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上海交大附中高一年级第一学期期末考试数学试题


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上海交通大学附属中学 2008-2009 学年度第一学期 高一数学期末试卷
一、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 1、 已知全集 U={0,1,2,3}且 ? U A ={2},则集合 A 的真子集共有________个。 解: (期中考试第 1 题)A={0,1,3},∴集合 A 的真子集共有 23-1=7 个。▋
2、 已知 a>1,则不等式 a+
2 的最小值为___________。 a ?1

解: a+

2 2 2 2 =a-1+ +1≥1+2 2 , 当且仅当 a-1= , a=1+ 2 时等号成立。 即 ∴不等式 a+ a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

的最小值为 1+2 2 。▋
3、 不等式
6 > 1 的解集为___________。 x+2 6 6 4?x > 1 ,∴ ?1 = > 0 ,∴(x-4)(x+2)<0, x+2 x+2 x+2

解: (不等式单元测验第 17 题)∵ ∴解集为(-2,4)。▋

4、 已知 f(x)=x2+4x-6,若 f(2m)>f(m+1),则实数 m 的取值范围是___________。 5 解:(2m)2+4(2m)-6>(m+1)2+4(m+1)-6,∴3m2+2m-5>0,∴m∈(-∞, ? )∪(1,+∞)。▋ 3 5、 函数 f(x)=-x2+2(a-1)x+2 在(-∞,4)上为增函数,则 a 的范围是__________。

解: (函数性质单元测验第 8 题)对称轴 x=a-1≥4,∴a≥5。▋
1 6、 幂函数 y=f(x)的图像经过点( ,2),则 f(x)=__________。 8
1 ? 1 1 解:设 f(x)=xk,∴ ( ) k = 2 ,∴ k = log 1 2 = ? ,∴ f ( x) = x 3 。▋ 8 3 8

7、 函数 f(x)= 1 + 2 x ,反函数为 y= f ?1 ( x) ,则 f ?1 (9) =__________。

解:设 f ?1 (9) =a,∴f(a)=1+2a=9,∴a=3,即 f ?1 (9) =3。▋
8、 已知 log23=m,试用 m 表示 log 6 9 =___________。

解: log 6 9 =

log 2 9 2log 2 3 2m = = 。▋ log 2 6 1 + log 2 3 1 + m

9、 函数 y= ln(4 ? x) 的定义域为__________。

解:ln(4-x)≥0,∴4-x≥1,∴x≤3,∴函数的定义域为(-∞,3]。▋ (按四舍五入精确到 10、 已知函数 f(x)=2x,它的反函数为 y= f ?1 ( x) ,则方程 f(x)+ f ?1 ( x) =0 的解是______。
0.1) (提示:利用二分法)

解:2x+log2x=0,x=0.4。▋

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11、 函数 y=-2x +4x-1(x∈[0,3])的最大值是 M,最小值是 m,则 M-m=__________。 ,m=-7(当 x=3 时) , 解: (一课一练 P80/7)y=1-2(x-1)2,∴M=1(当 x=1 时) ∴M-n=8。▋
x ∈ [0,1] ?1 12、 已知函数 f(x)= ? ,则不等式 f[f(x)]>0 的解集为________。 ? x ? 3 x ? [0,1]

解:[0,1]∪[3,4]∪(6,+∞)。▋

二、选择题: (本大题共 4 题,每题 3 分,满分 12 分)
13、 原命题“若 A∪B≠B,则 A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是 ( )

(A) 0 个

(B) 1 个

(C) 2 个

(D) 4 个

解: (集合单元测验第 3 题)否命题: “若 A∪B=B,则 A∩B=A”为真命题;逆否命题: “若 A∩B=A, 则 A∪B=B”为真命题。因此逆命题与原命题也为真命题。∴选(D)。▋
14、若 a<b<0,则下列关系中不能成立的是 ( )

(A)

1 1 > a b

(B)

1 1 > a?b a

(C) |a|>|b|

(D) a2>b2

解:取 a=-2,b=-1,∴ 选(B)。▋

1 1 1 = ?1 < ? = ,∴(B)不能成立。其余(A)、(C)、(D)都能证明,证明略。∴ a?b 2 a

y

y

y O x

y O x

O (A)
15、 函数 f(x)=

x (B)
x ?1 的大致图像是 x?2

O

x (C)
(

(D)
)

解: (课本 P81-82 例 4)f(x)= 选(A)。▋

x ?1 1 1 =1+ ,可由函数 y = 右移 2 个单位再上移 1 个单位而得。∴ x?2 x?2 x

16、 下列对数运算中,一定正确的是

(

)

(A) lg(M+N)=lgM·lgN (C) lnMn=nlnM

(B) lg(M·N)=lgM+lgN (D) logab=
lg b lg a

解:(A)显然错误;取 M=-2,N=-1,发现(B)不成立;取 M=-2,n=2,发现(C)不成立;(D)一定正确。 ∴选(D)。▋ 三、解答题: (本大题共 5 题,满分 40 分)
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17、 (本题满分 6 分)
?| x ? 2 |< 3 解不等式组 ? 2 (答案用区间表示) 。 ? x ? 4 x + 3≥ 0

解:|x-2|<3,∴-3<x-2<3,∴x∈(-1,5)。 x -4x+3=(x-1)(x-3)≥0,∴x∈(-∞,1]∪[3,+∞)。 ∴原不等式组的解集为(-1,1]∪[3,5)。▋
2

…2 分 …2 分 …2 分

18、 (本题满分 6 分)

已知全集 U=R, 集合 A={x∣x≤a-1}, 集合 B={x∣x>a+2}, 集合 C={x∣x<0 或 x≥4}。 ? U ( A U B) ? C , 若 求实数 a 的取值范围。 解: (练习册 P11 第 8 题) 显然 a-1<a+2,∴ ? U ( A U B) =(a-1,a+2], 为使 ? U ( A U B) ? C 成立,∴①a+2<0,解得 a<-2; ②a-1≥4,解得 a≥5。 综上,∴a∈(-∞,-2)∪[5,+∞)。▋ …2 分 …2 分 …2 分

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19、 (本题满分 8 分,其中第一小题满分 4 分,第二小题满分 4 分) 小张在淘宝网上开一家商店,他以 10 元每条的价格购进某品牌积压围巾 2000 条。定价前,小 张先搜索了淘宝网上的其它网店,发现:A 商店以 30 元每条的价格销售,平均每日销售量为 10 条; B 商店以 25 元每条的价格销售,平均每日销售量为 20 条。假定这种围巾的销售量 t(条)是售价 x (元) (x∈Z+)的一次函数,且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响。 (1)试写出围巾销售每日的毛利润 y(元)关于售价 x(元) (x∈Z+)的函数关系式(不必写出定义 域) ,并帮助小张定价,使得每日的毛利润最高(每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的 差价) ; (2)考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为 200 元/天(只要围巾没有售完,均须支付 200 元/天,管 理、仓储等费用与围巾数量无关) ,试问小张应该如何定价,使这批围巾的总利润最高(总利润=总毛利润 -总管理、仓储等费用)?
? k ? 30 + b = 10 解:设 t=kx+b,∴ ? ,解得 k=-2,b=70,∴t=70-2x。 ? k ? 25 + b = 20

…1 分 …1 分 …2 分

(1)y=(x-10)·t=(x-10)·(70-2x)=-2x2+90x-700, ∵
90 1 = 22 + ,∴围巾定价为 22 元或 23 元时,每日的利润最高。 2?2 2

(2)设售价 x(元)时总利润为 z(元) , ∴z=2000·(x-10)-200·
2000 70 ? 2x
100 100 ))≤2000·(25- 2 (35 ? x) ? )=10000 元。 x ? 35 35 ? x

…1 分 …1 分 …1 分 …1 分

=2000·(25-((35-x)+

当 35-x=

100 时,即 x=25 时,取得等号。 x ? 35

∴小张的这批围巾定价为 25 元时,这批围巾的总利润最高。▋

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20、 (本题满分 10 分,其中第一小题满分 3 分,第二小题满分 4 分,第三小题满分 3 分)
1 1 1 给出集合 A={-2,-1, ? , ? , ,1,2,3}。已知 a∈A,使得幂函数 f(x)=xa 为奇函数;指数函 2 3 2

数 g(x)=ax 在区间(0,+∞)上为增函数。 (1)试写出所有符合条件的 a,说明理由; (2)判断 f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明; (3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)]。 解: 1)a=3。 (
x

…1 分

∵指数函数 g(x)=a 在区间(0, ∞)上为增函数, >1, 只可能为 2 或 3。 + ∴a ∴a 而当 a=2 时, 幂函数 f(x)=x2 为偶函数,只有当 a=3 时,幂函数 f(x)=x3 为奇函数。 (只需简单说明理由即可,无需与答案相同) …2 分

(2)f(x)=x3 在(0,+∞)上为增函数。 证明:在(0,+∞)上任取 x1,x2,x1<x2,
3 2 f(x1)-f(x2)= x13 ? x2 = ( x1 ? x2 )( x12 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 ? x2 )[( x1 +

…1 分

1 2 3 2 x2 ) + x2 ] , 2 4

∵x1<x2,∴x1-x2<0, ( x1 +

1 2 3 2 x2 ) + x2 >0,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2)。 2 4

∴f(x)=x3 在(0,+∞)上为增函数。

…3 分

(3)f[g(x)]=(3x)3=33x,g[f(x)]= 3x ,∴33x= 3x , 根据指数函数的性质,得 3x=x3,∴x1=0,x2= 3 ,x3= ? 3 。▋

3

3

…2 分 …1 分

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21、 (本题满分 10 分,其中第一小题满分 3 分,第二小题满分 4 分,第三小题满分 3 分) 集合 Mk (k≥0)是满足下列条件的函数 f(x)全体:如果对于任意的 x1 ,x2 ∈(k,+∞),都有 f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)。 (1)函数 f(x)=x2 是否为集合 M0 的元素,说明理由; (2)求证:当 0<a<1 时,函数 f(x)=ax 是集合 M1 的元素; (3)对数函数 f(x)=lgx∈Mk,求 k 的取值范围。 解: (1)取 x1=2,x2=3∈(0,+∞), f(x1)=22=4,f(x2)=32=9,f(x1+x2)=52=25>f(x1)+f(x2), ∴函数 f(x)=x2 不是集合 M0 的元素。 …1 分 …1 分 …1 分

(2)证明:任取 x1,x2∈(1,+∞), f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)= a x1 + a x2 ? a x1 + x2 = 1 ? (1 ? a x1 )(1 ? a x2 ) , ∵0<a<1,x1>1,根据指数函数的性质,得 0 < a x1 < 1 ,∴ 0 < 1 ? a x1 < 1 , 同理, 0 < 1 ? a x2 < 1 ,∴ 0 < (1 ? a x1 )(1 ? a x2 ) < 1 ,∴ 1 ? (1 ? a x1 )(1 ? a x2 ) > 0 。 ∴f(x1)+f(x2)>f(x1+x2),∴函数 f(x)=ax 是集合 M1 的元素。 …2 分 …1 分 …1 分

(3)∵对数函数 f(x)=lgx∈Mk,∴任取 x1,x2∈(k,+∞),f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)成立, 即 lgx1+lgx2=lg(x1·x2)>lg(x1+x2)成立, ∴x1·x2>x1+x2 对一切 x1,x2∈(k,+∞)成立, ∴1 >
1 1 + 对一切 x1,x2∈(k,+∞)成立, x1 x2 1 1 2 + ∈(0, ), x1 x2 k

…1 分

∵x1,x2∈(k,+∞),∴ ∴ ★
2 ≤1,∴k≥2。▋ k

…2 分

第(1)题中,只要出现(0,+∞)或 R+,即可得 1 分;第(2)题中,只要出现比差或比商,即 可得 1 分。

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