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三角恒等变换知识点和例题


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三角恒等变换基本解题方法
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?

                         2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         cos 2 ?= ? 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                       2 ?= ? sin 2 2 tan ?     2? ? tan 1 ? tan 2 ?   ?? ? ? ? ? tan

如(1)下列各式中,值为

1 的是 2
B、 cos 2

A、 sin15? cos 15?

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5? 1 ? tan 2 22.5?

D、

1 ? cos 30? 2

(2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 (3)已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ?

3 ,那么 cos 2? 的值为____ 5

(4)

1 3 的值是______ ? ? sin10 sin 80?
0 0

(5)已知 tan110 ? a ,求 tan50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 乙求得的结果的正确性你的判断是______

a? 3 1 ? a2 ,乙求得的结果是 ,对甲、 2a 1 ? 3a

2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关 系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ?? ? ?? ? , , ? ? ? ? 2? ? ?? ? ? ? ? 等) 2 2 2 2

?

??

?

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如(1)已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4

(2)已知 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? ,且 cos( ? ?

?

1 ? 2 ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值 2 9 2 3

(2)三角函数名互化(切化弦), 如(1)求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 )
? ?

(2)已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan(? ? 2? ) 的值 1 ? cos 2? 3

(3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。 如(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ?1 ,则 cos( A ? B) =_____

(2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ?

3 ,则此三角形是____三角形 4

(4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与 2 2 2 2 升幂公式 1 ? c o s? ? 2 c ? s 1 ? c o s? ? 2 s? n 2 o, 2 i )。
1 1 ? c o s ? 为_____ 2 2 2

如(1)若 ? ? ( ? ,

1 1 3 ? ,化简 ?) 2 2 2

(2)函数 f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos x ?
2

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________ 2

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(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
如(1)化简:

2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4

?

?

1 2

, ? tan ? ? sin ? ?? 等) 4 2 2 2 如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ?

(6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin 2 x ? cos 2 x

(7)正余弦— sin x ? cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” , sin 如(1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __

(2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。

2

8、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? 定, ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a

如(1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______ (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? =

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4、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准有二:一是此三 角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。 如(1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ? 的值______
2

(2) ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1,则 ?C =_______

(3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值

课后练习题 1:(1)已知 ? ∈( A.

1 7

? 3 ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于( ) 2 5 4 1 B.7 C.- D.-7 7

(2) sin163° sin223° +sin253° sin313° 等于 ( A.-
1 2



B.

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

3:设 cos( ? - 求 cos( ? +β).

? 1 ? 2 π π )=- ,sin( -β)= ,且 < ? <π,0<β< , 9 3 2 2 2 2

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4:在△ABC 中,角 A、B 、C 满足 4sin2

7 A?C -- cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2

5. 已知 α 为锐角,且 tan ? ? ,求

1 2

sin 2? cos? ? sin? 的值. sin 2? cos 2?

6.已知 f ( x) ? ? 3 sin2 x ? sin x cos x ; (1) 求 f (
25? ) 的值; 6

(2) 设 ? ? (0, ? ), f ( ) ? ?
2

?

1 4

3 ,求 sinα 的值. 2

7:已知

sin

x x ? 2 cos ? 0 2 2

(1)求 tan x 的值; (2)求

cos 2 x 2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值.

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8 设函数 f(x)=2 sin x cos2 (1)求 ? .的值;

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2 , f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

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