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2013版高二数学(人教B版)选修2-2同步练习2-1-2 Word版含答案]


选修 2-2
一、选择题 1.下面的推理是关系推理的是( )

2.1.2

A. 若三角形两边相等, 则该两边所对的内角相等, 在△ABC 中, AB=AC, 所以在△ABC 中,∠B=∠C B.因为 2 是偶数,并且 2 是素数,所以 2 是素数 C.因为 a∥b,b∥c,所以 a∥c D.因为 2是有理数或无理数,且 2不是

有理数,所以 2是无理数 [答案] C [解析] A 是三段论推理,B、D 是假言推理.故选 C. 2.“因为四边形 ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 的对角线相等.”补充上述推理的 大前提( )

A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B [解析] 由结论可得要证的问题是“对角线相等”,因此它应在大前提中体现出来.故 选 B. 3.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是 假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提使用错误 D.使用了“三段论”,但小前提使用错误 [答案] D [解析] 应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论错 误. 4.△ABC 中,已知 cosAcosB>sinAsinB,则△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] C [解析] ∵cosAcosB>sinAsinB,∴cos(A+B)>0, B.直角三角形 D.不确定 ) )

∴A+B 为锐角,即∠C 为钝角. 5.如图,因为 AB∥CD,所以∠1=∠2,又因为∠2+∠3=180° ,所以∠1+∠3=180° . 所用的推理规则为( )

A.假言推理 C.完全归纳推理 [答案] D

B.关系推理 D.三段论推理

[解析] 关系推理的规则是“若 a=b, b=c, 则 a=c”, 或“若 a∥b, b∥c, 则 a∥c”. 故 选 D. 6.若“并非所有的花都是红的”这一判定为真,则下列为真的判断是( A.所有的花是红的 B.有的花不是红的 C.并非有的花是红的 D.并非有的花不是红的 [答案] B 1 7.设 n 是自然数,则 (n2-1)[1-(-1)n]的值( 8 A.一定是零 C.一定是偶数 [答案] C [解析] 若 n 为偶数,有 1-(-1)n=0, 1 ∴ (n2-1)[1-(-1)n]=0; 8 若 n 为奇数,设 n=2k+1,k∈N, 1 1 + 则 (n2-1)[1-(-1)n]= [(2k+1)2-1][1-(-1)2k 1]=k(k+1). 8 8 ∵k,k+1 是两个连续的自然数, ∴k(k+1)一定为偶数. 1 综上可知, (n2-1)[1-(-1)n](n∈N)一定是偶数.故选 C. 8 8.函数 f(x)=ax3+x+1 有极值的充要条件是( A.a>0 C.a<0 [答案] C B.a≥0 D.a≤0 ) B.不一定是整数 D.是整数但不一定是偶数 ) )

[解析] ∵f′(x)=3ax2+1, ∴f(x)有极值的充要条件是方程 f′(x)=0 有两个不等实根, 即 Δ=-12a>0, ∴a<0.故选 C. 9.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则此三角形必是( A.等腰三角形 C.直角三角形 [答案] A b2+c2-a2 [解析] 由 sinC=2cosAsinB 得:c=2· · b,即:a2=b2,∴a=b,∴△ABC 为 2bc 等腰三角形,故选 A. 10.若数列{an}的前 n 项和 Sn=log5(n+4),则数列{an}从第二项起是( A.递增数列 C.常数列 [答案] B [解析] 因 Sn=log5(n+4),则当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=log5 ∴an 的值随 n 的增大而减小. ∴{an}为递减数列,故选 B. 二、填空题 11.求函数 y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是 a有意义时,a≥0,小 前提是 log2x-2有意义,结论是________. [答案] log2x-2≥0 12.已知 a>0,b>0,m=lg [答案] m>n [解析] ∵( a+ b)2=a+b+2 ab>a+b, ∴ a+ b a+b > ,∴m>n. 2 2 a+ b a+b ,n=lg ,则 m 与 n 的大小关系为________. 2 2 1 n+4 =log5?1+n+3?, ? ? n+3 B.递减数列 D.以上都错 ) B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )

b2 13.设 a≥0,b≥0,a2+ =1,则 a· 1+b2的最大值为________. 2 [答案] 3 2 4 2 · 2a2· 1+b2 2

[解析] a· 1+b2=

2 2 2 2a +1+b 3 2 ≤ × = . 2 2 4

m-3 4-2m 14.已知 sinα= ,cosα= ,其中 α 是第二象限角,则 m 的取值为________. m+5 m+5 [答案] 8

?m-3?2+?4-2m?2=1, [解析] 由? ? ? ? ?m+5? ? m+5 ?
整理,得 m2-8m=0, ∴m=0 或 8. ∵α 是第二象限角,则 sinα>0,cosα<0. 经验证知 m=8. 三、解答题 15.设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)>f(b),求证:ab<1. [证明] 证法 1:由已知
?lgx,x≥1, ? f(x)=|lgx|=? ? ?-lgx,0<x<1.

∵0<a<b,f(a)>f(b), ∴a、b 不能同时在区间[1,+∞)上. 又由于 0<a<b,故必有 a∈(0,+∞).若 b∈(0,1),显然有 ab<1;若 b∈(1,+∞),由 f(a)-f(b)>0,有-lga-lgb>0. ∴lg(ab)<0.∴ab<1. 证法 2: 由题设 f(a)>f(b), 即|lga|>|lgb|, 上式等价于(lga)2>(lgb)2, 即(lga+lgb)(lga-lgb)>0. a ∴lg(ab)· lg >0. b b 由已知 b>a>0,∴ <1. a a ∴lg <0.∴lg(ab)<0.∴0<ab<1. b 16.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是前 n 项和. log0.5Sn+log0.5Sn+2 求证: >log0.5Sn+1. 2 [证明] 设数列{an}的公比为 q, 由题设知 a1>0,q>0.
2 当 q=1 时,Sn=na1,从而 Sn· Sn+2-S2 (n+2)a1-(n+1)2a2 n+1=na1· 1=-a1<0.

a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= , 1-q
n n 2 a2 ? 1?1-q ??1-q 从而 Sn· Sn+2-S2 2 n+1= ?1-q?




n 1 2 a2 ? 1?1-q n =-a2 2 1q <0. ?1-q?


综上,得 Sn· Sn+2<S2 n+1. 故 log0.5Sn+log0.5Sn+2 >log0.5Sn+1. 2

17.如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点, 求证:四边形 EFGH 为平行四边形.

1 [证明] 在△ABD 中,因为 E,H 分别是 AB,AD 的中点,所以 EH∥BD,EH= BD, 2 1 同理,FG∥BD,且 FG= BD,所以 EH∥FG,EH=FG,所以四边形 EFGH 为平行四边形. 2 a 18.已知函数 y=x+ 有如下性质:如果常数 a>0,那么该函数在(0, a)上是减函数, x 在[ a,+∞)上是增函数. 2b (1)如果函数 y=x+ 在(0,4)上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求实常数 b 的值; x c (2)设常数 c∈(1,4),求函数 f(x)=x+ ,x∈[1,2]的最大值和最小值; x c (3)当 n 是正整数时,研究函数 g(x)=xn+ n(c>0)的单调性,并说明理由. x a 2b [解析] (1)由函数 y=x+ 的性质,知 y=x+ 在(0, 2b)上是减函数,在[ 2b,+∞) x x 上是增函数. ∴ 2b=4,即 2b=16=24.∴b=4.

(2)∵c∈[1,4],∴ c∈[1,2]. c 又∵f(x)=x+ 在(0, c)上是减函数,在[ c,+∞)上是增函数. x ∴在 x∈[1,2]上,当 x= c时,函数取得最小值 2 c. c c 又 f(1)=1+c,f(2)=2+ ,f(2)-f(1)=1- . 2 2 当 c∈[1,2)时,f(2)-f(1)>0,f(2)>f(1). c 此时 f(x)的最大值为 f(2)=2+ . 2 当 c=2 时,f(2)-f(1)=0,f(2)=f(1). 此时 f(x)的最大值为 f(2)=f(1)=3.

当 c∈(2,4]时,f(2)-f(1)<0,f(2)<f(1). 此时 f(x)的最大值为 f(1)=1+c. c· nxn 1 - (3)g′(x)=nxn 1- 2n , x


2n 令 g′(x)=0,得 x2n=c,∴x=± c. 又∵x≠0,列表分析,如下: x f′(x) f(x) 于是函数 g(x)在(0, 2n c)上是减函数,在[ (0, 2n c) 2n 0 极小值 2n c,+∞)上是增函数. c ( 2n c,+∞) +



c 当 n 是正奇数时,g(x)=xn+ n,在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数,于是 g(x)在(-∞, x - 2n c]上是增函数,在[- 2n c,0]上是减函数;

c `当 n 是正偶数时,g(x)=xn+ n在(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,于是 g(x)在(-∞, x - 2n c]上是减函数,在[- 2n c,0]上是增函数.


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