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3.1不等关系与不等式(一)教案


第一课时

3.1 不等关系与不等式(一)
蔡永刚

在学生的面前,既提高了学生自主学习的兴趣,又为解决教学的重难点赢得大量宝贵 的时间。但是传统的教学也不能完全忽视,比如说必要的板演是必须要有的,要充分 给学生展示一个思维的过程,真正的达到演绎数学,使得学生学到知识的同时,更锻 炼了学生数学严密的逻辑推理的思维能力。 六、教学目标 1.让学生感受现实世界和日常生活中的大量不等关系 2.让学生学会用不等号表示实际问题中的不等关系 3.让学生能够用不等式模型解决实际问题 七、教学重、难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 难点: (1)如何正确找到实际问题中的不等关系 (2)如何用代数式表示实际问题 八、探究过程 首先通过一些生活或数学中的图形让学生感受现实世界中的不等关系。此处 多媒体展示。 其次尝试用不等式表示下列不等关系: (1) 限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不 超过 40 km/h. (2) a 与 b 的和是非负数; (3) 某公路立交桥对通过车辆的高度 h“限高 4m”; 分析:(1),(2), (3)主要帮助学生从一些简单的生活问题入手,找到不等关系, 并用不等式表示出来 提问:除了以上列举的现实生活中的不等关系,你还能列举出你周围日常生活中

北师大昆明附中 一、课型:新授课 二、教学时间:2011-3-24 三、教材分析

本节的主要内容是通过一系列的具体环境,使学生感受生活中的不等关系,在 学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容。另 外教科书以问题的形式代替例题,目的也是在强化问题意识,使学生在具体问题情 景中用不等式研究及表示不等关系,经历由实际问题建立数学模型的过程, 体会其 基本方法. 与传统教材相比,更加关注学生的发展,通过学生在学习过程中的感受、体验、 认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思 考,广泛参与,改变学生的学习方式,提高观察、抽象的能力,从而提高学习质量。 四、学情分析 随着初中课改的推进,高中新课程也铺开的情况下,现在的学生也和原来的学生 不管是从学习方式还是学习方法上都发生了极大得变化, 新课程更注重学生的全面发 展,更注重交流,学生在数学问题的理解上相比以前也有了很多改变。学生再也不喜 欢被动的接受知识,而是需要自主学习。喜欢在与老师、同学交流合作,教师的引导 下,学到知识。 五、教学手段: 通过利用多媒体与传统教学相结合,学生与教师沟通交流的,创造和谐的课堂气 氛完成知识的学习。 在多媒体的使用过程中,像例题、大量图片等都可以通过多媒体完美直观的展现

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的不等关系吗? 文字语言与数学符号间的转换. 文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 数学符号 > < ≥ ≤ 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤
AB .(用不

的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足上述所有不等 关系的不等式呢? 分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: (1)解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)解得两种钢管的数量都不能为负。
?500x ? 600y ? 4000 ?3x ? y 由以上不等关系,可得不等式组: ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

问题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d , B 为平面 ? 上的任意一点,则 d 等号填空)

问题 1 从数学中的几何问题入手,对不等关系进一步说明,在讲解的时候,可以 从利用多媒体图形进行分析,理解在数学几何问题中不等关系的存在。 问题 2: 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售, 可以售出 8 万本。 根据市场调查, 若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元? 分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 ? 8 ? ?
? x ? 2.5 ? ? 0.2 ? 万元。那么不等关 0.1 ? x ? 2.5 ? ? 0.2 ? ≥20 0.1 ?

注:进一步深化并讲现实种问题抽象为不等式,在原题没有给出变量时,应该假 设。 九、点拨 1.不等式(组)是刻画不等关系的数学模型. 2.建立不等式模型的基本思路 (1)找出不等关系 (2)假设变量后,根据不等关系列出不等式(组)

系“销售的总收入不低于 20 万元”可以表示为不等式 ? 8 ? ?
?

分析:通过对本题的探讨,明白不等关系在实际生活中的应用,而且从本题可以 看出,要解答不等式要涉及一元二次不等式的解法,也为后面学习二次不等式埋下 伏笔,也为我们学习一元二次不等的意义提供了佐证,印证了此题讲解的必要性和 重要性。同时更是本节课的重点和难点所在,在此处应该花时间来探讨不等关系怎 么样转化为不等式,充分理解在本题中就是一个数学建模的过程。 问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生产
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拓展: (2009 年山东省高考文科数学试题改·新课程)某公司租赁甲、乙两种设 备生产 A , B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每 天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件. 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产 品 140 件, 若设生产甲、乙两种设备各需要 x、y 天时,怎样用不等式组来表示上面的 不等关系?

分析:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间 的关系, ,找出线性约束条件, (也可以列成表格),通过此题进一步加深对不等关 系和不等式的深刻理解. 解: 设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天,甲、 乙两种设备生产 A , B 两类产品的情况为下表所示:

十一、课后达标 (一)知识强化 1.b 克糖水中有 a 克糖 (b>a>0) , 若再添上 m 克糖 (m>0), 则糖水变甜了,如果 用不等关系来描述上述现象为 2. 一个两位数个位数字为 a,十位数字为 b,且这个两位数大于 50. 用不等关系 来描述为

0000000 产品 设备 甲设备 乙设备

A 类产品

B 类产品

租赁费 (元)
200

3.某厂使用两种零件 A, B ,装配两种产品甲,乙,该厂的生产能力是月产量甲最多 2500 件,月产量乙最多 1200 件,而组装一件产品,甲需要 4 个 A , 2 个 B ;乙需要 6 个
A ,8 个 B .某个月,该厂能用的 A 最多有 14000 个, B 最多有 12000 个.用不等式将甲,

(件)( ? 50 ) (件)( ? 140 )
5 10

6

20

300

乙两种产品产量之间的不等关系表示出来.

? 6 ? 5 x ? 6 y ? 50 ? x ? 5 y ? 10 ? 则满足的关系为 ?10 x ? 20 y ? 140 即: ? ? x ? 2 y ? 14 ? ? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0 ?

十二、小结

4.下表给出了 X、Y、Z 三种食物的维生素的含量及成本: 维生素 A(单 维生素 B(单 成本(元/kg) 位/kg) X 300 500 300 位/kg) 700 100 300 5 4 3

本堂课建立的数学模型是不等式
语言转换、列式

实际问题
解释

不等式

Y Z

某人欲将这三种食物混合成 100kg 的食品, 要使混合食品中至少含 35000 单位的 维生素 A 及 40000 单位的维生素 B , 设 X , Y 这两种食物各取 x kg , y kg , 那么 x , y 应满足怎样的关系?
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3.已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小.

(二)自主学习 1.归纳不等式基本性质

4.比较

a?m a 与 (其中 b ? a ? 0 , m ? 0 )的大小. b b?m

2. 对于任意两个实数 a, b ,在 a ? b, a ? b, a ? b 三种关系中有且仅有一种成立.判断两 个实数大小的充要条件是:

a ? b ? a ?b 0
a ? b ? a ?b 0

a ? b ? a ?b 0
由 要 此 可 见 , 要 比 较 两 个 实 . 2.比较(a+3)(a-5)与(a+2) (a-4)的大小. 数 的 大 小 , 只

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