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(2.2.2-1用样本数字特征估计总体数字特征)


1:频率分布折线图与总体密度曲线
思考1:在城市居民月均用水量样本数据 的频率分布直方图中,各组数据的平均 值大致是哪些数?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

2:在频率分布直方图中,依次

连接各小 长方形上端的中点,就得到一条折线, 这条折线称为频率分布折线图.

频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

3:当总体中的个体数很多时(如抽样调 查全国城市居民月均用水量),随着样 本容量的增加,作图时所分的组数增多, 组距减少,你能想象出相应的频率分布 折线图会发生什么变化吗?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

频率 组距

总体密度曲线

总体在区间 (a,b)内取 值的百分比.
O
a b 月均用水量/t

在上述背景下,相应的频率分布折线图越来 越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑 曲线为总体密度曲线.那么图中阴影部分的面 积有何实际意义?

探究(二):茎叶图

频率分布表、频率分布直方图和折 线图的主要作用是表示样本数据的分布 情况,此外,我们还可以用茎叶图来表 示样本数据的分布情况.

【问题】 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛 的得分情况如下: 甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16, 33,14,28,39; 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44, 36,15,37,25,36,39. 助教在比赛中将这些数据记录为如下形式:
甲 4 3 3 6 6 8 8 3 8 9 0 1 2 3 4 5 乙

1

2 5 1 4 0

5 4 6 9

1

6

7

9

甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33, 14,28,39; 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44, 36,15,37,25,36,39.
甲 乙 8 3 3 3 1 0 1 2 3 4 5 2 4 1 4 0 5 5 1 9

4 8 3

4 6 8

6

6

7

9

思考1:你能理解这个图是如何记录这些数 据的吗?你能通过该图说明哪个运动员的发 挥更稳定吗?



乙 8 3 8 9 1 0 1 2 3 4 5 2 5 1 4 0 5 4 6 9

4 3 3

6 6 8

1

6

7

9

思考2:在统计中,上图叫做茎叶图,它 也是表示样本数据分布情况的一种方法, 其中“茎”指的是哪些数,“叶”指的 是哪些数?

思考3:对于样本数据:3.1,2.5,2.0, 0.8,1.5,1.0,4.3,2.7,3.1,3.5, 用茎叶图如何表示? 茎 0 1 2 3 4 叶 8 0 5 0 5 7 1 1 5 3

2 画茎叶图的步骤

第一步,将每个数据分为“茎”(高位) 和“叶”(低位)两部分; 第二步,将最小的茎和最大的茎之间的 数按大小次序排成一列,写在左(右) 侧;

第三步,将各个数据的叶按大小次序写 在茎右(左)侧.

3 茎叶图优缺点?
优点 (1)保留了原始数据,没有损失样本信息; (2)数据可以随时记录、添加或修改.

缺点 不适合样本容量很大或茎、叶不分明的样本 数据.

一、众数、中位数、平均数
1、众数 在一组数据中,出现次数最多的 数据叫做这一组数据的众数。
2、中位数 将一组数据按大小依次排列, 把处在最中间位置的一个数据(或两个数据 的平均数)叫做这组数据的中位数。 3、平均数 (1) x = (x1+x2+……+xn) /n (2) x = (x1f1+x2f2+……xkfk)/n

例子:
1.甲在一次射击比赛中的得分如下: ( 单位: 环).7,8,6,8,6,5,9,10,7,5,则他命中的平均数 7.1 是_____. 2.某次数学试卷得分抽样中得到:90分的 有3个人,80分的有10人,70分的有5人,60分 的有2人,则这次抽样的平均分为_______. 77分

二、众数,中位数,平均数与频率分布直方图

的关系

频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

1 众数: 在频率分布直方图中,就是最高矩形 的中点的横坐标

思考:在城市居民月均用水量样本数据的频率分 布直方图中,从左至右各个小矩形的面积分别是 0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06, 0.04,0.02.由此估计总体的中位数是什么?
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
频率 组距

月均用水量/t

2 中位数 中位数左边和右边的直方图面积相等

思考:平均数是频率分布直方图的“重心”, 在城市居民月均用水量样本数据的频率分布 直方图中,各个小矩形的重心在哪里?从直 方图估计总体在各组数据内的平均数分别为 多少? 频率
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 组距

0.25,0.75,1.25,1.75,2.25, 2.75,3.25,3.75,4.25.

月均用水量/t

3 平均数 平均数的估计值等于每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和

0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75 ×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02(t). 平均数是2.02. 平均数与中位数相等,是必然还是巧合?

思考:从居民月均用水量样本数据可知,该 样本的众数是2.3,中位数是2.0,平均数是 1.973,这与我们从样本频率分布直方图得出 的结论有偏差,你能解释一下原因吗? 频率分布直方图损失了一些样本数据,得 到的是一个估计值,且所得估值与数据分组 有关. 注:在只有样本频率分布直方图的情况下,我 们可以按上述方法估计众数、中位数和平均 数,并由此估计总体特征.

三 三种数字的优缺点 1 众数 体现了样本数据的最大集中点,但它对其 他数据信息的忽视使得无法可观地反应总体特征

2 中位数 是样本数据的所占频率的等分线,它不 受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点, 但它对极端值的忽视,有时也会成为缺点

3 平均数 由于平均数与每一个样本数据有关,所 以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变, 这是众数,中位数不具有的性质,因此,平均数受 数据中极端值影响较大,使平均数在估计中时可靠 性降低

知识探究(二):标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算, 不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数 据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息, 但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平 均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时,使 用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置, 可能与实际情况产生较大的误差,难以反映样本 数据的实际状况,因此,我们需要一个统计数字 刻画样本数据的离散程度.

x甲 ? 7,

x甲 ? 7,

思考1:在一次射击选拔赛中,甲、乙 两名运动员各射击10次,每次命中的环 数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分 别为多少环?
x乙 ? 7

x乙 ? 7

x甲 ? 7,

x乙 ? 7

思考2:甲、乙两人射击的平均成绩相等,观 察两人成绩的频率分布条形图,你能说明其 水平差异在那里吗?
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O

(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1 O

频率

(乙)

4 5 6 7 8 9 10 环数

4 5 6 7 8 9 10 环数

甲的成绩比较分散,极差较大,乙的 成绩相对集中,比较稳定.

思考3:对于样本数据x1,x2,?,xn, 设想通过各数据到其平均数的平均距离 来反映样本数据的分散程度,那么这个 平均距离如何计算?

| x1 - x | + | x 2 - x | + L + | xn - x | n

思考4:反映样本数据的分散程度的大小,最 常用的统计量是标准差,一般用s表示.假设 样本数据x1,x2,?,xn的平均数为,则标准 差的计算公式是:

( x 1 - x ) + ( x 2 - x ) + L + (x n - x ) s= n

2

2

2

那么标准差的取值范围是什么?标准差为 0的样本数据有何特点? s≥0,标准差为0的样本数据都相等.

知识迁移
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的 标准差,比较其射击水平的稳定性. 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 s甲=2,s乙=1.095.

小结作业
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征, 是指用样本的众数、中位数、平均数和标准 差等统计数据,估计总体相应的统计数据. 2.平均数对数据有“取齐”的作用,代表一 组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕 平均数波动的幅度.在实际应用中,我们常综 合样本的多个统计数据,对总体进行估计, 为解决问题作出决策.

作业:P100 A组:1,2,7.


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