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2、概率的几种定义(古典概型)


1.2

随机事件的概率

对于一个随机事件来说,在一
次试验中可能发生,也可能不发生, 我们希望有一个能刻划随机事件发 生的可能性大小的数量指标,即概 率,以 表示事件A的概率 。

1

一、概率的古典定义 定义2.1 满足以下两个特征的随 机试验称为古典概型。 (1)有限性:试验E的样本空间 中只有有限个样本点 如: (2)等可能性:每个基本事件出现 的可能 性相同,即:
2

这种试验是概率论发展早期
研究对象,称古典概型。 古典概型的计算公式:

3

计算事件A的概率,关键在于弄
清楚什么是样本点,样本空间中包含

样本点的总数以及A所包含的样本点
数,当样本点较多时,很难将它们一

一列出,需用排列、组合的知识进行
分析。
4

二 、排列组合公式 ①从 数为: 个不同元素中取出 个元素 且考虑其顺 序称为排列,其排列总

5

② 从 个元素中取出 个元素,而 不考虑其顺序,称为组合,其组合 的总数为:

6

三、举 例
例1 有一号码锁上有6个拨盘,每个 拨盘有 才能将锁打开。 十个数字,给定 一个6位数字暗码,只有拨对号码时,

问:“一次就能打开”的概率是多
少?
7

解:样本空间中样本点总数为 设 A=“一次就把锁打开” A所含样本点数

你能在2分钟内打开5位码的密码箱吗?
8

例2 袋中装有 个球,其中有 白球和 个黑球,从中任取 问所取的球中恰含有 个黑球的概率。

个 个,

个白球和

9

解:设 A=“所取的球中恰含有 和 个黑球” 个白球

A事件的取法为: 而样本空间的基本事件总数为 :
所以

10

称此为超几何分布公式 此例可推广到

11

例3 将 只球随机地放入 个盒子中去,每球放入各盒等可能, 试求下列事件的概率: ① ② ③
12

解:(1) 这是一个古典概型问题, 由于每个球可落 入 个盒子中的 任一个盒子,故有

种不同放法(重复排列)

13

事件A中样本点数取决于n个球 放入n个盒子中的顺序,故A包 含的样本点数为:
所以

14

(2) 事件B与事件A的差异仅在于各 含一球的n个盒子没有指定,所以 B的样本点数为:

所以

15

(3) 下面我们来求 事件 C所含样

本点数,我们先取m个球放入指 定盒中,共有 种取法,然 后再把剩下的(n-m)个球任意 放入其余(N-1)个盒中,放法有 种,

16

根据乘法原理可得C的样本点数为:

所以 注:有不少实际问题与(2)有相同模型

17

例如:假设每人的生日在一年365

天中的任一天是等可能的,即都
为: ,则随机选取

个人,它们的生日各不相同的概
率问题,可以将365天看作盒子 , 个人看作
18

个球。

设A=“n个人生日各不相同”
故所求概率为: (生日各不相同的概率) 所以 个人中至少有两人生日 相同的概率为:

19

经计算可得下述结果:

从表中可看出,在仅有64人的班 级里“至少有两人生日相同”这 事件的概率与1相差无几。

20

例4 公平抽签问题:

袋中有 个白球, 个彩球, 从中逐一摸出,试求第 次摸得彩 球的概率。

21

解:将

只白球和 只彩球都看作

不同的(设想将其编号)若把摸出 的球依次排列在 个空格内, 则可能的排列法相当于把 元素进行全排列,总数为 个

22

又设

=“第 k 次摸得彩球的概率” 则第 个空格内可以是 个彩球中 的任一个,共有 种结果,其余 个球在余下的 个空 格内进行任意排列,共有 种排列。
23

所以事件

包含的样本点数为

所以

24

二、 概率的几何定义 古典概率局限于试验结果的有

限性,对许多试验结果无限的情况,
有时可用几何的方法来解决(注意

这里也要求等可能性)。

25

几何概型 向某一可度量的区域 内投一 点,如果所投的点落在 中任意区

域 内的可能性大小与
正比,而与 试验。
26

的度量成

的位置和形状无关,

则称这个随机试验 为几何型随机

或称几何概型, 称为

的样本空

间,(可以是一维区间、二维区域、

三维区域,它们通常用长度,面积、
体积来度量大小)
A

S
27

定义:设 是一几何概型, 为它 的样本空间, 且A是可度量的, 以 、 分别表示 S 和 A 的 度量。

设 A=“随机点落在区域A内” 则 称为事件A发生的

概率,并称为几何概率。
28

例:约会问题 甲乙二人约定在[0,T] 时段内去某地会面,规定先到者等 候一段时间 再离去,试求 事件A=“甲乙将会面”的概率。

29

解:分别以x,y表示甲乙到达会面地

点的时间,则样本点是坐标平面上 一个点 ,而样本空间 是边长为 T的正方形,由于二人到达时刻的任 意性,样本点在S中均匀分布,属几 何概型。
30

y

我们关心的事件是 A=“甲乙将会面”

T
t 0 t

T

x

如图 A是正方形S中夹于直线 与直线 间的部分。
31



由几何概率的计算公式得
y
T t 0 t T x

注意t与T的关系
32

三、 概率的统计定义 1、频率:设事件A在 次试验中
出现了 为 次,则称

次试验中事件A出现的频率。 频率能反映事件A发生的可能

性大小, 因此在大量重复试验中 常用频率作为概率的近似值.
37

2、频率的稳定性,例如抛硬币(验 证出现正面的概率占0.5,打字机

键盘设计,信息编码(使用频率较
高的字母用较短的码), 密码的破 译。
38

3、概率的统计定义 如果随着试验次数 事件A发生的频率在区间 的增大, 上某

个数字p附近摆动,则称事件A发

生的概率为p。

39

四、概率的公理化定义

由于古典定义,几何定义局限 于等可能性,统计定义试验次数的 不确定性,使用现代数学工具的不 便性,限制了概率论的发展,这就 必须给出更一般的,既能概括前三 种定义,具有一般性,又能使用现 代数学工具,这就产生了概率的公 理化定义。
40

(一)公理化定义:设

是随机试

验,



的样本空间,对于

E的每一事件A,赋于一实数, 称为事件A的概率,记为 并规定 公理:
41

必须满足下列三条

1)非负性:

2)规范性:
3)可列可加性:若事件 两两互不相容即 则

42

(二) 基本 性质
1)

由公理3)

43

2) 有限可加性:若 两两互不相容, 即

则 令 由公理3)及1) 可得 有限可加性
44

3)对任何事件A有

45

4)若 则 且 证:由



而 S
46

A B



移项即得:

又 故

47

5)对任意两事件 证: 且



有丶

S
48

B

A

推广到三个事件的情形丶

? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? P ( BC ) ? P ( AB ) ? P ( AC ) ? P ( ABC )
49

推广到n个事件:

50

例:若A与B同时发生时事件C必发生,


证:

结论成立
53

例:设 1) 若

, ,求
A

解:
S
A B

54

例:设 2)若 解:

P ? A? ?

1 3

,P?B? ?

1 2

,求

S

A B

A

55

例:设 3)若

P ? A? ?

1 3

,P?B? ? ,求

1 2

解:
S
A B

A

56

例 已知 求事件A,B,C全不发生的概率。
解 因 故 ,

从而 P(ABC)=0 ,于是A,B,C 全不发生的概率为 P ( ABC )
57

例 已知 P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? 1 / 4,
P ( AB) ? 0, P ( AC ) ? P ( BC ) ? 1 / 16,

求事件A,B,C全不发生的概率。

58

例:一口袋6只球,其中4只白球,2只 红球, 从袋中取球两次,每次随机取 一只,考虑两种取球方式: a)有放回 b)无放回

试就 a)、b) 两种情况求下列事件的概率:

1)取到两只球都是白球的概率; 2)取到两只球颜色相同的概率; 3)取到两只球至少有一只是白球的概率。
59

解:a) 有放回 设:A=“取到两只球都是白球” B=“取到两只球都是红球” C=“取到两只球至少有一只 是白球”

60

1) 2) “取到两只球颜色相同”即等 价于事件

3)
61

b)无放回 1) 2)

3)
62

例 在1~2000的整数中随机的取一个数, 问取到的整数既不能被6整除,又不能被8 整除的概率是多少?
解:设 A:取到的数能被6整除 B:取到的数能被8整除 由题意,所求概率为

63

P ( AB ) ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? [ P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB)]

又1~2000中能被6整除的整数有



能被8整除的整数有



既能被6整除又能被8整除的整数有 个

于是,所求概率
64

例 将15名新生随机的平均分配到三个班 级中去,这15名新生中有3名是优秀生。

(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概 率是多少?
(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率 是多少?

65


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