项公 式

a n = a1 +(n-1)d
= a k +(n-k)d

an = a1q n 1 =

a1 n q = ak q n k q

求和公 式

sn =

n(a1 + an ) n(n 1) = na1 + d 2 2
a+b 2

q = 1 时, sn = na1

q ≠ 1时 sn =

a1 (1 q n ) a1 an q = 1 q 1 q
2

中项公 式

a,A,b 成等差,则 A=

a,A,b 成等比,则 G = ab 。 推广: an = an 1 an +1 n ≥ 2) (
2

推广: an = an 1 + an +1 n ≥ 2) (

数列与 函数关 系

a n = dn + a1 -d (一次函数)
sn = d 2 d n + (a1 )n (常数项为 0 的 2 2
二次函数) m+n=p+q 则 a m + a n = a p + a q

an = a1q n 1 =

a1 n q q

sn =

a1 (1 q n ) a a = 1 1 q n = A Aq n 1 q 1 q 1 q

1
性 质

m+n=p+q,则 a m a n = a p a q 。

2

a k , a k + m , a k + 2m ,L 为等差数列;且公差
为 . s n , s 2 n s n , s 3 n s 2 n 成等差数列。

a k , a k + m , a k + 2m , LL 为等比数列; 且公比为
_______.

3

s n , s 2 n s n , s 3n s 2 n 成等比数列。

(2)例题讲解 )

1 基础训练题 基础训练题作用:通过基础训练题巩固等比数列的通项公式,求和公式及性质 处理方式:让学生先做好,学生评论,老师小结 3 9 * 数列的首项与公比 与公比. (1)等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ( n ∈ N ) ,若 a 3 = , S 3 = ,求数列的首项与公比 ) 2 2
(2)在等比数列 {a n } 中, a n > 0 ,且 a1 + a 2 = 1, S 4 = 10 ,则 a 4 + a 5 =( ) ) A.16 . B.27 B. C.36 C. D.81 D.

是递增的等比数列, (3)②设 {an } 是递增的等比数列, a1 + a n = 66, a 2 a n 1 = 128 ,前n项和 Sn=126, ) , 求 n 和公比 q. (4)等比数列中,q=2,S99=77,求 a 3 + a 6 + L + a 99 ; )等比数列中, = , , 满足: (5).已知数列 {a n } 满足: a1 = 2, a n +1 = 2a n + 1 ; ) 已知数列 是等比数列; (2) 项和。 (1)求证:数列 {a n + 1} 是等比数列; )求数列 {a n } 的前 n 项和。 )求证: ( 分析小结: (1 学生小结) 题 1 分析小结: 1)利用等比数列求和公式一定注意分公比 q=1 或 q ≠ 1 (学生小结) ( 学生小结 避免分类讨论(老师归纳) (2)处理技巧:可直接利用 s3 = a1 + a2 + a3 避免分类讨论(老师归纳) )处理技巧:可直接利用 分析小结:根据学生不同做法进行比较,归纳用整体思想进行代入计算比较简单( 题 2 分析小结:根据学生不同做法进行比较,归纳用整体思想进行代入计算比较简单(老 师归纳) 师归纳) 分析小结: 题 3 分析小结:根据题目特点确定应用相应的公式 分析小结:本题可进行分层教育,方法( 题 4 分析小结:本题可进行分层教育,方法(1)采用通性通法直接利用用公式适合大部分 学生都能入手做,方法( 学生都能入手做,方法(2)利用性质整体代入简化计算适合基本功较扎 分析小结:通过此例题使学生掌握等比数列证明的一般方法, (2 题 5 分析小结:通过此例题使学生掌握等比数列证明的一般方法, 2)小题有承上起下作 ( 用为下节课作准备。 用为下节课作准备。

2 能力提高题 根据高考对数列内容要求,结合近几年的高考题让学生了解高考题中涉及数列 根据高考对数列内容要求,结合近几年的高考题让学生了解高考题中涉及数列 的重点和考试模式,进一步提高学生学生分析应用知识的能力 的重点和考试模式, 1 1(08 浙江)已知 {a n } 是等比数列,a 2 = 2,a 5 = ,则 a1 a 2 + a 2 a3 + L + a n a n +1 =( ) 是等比数列, ( 浙江) ( 4
n (A)16(1 4 ) ) ( n (B)16(1 2 ) ) (

(C) )

32 n (1 4 ) 3
n

(D) )
2 2

32 n (1 2 ) 3
2

2.数列{ a n }的前 n 项和 S n = 2 1, 则a1 + a 2 + L + a n = .数列 的前 A. ( 2 n 1) 2 . 3.在等比数列 在等比数列 B. ( 2 1) .
n

( D. ( 4 1) .
n



1 3

C. 4 n 1 . =

1 3

{a n }

中,若

a1 + a 2 = 40, a3 + a 4 = 60, 则a 7 + a8





A.100 .

B.80 .

C.95 .

D.135 .

4(2007 陕西)各项均为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 S10=2,S30=14,则 ( 陕西) =14,则

S40

等于( 等于(
(A)80


(B)30 (C)26 (C)26 (D)16 )

5.等比数列 {an } 中, n > 0 且 a5 a6 = 81 , log 3 a1 + log 3 a2 + LL + log 3 a10 的值是 等比数列 a 则 ( A.20 . 6. 在 等 比 数 列 B.10 . C. 5 . D.40 .

{a n } 中 , 若

a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 =

31 1 , a3 = , 16 4



1 1 1 1 1 =_________________。 + + + + 。 a1 a 2 a 3 a 4 a5
3.思考题:课后对小部分数学成绩较好同学有进一步提高作用 .思考题: 成等比数列, 1.已知等差数列 n}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 已知等差数列{a 的公差 ≠ , 已知等差数列

a1 + a3 + a9 的值是 a 2 + a 4 + a10


2.设 f ( n) = 2 + 2 4 + 27 + 210 + L + 23n +10 ( n ∈ N ) ,则 f ( n) 等于( (A)

数列{an }中,a1 = 2, a2 = 3, 且数列 (2)求证 {bn } 是等比数列 (1)求a3 , a4的值

2 n 2 (8 1) (B) (8n+1 1) 7 7

(C)

{an an +1} 是以3为公比的等比数列,设bn = a2 n1 + a2 n (n ∈ N )

2 n+3 2 (8 1) (D) (8n+ 4 1) 7 7

4.小结 .

1。定义 。

an +1 = q (q为常数且q ≠ 0) n ∈ N )q 为公比 ( an

2.通项公式 a = a q n 1 = a1 q n = a q n k n 1 k

q

3.求和公式 q = 1 时, sn = na1

q ≠ 1时 sn =
5.板书设计: .板书设计: 1 定义 2 通项公式 3.求和公式 求和公式 4 性质 等比数列 例1 例2

a1 (1 q n ) a1 an q = 1 q 1 q

例4 例5

归纳小结

6.课后练习(作业) .课后练习(作业) 1.已知等比数列 {an } 满足 a1 + a2 = 3,a2 + a3 = 6 ,则 a7 = ( .



A.64 . B.81 C.128 D.243 . . . 2、 在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a 2 a3 a 4 a5 a 6 a 7 a8 a 9 ( ) 、 在等比数列{ ) , , A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

3.在等比数列 {an } n ∈ N 中,若 a1 = 1, a4 = 在等比数列 A. 2 .

(

)

1 28

B. 2

1 29

1 项和为( ,则该数列的前 10 项和为( ) 8 1 1 C. 2 10 D. 2 11 2 2

1 ,则公比 q=( ) 则公比 ( 4 1 1 (A) (B)-2 (C)2 (D) 2 2 5.已知等比数列 {an } 满足 a1 + a2 = 3,a2 + a3 = 6 ,则 a7 = ( .
4 已知 n}是等比数列,a2=2,a5= 已知{a 是等比数列 是等比数列,



A.64 . B.81 C.128 D.243 . . . 6、在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a 2 a3 a 4 a5 a 6 a 7 a8 a 9 ( ) 、在等比数列{ , , A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

成等差数列, 7.已知等比数列 {a n } 的公比为 q (q ∈ R ) ,其前 n 项和为 S n ,若 S 3 , S 9 , S 6 成等差数列,则 .

q 3 等于( 等于(
A. .

) B.1 . C. .

1 1 D. 1 或 或1 2 2 8、等比数列 {a n } 中,已知 a1 + a 2 + a3 + a 4 = 10, a 5 + a 6 + a 7 + a8 = 5 ,则数列 {a n } 的 、
前 16 项和 S16 为 A.- .-50 .- B. .

1 2

25 4

C. .

125 4

D. .

25 4

是由正数组成的等比数列, a a … a a … 9. 设{an}是由正数组成的等比数列, 是由正数组成的等比数列 公比 q=2, a1 2 3 a30=230, , 且 那么 a3 6 9 a30 等于 B.220 C.216 D.215 A.210 10 在数列 {a n } 中, a n +1 = ca n ( c 为非零常数) 且前 n 项和为 S n = 3 + k ,则 k 等于 为非零常数) ,且前 ,
n

A.0 .

B.1 .

C.-1 .

D.2 .

12 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn = pn2 2n + q( p, q ∈ R), n ∈ N 的值; (1)求 q 的值; ) 求数列的{ (2)若 a1 与 a5 的等差中项为 18, bn 满足 an = 2 log 2 bn ,求数列的 bn }前 n 项和 ) , 前 项和.

选做题(部分同学可不做) 选做题(部分同学可不做) 13 已知数列 {a n }的前n项和为S n , 且2a n = S n + 1. 的通项公式; (I)求数列 {a n } 的通项公式; ) (2) Tn 为数列 { ) 设

1 m4 }的前n项和, 若对于n ∈ N * , 总有Tn < 成立, 其中m ∈ N * , an 3

的最小值。 求 m 的最小值。

等比数列(复习课) 等比数列(复习课)学案
理解等比数列的概念; 掌握等比数列的通项公式与前 一.基本要求: ① 理解等比数列的概念; ② 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 基本要求: 及应用 ③ 了解等比数列与指数函数的关系 发展要求: 掌握等比数列的典型性质及应用。 发展要求:①掌握等比数列的典型性质及应用。②能用类比观点推导等比数列的 性质 二.教学过程 、知识回顾 (1) 知识回顾 ) 、 等比数列的概念、 等比数列的概念、有关公式和性质 { a n }为等差数列 定义 { a n }为等比数列

an +1 an = d (d 为常数) ( n ∈ N )
d 为公差

通项公 式 求和公 式 中项公 式

a n = a1 +(n-1)d
= a k +(n-k)d

sn =

n(a1 + an ) n(n 1) = na1 + d 2 2 a+b a,A,b 成等差,则 A= 2
推广: an = an 1 + an +1 n ≥ 2) (

数列与 函数关 系

a n = dn + a1 -d (一次函数)
sn = d 2 d n + (a1 )n (常数项为 0 的 2 2
二次函数) m+n=p+q 则 a m + a n = a p + a q

1
性 质

2

a k , a k + m , a k + 2m ,L 为等差数列; 公差
为 . s n , s 2 n s n , s 3 n s 2 n 成等差数列。

3

1 基础训练题
(1)等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ( n ∈ N ) ,若 a 3 = )
*

3 9 , S 3 = ,求数列的首项与公比 数列的首项与公比. 的首项与公比 2 2

(2)在等比数列 {a n } 中, a n > 0 ,且 a1 + a 2 = 1, S 4 = 10 ,则 a 4 + a 5 =( ) ) A.16 . B.27 B. C.36 C. D.81 D.

是递增的等比数列, (3)②设 {an } 是递增的等比数列, a1 + a n = 66, a 2 a n 1 = 128 ,前n项和 Sn=126, ) , 求 n 和公比 q. (4)等比数列中,q=2,S99=77,求 a 3 + a 6 + L + a 99 ; )等比数列中, = , , 满足: (5).已知数列 {a n } 满足: a1 = 2, a n +1 = 2a n + 1 ; ) 已知数列 是等比数列; (2) 项和。 (1)求证:数列 {a n + 1} 是等比数列; )求数列 {a n } 的前 n 项和。 )求证: (

2 能力提高题
1(08 浙江)已知 {a n } 是等比数列,a 2 = 2,a 5 = ( 浙江) 是等比数列,
n (A)16(1 4 ) ) (

1 ,则 a1 a 2 + a 2 a3 + L + a n a n +1 =( ( 4



n (B)16(1 2 ) ) (

(C) )

32 n (1 4 ) 3
n

(D) )
2 2

32 n (1 2 ) 3
2

2.数列{ a n }的前 n 项和 S n = 2 1, 则a1 + a 2 + L + a n = .数列 的前 A. ( 2 n 1) 2 . 3.在等比数列 在等比数列 A.100 . B. ( 2 1) .
n

( D. ( 4 1) .
n



1 3

C. 4 n 1 .

1 3

{a n } 中,若 a1 + a 2 = 40, a3 + a 4 = 60, 则a 7 + a8 =
中,若 B.80 . C.95 . D.135 .





4(2007 陕西)各项均为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 S10=2,S30=14,则 ( 陕西) =14,则

S40

等于( 等于(
(A)80


(B)30 (C)26 (C)26 (D)16 (D)16 )

5.等比数列 {an } 中, n > 0 且 a5 a6 = 81 , log 3 a1 + log 3 a2 + LL + log 3 a10 的值是 等比数列 a 则 ( A.20 . 6. 在 等 比 数 列 B.10 . C. 5 . D.40 .

{a n } 中 , 若

a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 =

31 1 , a3 = , 16 4



1 1 1 1 1 =_________________。 + + + + 。 a1 a 2 a 3 a 4 a5
7.在正项等比数列 {an } 中, 3 、 7 是方程2x 2 7x +6= 0 的两个根, a40 a50 a60 的值为 在正项等比数列 a a 的两个根, 则 ( B.64 C. ±64 D.256 2 变 1: 在等比数列 {a n } 中, 若 a 3 、 a 7 是方程2x 7x +6= 0 的两根, A.32
则 a5 的值为 ( ) ) )

A.3 B.±3 C. 3 D.± 3 2 的两个根, 变 2: 等比数列{an}中,a3,a9 是方程2x 7x +6= 0 的两个根,则 a6=( A.3 B.±3 C.± 3 D.以上皆非
2

的等比数列, 的两根, 变 3: { a n }为公比 q>1 的等比数列, a 2004 和 a 2005 是方程 4 x + 8 x + 3 = 0 的两根, 设 为公比 若 则 a 2006 + a 2007 = _____.

3.思考题
成等比数列, 1.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 2.设 2.设 f ( n) = 2 + 2 + 2 + 2 + L + 2
4 7 10 3 n +10

a1 + a3 + a9 的值是 a 2 + a 4 + a10

( A)

2 n 2 (8 1) (B) (8n+1 1) 7 7

(n ∈ N ) ,则 f (n) 等于( ) 等于( 2 n+3 2 n+ 4 (C) (8 1) (D) (8 1) 7 7

3. 数列{an }中,a1 = 2, a2 = 3, 且数列
(2)求证 {bn } 是等比数列 (1)求a3 , a4的值

{an an +1} 是以3为公比的等比数列,设bn = a2 n1 + a2 n (n ∈ N )

教学反思: 教学反思:
一.不足之处:1。对等比数列定义分析还比够透彻,应配上相应的 不足之处: 。对等比数列定义分析还比够透彻, 例题更有利于学生的理解 2.例题的难易程度安排的次序还不够恰当,课堂上讲练 .例题的难易程度安排的次序还不够恰当, 时间搭配还不够好,导致整节课安排稍有点紧。 时间搭配还不够好,导致整节课安排稍有点紧。

二.获益之处:1 课前通过备课组讨论使本人对例题选择和设计有了 获益之处: 课前通过备课组讨论使本人对例题选择和设计有了 更好的针对性。 从而对课堂内容把握能做到游刃有余 更好的针对性。 2 课后组内老师对我提出的不足之处及如何改正使我收 益匪浅同时更明确了以后努力的方向, 益匪浅同时更明确了以后努力的方向, 对我的肯定使我 有了更多的自信。 有了更多的自信。 希望以后能有机会多参加这样的活动不断提高自己的教 学水平。 学水平。

鄞州高级中学教研组公开课评课记录表
教研组 课题 上课时间 上课教师 2009 5 月 金忠莲 30 日 数学 人数 14 等比数列 上课班级 评课时间 2009 高二(9) 年 5 月 30 日 教研组长 徐青

1. 通过类比思想让学生分组讨论后由等差数列性质得出等比数列性质。 . 通过类比思想让学生分组讨论后由等差数列性质得出等比数列性质。 教学设想 2. 通过基本训练题设计加强学生对公式掌握的熟练程度和灵活运用能力及综 . 合分析能力,同时培养学生解题的完整性和提高学生运算能力和解题技巧。 合分析能力,同时培养学生解题的完整性和提高学生运算能力和解题技巧。 1. 对等比数列定义分析不够透彻,应配上相应的例题更有利于学生理解 . 对等比数列定义分析不够透彻, 教学反思 2. 例题难易程度安排得稍欠恰当点,课堂上时间掌握得不够自如。 . 例题难易程度安排得稍欠恰当点,课堂上时间掌握得不够自如。

何高飞: 何高飞:1 一.堂复习课按照有效课堂基本模式 堂复习课按照有效课堂基本模式 3. 创设情景, . 创设情景, 从等差入手奠定基础, 基础知识复习用类比, 对比的学习方式, 从等差入手奠定基础, 基础知识复习用类比, 对比的学习方式, 加深对基础知识的印象,联系区别学习,3 基础训练进一步巩固对易错, 加深对基础知识的印象,联系区别学习, 础训练进一步巩固对易错, 能力提高: 易疏忽的地方加深印象 4.能力提高:拓展学生思维,对能力要求展开分析 能力提高 拓展学生思维, 4. 小结并设置具有针对性的作业练习。 . 小结并设置具有针对性的作业练习。

叶琪飞:得到很好启示: 叶琪飞:得到很好启示: 1. 旧知识并非一一罗列,类比等差数列,合情推理细节把握很精巧 . 旧知识并非一一罗列,类比等差数列, 教师评课 2. 性质设疑培养数学严谨性的载体 . 3. 习题搭配精致,顺学生思路,不点破再由学生纠正错误。最后一例用整体 . 习题搭配精致,顺学生思路,不点破再由学生纠正错误。 代换思想 4. 等比数列前 n 项求和公式得出能回归课本 . 项求和公式得出能回归课本.


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