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第一章 导数及其应用基础训练


导数及其应用[基础训练 A 组]
一、选择题 1.若函数 y ? f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内可导,且 x 0 ? ( a , b ) 则 lim 的值为( A. f ( x 0 )
3

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? h ) h

h? 0

) B. 2 f (

x 0 )
'

'

C. ? 2 f ( x 0 )
'

D. 0

3.函数 y = x + x 的递增区间是( A. ( 0 , ?? )
3 2

) C. ( ?? , ?? ) )
10 3

B. ( ?? ,1)
'

D. (1, ?? )

4. f ( x ) ? a x ? 3 x ? 2 ,若 f ( ? 1) ? 4 ,则 a 的值等于(
19 3
4

A.

B.

16 3

C.

13 3

D.

6.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ? 2, 3 ? 上的最小值为( A. 7 2 B. 3 6 C. 1 2

) D. 0

二、填空题
1.若 f ( x ) ? x , f ( x 0 ) ? 3 ,则 x 0 的值为_________________;
3 '

2.曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ? 3) 处的切线倾斜角为__________;
3

3.函数 y ?

s in x x

的导数为_________________;

4. 曲线 y ? ln x 在点 M ( e ,1) 处的切线的斜率是_________, 切线的方程为_______________; 5.函数 y ? x ? x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是___________________________。
3 2

三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3 x ? 5 相切的直线方程。
3 2

2.求函数 y ? ( x ? a )( x ? b )( x ? c ) 的导数。 3. 求 函 数 f ( x ) ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在 区 间 ?? 1, 4 ? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。
5 4 3

4.已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a , b 的值;(2)求函数 y 的极小值。

导数及其应用 [综合训练 B 组]
一、选择题
1.函数 y = x - 3 x - 9 x (- 2 < x < 2 ) 有( A.极大值 5 ,极小值 ? 2 7 C.极大值 5 ,无极小值 2.若 f ( x 0 ) ? ? 3 ,则 lim
'

3

2



B.极大值 5 ,极小值 ? 1 1 D.极小值 ? 2 7 ,无极大值

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? 3h ) h

h? 0

?(



A. ? 3

B. ? 6
3

C. ? 9

D. ? 1 2 )

3. 曲线 f ( x ) = x + x - 2 在 p 0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 , p 0 点的坐标为 则 ( A. (1, 0 ) B. ( 2 , 8 ) C. (1, 0 ) 和 ( ? 1, ? 4 ) D. ( 2 , 8 ) 和 ( ? 1, ? 4 )
' '

4. f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x ) , g ( x ) 满足 f ( x ) ? g ( x ) ,则

f ( x ) 与 g ( x ) 满足(



A. f ( x ) ? g ( x )

B. f ( x ) ? g ( x ) 为常数函数

C. f ( x ) ? g ( x ) ? 0 5.函数 y ? 4 x ?
2

D. f ( x ) ? g ( x ) 为常数函数 )
1

1 x

单调递增区间是(

A. ( 0 , ?? ) 6.函数 y ? A. e
?1

B. ( ?? ,1) 的最大值为( B. e ) C. e

C. ( , ?? )
2

D. (1, ?? )

ln x x

2

D.

10 3

二、填空题
1.函数 y ? x ? 2 cos x 在区间 [ 0 ,
3

?
2

] 上的最大值是



2.函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。 3.函数 y ? x ? x 的单调增区间为
2 3
3 2 2

,单调减区间为___________________。

5.函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? a , 在 x ? 1 时有极值 1 0 ,那么 a , b 的值分别为________。 三、解答题
3 1. 已知曲线 y ? x ? 1 与 y ? 1 ? x 在 x ? x 0 处的切线互相垂直,求 x 0 的值。
2

3. 已知 f ( x ) ? ax

4

? bx

2

? c 的图象经过点 (0 ,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2

(1)求 y ? f ( x ) 的解析式;(2)求 y ? f ( x ) 的单调递增区间。

4.平面向量 a ? ( 3 , ? 1), b ? ( ,
2

?

?

1

3 2

) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使

? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? a ? ( t ? 3) b , y ? ? ka ? tb , 且 x ? y ,试确定函数 k ? f ( t ) 的单调区间。

导数及其应用
一、选择题

[提高训练 C 组]
'

1.若 f ( x ) ? sin ? ? co s x ,则 f (? ) 等于( A. s in ? B. co s ?
2

) D. 2 s in ?
'

C. sin ? ? co s ?

2.若函数 f ( x ) ? x ? b x ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ( x ) 的图象是(



3.已知函数 f ( x ) ? ? x ? ax
3

2

? x ? 1 在 ( ?? , ?? ) 上是单调函数,则实数 a 的

取值范围是(

) B. [ ? 3 , 3 ] D. ( ? 3 , 3 )
'

A. ( ?? , ? 3 ] ? [ 3 , ?? ) C. ( ?? , ? 3 ) ? ( 3 , ?? )

4.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ( x ) ? 0 ,则必有( A. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) C. f (0 ) ? f (2 ) ? 2 f (1)
4



B. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) D. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) ) C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0

二、填空题

1.若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________; 2.函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为 。

2

3.设函数 f ( x ) ? co s( 3 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x ) ? f ?( x ) 为奇函数,则 ? =__________ 4.设 f ( x ) ? x ?
3

1 2

x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [ ? 1, 2 ] 时, f ( x ) ? m 恒成立,则实数 m 的
2

取值范围为 5.对正整数 n ,设曲线 y 数列 ?
n


? x (1 ? x )

在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

三、解答题 1.求函数 y ? (1 ? co s 2 x ) 的导数。
3

2.求函数 y ?

2x ? 4 ?

x ? 3 的值域。

3.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c 在 x ? ?
3 2

2 3

与 x ? 1 时都取得极值

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ? [ ? 1, 2 ] ,不等式 f ( x ) ? c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

4.已知 f ( x ) ? lo g 3

x ? ax ? b
2

, x ? (0, ? ? ) ,是否存在实数 a、 b ,使 f ( x ) 同时满足下列

x

两个条件:(1) f ( x ) 在 (0 ,1) 上是减函数,在 ?1, ? ? ? 上是增函数;(2) f ( x ) 的最小值是
1 ,若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.


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