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2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业45 第8章 立体几何1 Word版含解析]


课时作业(四十五)
1.如图是 2013 年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图 形,照此规律闪烁,下一呈现出来的图形是 ( )

答案 解析

A 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏, 故下一个呈现

出来的图形是 A. 2.把 1,3,6,10,15,21,?这些数叫做三角形数,这是

因为这些数目的点子可 以排成一个正三角形(如下图),试求第七个三角形数是 ( )

A.27 C.29 答案 解析 B

B.28 D.30

观察归纳可知第 n 个三角形数为 1+2+3+4+?+n= 7×?7+1? =28. 2

n?n+1? 2 ,

∴第七个三角形数为

3.因为对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)是增函数, 而 y=log1x 是对数函数,所以 y=log1x 是增函数,
2 2

上面的推理错误的是 A.大前提 C.推理形式 答案 解析 A B.小前提 D.以上都是

(

)

y=logax 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错误.选 A.

4.(2012· 江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,

a5+b5=11,?,则 a10+b10= A.28 C.123 答案 解析 C B.76 D.199

(

)

记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4

=7; f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*, n≥3), 则 f(6)=f(4)+f(5)=18; f(7)=f(5)+f(6)=29; f(8)=f(6)+f(7)=47; f(9)=f(7)+f(8) =76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a10+b10=123. 1 5.(2013· 衡水调研卷)已知 an=(3)n,把数列{an}的各项排成如下的三角形: a1 a2 a5 a6 a3 a7 ?? 记 A(s,t)表示第 s 行的第 t 个数,则 A(11,12)= 1 A.(3)67 1 C.(3)111 答案 解析 D 该三角形所对应元素的个数为 1,3,5,?, 1 B.(3)68 1 D.(3)112 ( ) a4 a8 a9

那么第 10 行的最后一个数为 a100, 1 第 11 行的第 12 个数为 a112,即 A(11,12)=(3)112. 6.设 f(x)= 等于 1 A.-x C. x-1 x+1 D B.x 1+x D. 1-x 1+x ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,?,则 f2 013(x) 1-x ( )

答案

解析

1+x 1 1- x 1 - x 1+x x-1 1 1 计算: f2(x)=f( )= =-x , f3(x)=f(-x )= = , f (x) 1 1-x 1+x x+1 4 1 + 1- x 1-x 1+

x-1 1+ x+1 1+x 1+x = =x,f5(x)=f1(x)= ,归纳得 f4k+1(x)= ,k∈N*,从而 f2 x-1 1-x 1-x 1- x+1 1+x = . 1-x

013(x)

7.某纺织厂的一个车间技术工人 m 名(m∈N*),编号分别为 1,2,3,?,m, 有 n 台(n∈N*)织布机,编号分别为 1,2,3,?,n,定义记号 aij:若第 i 名工人操 作了第 j 号织布机,规定 aij=1,否则 aij=0,则等式 a41+a42+a43+?+a4n=3 的实际意义是 A.第 4 名工人操作了 3 台织布机 B.第 4 名工人操作了 n 台织布机 C.第 3 名工人操作了 4 台织布机 D.第 3 名工人操作了 n 台织布机 答案 解析 A a41+a42+a43+?+a4n=3 中的第一下标 4 的意义是第四名工人,第 ( )

二下标 1,2,?,n 表示第 1 号织布机,第 2 号织布机,??,第 n 号织布机, 根据规定可知这名工人操作了三台织布机. 8.已知 x∈(0,+∞),观察下列各式: 1 4 x x 4 x+x ≥2,x+x2=2+2+x2≥3, 27 x x x 27 x+ x3 =3+3+3+ x3 ≥4,?, a 类比有 x+xn≥n+1(n∈N*),则 a= A.n C.n2 答案 解析 D 第一个式子是 n=1 的情况,此时 a=1,第二个式子是 n=2 的情况, B.2n D.nn ( )

此时 a=4,第三个式子是 n=3 的情况,此时 a=33,归纳可以知道 a=nn. 9.给出下列命题: 1 命题 1:点(1,1)是直线 y=x 与双曲线 y= x的一个交点; 8 命题 2:点(2,4)是直线 y=2x 与双曲线 y= x的一个交点; 27 命题 3:点(3,9)是直线 y=3x 与双曲线 y= x 的一个交点; ?? 请观察上面命题,猜想出命题 n(n 是正整数)为________. 答案 解析 n3 点(n,n )是直线 y=nx 与双曲线 y= x 的一个交点
2

n3 点(n,n2)是直线 y=nx 与双曲线 y= x 的一个交点,观察题中给出的

n3 命题易知, 命题 n 中交点坐标为(n,n2),直线方程为 y=nx,双曲线方程为 y= x . 10.(2011· 陕西理)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为________. 答案 解析 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 每行最左侧数分别为 1、2、3、?,所以第 n 行最左侧的数为 n;每

行数的个数分别为 1、3、5、?,则第 n 行的个数为 2n-1.所以第 n 行数依次是 n、n+1、n+2、?、3n-2.其和为 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2. 11.(2013· 九江市联考)已知 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,过 P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得: 在 y2=2px 两边同时对 x 求导,得: p p 2yy′=2p,则 y′=y ,所以过 P 的切线的斜率:k=y .
0

y2 试用上述方法求出双曲线 x2- 2 =1 在 P( 2, 2)处的切线方程为________. 答案 解析 2x-y- 2=0 y2 2x0 用类比的方法对 2 =x2-1 两边同时对 x 求导得, yy′=2x, ∴y′= y
0

2× 2 = =2. 2 ∴切线方程为 y- 2=2(x- 2),∴2x-y- 2=0. 12. 观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有________个小正方 形.

答案 解析

28 设第 n 个图中小正方形个数为 an,

则 a1=3,a2=a1+3=6,a3=a2+4=10,a4=a3+5=15,a5=a4+6=21, a6=a5+7=28.

答案

am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)

再分析指数间的关系, 可得准确的推广形式: am+n+bm+n>ambn+anbm(a, b>0, a≠b,m,n>0). 14.半径为 r 的圆的面积 S(r)=πr2,周长 C(r)=2πr,若将 r 看做(0,+∞)

上的变量,则(πr2)′=2πr.① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径 R 的球,若将 R 看做(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式 子:_______________________________________________________________; ②式可用语言叙述为_____________________________________________. 答案 4 ①(3πR3)′=4πR2

②球的体积函数的导数等于球的表面积函数 15.已知数列{an}为等差数列,则有等式 a1-2a2+a3=0,a1-3a2+3a3-a4 =0,a1-4a2+6a3-4a4+a5=0. (1)若数列{an}为等比数列,通过类比,则有等式________. (2)通过归纳,试写出等差数列{an}的前 n+1 项 a1,a2,?,an,an+1 之间的 关系为________. 答案
-3 3 -1 -4 6 -4 2 (1)a1a- 2 a3=1,a1a2 a3a4 =1,a1a2 a3a4 a5=1

0 2 n n (2)Cn a1-C1 na2+Cna3-?+(-1) Cnan+1=0

解析

因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算, 后者是乘法运

算,所以类比规律是有第一级运算转化到高一级运算,从而解出第 (1)问;通过 观察发现,已知等式的系数与二项式系数相同,解出第(2)问. 16.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成 等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,______, T16 ______,T 成等比数列.
12

答案 解析

T8 T12 T4 T8 对于等比数列,通过类比,在等比数列{bn}中前 n 项积为 Tn,则 T4
4 8

T8 T12 =b1b2b3b4,T8=b1b2?b8,T12=b1b2?b12,T16=b1b2?b16,因此T =b5b6b7b8,T T16 T8 T12 T16 T12 =b9b10b11b12,T =b13b14b15b16,而 T4,T , T ,T 的公比为 q16,因此 T4, T ,
12 4 8 12 8

T16 T12成等比数列. 17.已知函数 f(x)= a (ax-a-x),其中 a>0,且 a≠1. a2-1

(1)判断函数 f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明; (2)判断 f(2)-2 与 f(1)-1,f(3)-3 与 f(2)-2 的大小关系,由此归纳出一个 更一般的结论,并加以证明. 解析 (1)由已知得 f′(x)= alna x (a +a-x)>0, 2 a -1

∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. (2)f(2)-2>f(1)-1,f(3)-3>f(2)-2. 一般的结论为:f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*). 证明过程如下: a2n+1+1 事实上,上述不等式等价于 f(n + 1) - f(n)>1 ? n+1 n >1 ? (an + 1 - 1)(an - a +a 1)>0,在 a>0 且 a≠1 的条件下,(an+1-1)(an-1)>0 显然成立,故 f(n+1)-(n+ 1)>f(n)-n(n∈N*)成立.

1.自然数按下列的规律排列

则上起第 2 007 行,左起第 2 008 列的数为 A.2 0072 C.2 006×2 007 答案 解析 D 经观察可得这个自然数表的排列特点: B.2 0082 D.2 007×2 008

(

)

①第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第 n 行的第 1 个数为 n2;

②第一行第 n 个数为(n-1)2+1; ③第 n 行从第 1 个数至第 n 个数依次递减 1; ④第 n 列从第 1 个数至第 n 个数依次递增 1. 故上起第 2 007 行,左起第 2 008 列的数,应是第 2 008 列的第 2 007 个数, 即为[(2 008-1)2+1]+2 006=2 007×2 008. 2.已知 y 与 x(x≤100)之间的部分对应关系如下表: x y 11 2 97 12 1 48 13 2 95 14 1 47 15 2 93 ? ?

则 x、y 可能满足的一个关系式为________. 答案 解析 y(108-x)=2 2 2 2 2 2 将 11、12、13、14、15 对应的函数值分别写成97、96、95、94、93,

观察可得以上函数值的分母依次成等差数列,设所成的等差数列为{an},易知分 母 an=a11+(n-11)· (-1)=97-n+11=108-n,因此 y= =2. 3.如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则 标上数字标签:原点处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4,点(-1,0)处标 5,点(-1,1)处标 6,点(0,1)处标 7,依此 类推,则标签 2 0132 的格点的坐标为________. 2 ,即 y(108-x) 108-x

答案 解析

(1 007,1 006) ∵点(1,0)处标 1=12,点(2,1)处标 9=32 点(3,2)处标 25=52,点(4,3)

处标 49=72,依此类推得(1 007,1 006)处标 2 0132. 4.对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:

? ?3 23=? 33=?9 ?5, ?11,
答案 解析 8

7

13 ? ?15 43=? 17 ? ?19

,??仿此,若 m3 的“分裂数”中有一

个数是 59,则 m 的值为________.

依题意得这些数的立方中的分解数依次是 3,5,7,9, ?,且相应的加数

的个数与对应的底数相同,易知从 2 开始的前 n 个正整数的立方共用去数列{2n -1}中的项数是 n?n+1? n?n+1? * - 1 ,数列 {2 n - 1}( n ∈ N ) 中的第 2 2 项是 n(n+1)-1.

注意到 7×8-1<59<8×9-1,因此 m=8. 5. 已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和,如图所示, 33 可表示为 7+9+11,我们把 7、9、11 叫做 33 的“数因子”,若 n3 的一个“数 因子”为 2 013,则 n=________. 13=1 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19 ?? 答案 解析 45 由图可知,n3 可表示为 n 个连续奇数的和,而所有正整数的“数因

子”都是按照从小到大的顺序排列的, 所以前 n 个正整数的三次幂的“数因子” 共有 1+2+3+?+n= 个奇数. 而 44×45 45×46 3 = 990<1 007 , 2 2 =1 035>1 007,所以 44 的最大“数因子” n?n+1? 因为 2 013=2×1 006+1, 故 2 013 是第 1 007 2 个,

是第 990 个奇数,453 的最大“数因子”是第 1 035 个奇数,故第 1 007 个奇数 2 013 应是 453 的一个“数因子”. 6.已知扇形的圆心角为 2α(定值),半径为 R(定值),分别按图 1、图 2 作扇 1 形的内接矩形,若按图 1 作出的矩形的面积的最大值为2R2tan α,则按图 2 作出

的矩形的面积的最大值为________.

答案 解析

α R2tan2

1 2 将图 1 沿水平边翻折作出如图所示的图形, 内接矩形的最大面积 S=2· tan 2R · α α=R2· tan α,所以图 2 中内接矩形的面积的最大值为 R2tan2. 7.(2013· 哈师大附中)Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,作 AD⊥BC,D 为垂足, BD 为 AB 在 BC 上的射影,CD 为 AC 在 BC 上的射影,则有 AB2+AC2=BC2, AC2=CD· BC 成立.直角四面体 PABC(即 PA⊥PB、PB⊥PC,PC⊥PA)中,O 为 P 在△ABC 内的射影,△PAB、△PBC、△PCA 的面积分别记为 S1、S2、S3,△ OAB、△OBC、△OCA 的面积分别记为 S′1,S′2、S′3,△ABC 的面积记为 S. 类比直角三角形中的射影结论,在直角四面体 PABC 中可得到正确结论 ________.(写出一个正确结论即可) 答案 解析
2 2 2 2 S2 1=S1′S(或 S =S1+S2+S3)

空间问题与平面问题的类比, 通常可抓住几何要素的如下对应关系作

对比:多面体?多边形;面?边;体积?面积;二面角?平面角;面积?线段
2 2 2 2 长,??由此,可类比得 S2 1=S′1S(或 S =S1+S2+S3).

8.观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10,

?, 由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N*, 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=________. 答案 解析 n2+n (-1)n+1 2 注意到第 n 个等式的左边有 n 项, 右边的结果的绝对值恰好等于左边 n?n+1? 2

的各项的所有底数的和,即右边的结果的绝对值等于 1+2+3+?+n=

n2+n = ,注意到右边的结果的符号的规律是:当 n 为奇数时,符号为正;当 n 2 为偶数时,符号为负,因此所填的结果是(-1)
n+1n 2

+n 2 .

9.设数列{an}是以 d 为公差的等差数列,数列{bn}是以 q 为公比的等比数 列.将数列{an}的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处,经过 “LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列{bn}的相关量或关系式, 则在右侧 的“?”处应该是________.

答案 解析

Bn=b1×( q)n-1 注意类比的对应关系:+→×,÷ →开方,×→乘方,0→1,所以 Bn

=b1×( q)n-1. 10.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,?; 23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,?. 根据上述分解规律,若 m2=1+3+5+?+11,p3 的分解中最小的正整数是 21,则 m+p=________. 答案 解析 11 由 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7, ?, 可知 n2=1+3+5+?

+(2n-1).由 m2=1+3+5+?+11,可知 m=6,易知 53=21+23+25+27+ 29,则 21 是 53 的分解中最小的正整数,可得 p=5.故 m+p=11.


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