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高一数学(实验体系)期中答题卡


2011 年深圳市第二届“启智杯”数学思维能力竞赛 初中组试题参考答案及评分标准
考试时间:2011 年 12 月 3 日(周六) 下午 15∶00—17∶00 说明:请将答案或解答过程直接写在各题的填空处.本卷共 13 题,每题 10 分,满分 130 分.

1. 观察下列代数式: 尽可能多地写出它们的共同特点. (1) x2 ? 2 x ? 2

; (2) 2 x 2 ? 3x ? 2 ; (3) x 2 ? 3x ? 3 ;(4) 5 x 2 ? 8 x ? 4 . 答案: 都是三项式; 系数和都是 1; 二次项系数都是正数,一次项系数都是负数;常数 项都是正数;都是整式. 注:写出一个给 3 分,写出两个给 6 分,写出三个给 9 分,写出四个以上给 10 分。 2.已知:? + Δ = □ ? = Δ + ? □ + □ = ? + ? + ? 那么一个?等于____个 Δ . 答案: ?=5Δ 。 3.我们知道在十进制加法中,逢十进一,如 9+8=17,也可写成 9(10) ? 8(10) ? 17(10) ;在 四 进 制 加 法 中 , 逢 四 进 一 , 如 3( 4) ? 2( 4) ? 11( 4) , 那 么 在 n 进 制 中 有 等 式

55( n) ? 43( n) ? 142( n) ,则 n ?
. 答案: 6.

4.把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上,使得四个啤酒瓶底中 心的距离两两相等.请写出摆法关键步骤(可画图辅助说 明): . 解答:先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形” 的位置,再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心 P 的位置, 保持中心 P 的位置不变, 适当移动三个底朝下的 空啤酒瓶,放大或缩小“正三角形” ,可使瓶底中心构成 四个边长相等的“正三角形”如图. 注:答案不唯一,如果学生表述不到位,但只要给出方法 存在实现可能性,即算全对.

5.所有分母大于 2006 不超过 2011 的真分数的和等于______. 答案: 5020。 解析:分组计算
1 2 3 2006 1 ? ? ?? ? ? ? 2006 2007 2007 2007 2007 2 …….. 1 2 3 2010 1 ? ? ?? ? ? ? 2010 2011 2011 2011 2011 2

1 总和 (2006 ? 2007 ? 2008 ? 2009 ? 2010) ? 5020 。 2

6.自然数 1,2,3,?,按下表规律排列.横排为行,记数据 1,2,3,4 的那一行为 第一行,依次记下面的各行为分别是第 2 行,第 3 行,?.试问 2011 位于该表的第 行,并对应于“启智杯竞赛有趣”中的汉字: . 启 1 8 14 15 ? ? 16 ? 智 7 9 13 ? 17 ? 杯 2 竞 6 10 12 ? 18 ? 赛 3 有 5 11 趣 4

答案:575;杯. 解析:因为表中每两行有 7 个数字,2011 被 7 除得商 287(为奇数) ,余数 2,所以 2011

在 287 ? 2 ? 1 ? 575 行,第三列,对应“杯”字. 注:每空 5 分. 7.一半径为 1 的圆作滚动运动(如图) ,它从 A 位置开始,滚过与它半径相同的其它 六个圆的上部,到达 B 位置,则该圆圆心行使的路程为 . (用分数表示)

? A

?

?

?

?

?

?

? B

1 1 16 答案: 2 ? ? 2? ? 2 ? 4 ? ? 2? ? 2 ? ? . 3 6 3

8.在“非常 6+1”的现场,台上有标号 1、2、3、4 四个悬挂着的金蛋,其中两个里 面分别是价值 2000 元手机, 另外两个里面分别是价值 3500 元的笔记本电脑和价值 500 元的移动硬盘,一位幸运观众上台抽奖,他选择了 1 号金蛋,但主持人在准备砸蛋时, 不小心碰碎了 2 号金蛋,发现是手机,于是,主持人做出了一个决定:给这位幸运观

众一个重新选择的机会,如果你是这位幸运观众,你是继续选 1 号还是选其他号金蛋 以获取最大的奖励,说明你选择的理由. 答案:应该变,这样你获取最大的奖励的概率会由四分之一提高一到八分之三。 开始,你选择四个鸡蛋中任意一个的可能性是一样的,均为四分之一,即选到电脑的可 能性是四分之一。但到了第二阶段,根据你是否改变选择,情况变成了下图情况,显 然,改变初始选择后,出现八种情况,其中三种情况抽到电脑,即抽到电脑的可能变 成八分之三。
硬盘 电脑 变 不变 变 不变 手机 硬盘 变 不变 变 不变 手机 电脑 电脑 硬盘 手机 电脑 硬盘 手机 手机 电脑 硬盘

手机

注:指出变的学生给 5 分,能从可能性或概率角度解释原因可给 8 分。从可能性或概 率大小变化角度定量正确解释给 10 分。 9.我们知道等腰直角三角形就是有两条边相等的直角三角形 .如图,能否 把一个边长为 7 的正方形纸片裁成 7 个等腰直角三角形纸片, 其中任意两个 三角形都不相同?(经过平移、旋转、翻折后可以重叠的视为相同的三角 形),请在所给图中画出裁剪方法. 答案:能,如图所示(答案不唯一)。

注;判断正确给 4 分,正确画出裁剪方式给 10 分。注意答案可能不唯一。
1 2 4

10.密码的使用对现代社会是极其重要的.有一种密码的明文(真实文) ,其中的字母 按计算机键盘顺序与 26 个自然数 1,2,3,?,25,26 对应(见下表), 设明文的任 一字母对应的自然数为 x , 通过某种规定的对应运算把 x 转化成对应的自然数 x? ,x? 对 应的字母为密文.

Q 1 F 14

W 2 G 15

E 3 H 16

R 4 J 17

T 5 K 18

Y 6 L 19

U 7 Z 20

I 8 X 21

O 9 C 22

P 10 V 23

A 11 B 24

S 12 N 25

D 13 M 26

例如,有一种译码方法按照以下变换实现:
x ? x? ,其中 x? 是 (3x ? 2) 被 26 除所得的余数与 1 之和 (1 ? x ? 26) .

则 x ? 1 时, x? ? 6 ,即明文 Q 译为密文 Y; x ? 10 时, x? ? 7 ,即明文 P 译为密文 U. 现有某种变换,将明文字母对应的自然数 x 变换为密文字母相应的自然数 x? :
x ? x? , x? 为 (3x ? m) 被 26 除所得余数与 1 之和 (1 ? x ? 26, 1 ? m ? 26) .

已知运用此变换,明文 H 译为密文 T,则密文 QI(启的汉语拼音)的明文是字母 是 . 答案:YJ 解答: 由于 H 和 T 对应的数字分别为 16 和 5, 按照明密文变换的规则可知:(3 ? 16 ? m) 被 26 除所得余数与 1 之和为 5,所以 3 ? 16 ? m ? 52 ? 4, m ? 52 ? 4 ? 48 ? 8 .因此该变换 将明文字母对应的自然数 x 变换为密文字母相应的自然数 x? 的规则是:x? 为 ?3x ? 8? 被 26 除所得余数与 1 之和。 因为密文 Q 对应于 x? =1,设其明文对应的数字为 x,则 x 满足 ?3x ? 8? 被 26 除所得余 数为 0,x = 6,对应的字母为 Y。 因为密文 I 对应于 x? = 8,设其明文对应的数字为 x,则 x 满足 ?3x ? 8? 被 26 除所得余 数为 7,即 ? 3x ? 1? 被 26 整除,得 x = 17,对应的字母为 J。 因此,密文 QI 对应的明文是 YJ。

11.一个边长为 5 厘米的正方体,它是由 125 个边长为 1 厘米的小正 方体组成的.P 为上底面 ABCD 的中心,如果挖去(如图)的阴影部分的 四棱锥, 剩下的部分还包括 个完整的棱长是 1 厘米的小正方体. 答案:56. 解析: 剩下的部分: 从上往下, 第一层有 25-1=24 个;第二层有 25-9=16 个;第三层有 25-9=16 个;第四层、第五层有 0 个,故共有 56 个完整 的棱长是 1 厘米的小正方体.

12.深圳世界大学生运动会大型团体操排练时,各排都有 240 名队员面向主席台站好, 指挥发出指令:第一步,各排自左向右按 1、2、3、4、5、?、240 报数;第二步:报数 是 3 的倍数者向后转;第三步,报数是 5 的倍数者向后转;第四步,报数是 7 的倍数者 向后转 . 做完这一系列动作后,各排面对主席台自左至右第 61 位队员所报的数

是 答案:106.



解析:用 ? x ? 表示 x 的整数部分,则

240 ? 3 ? 80,240 ? 5 ? 48, ?240 ? 7? ? 34 240 ?15 ? 16, ?240 ? 21? ? 11, ?240 ? 35? ? 6, ?240 ?105? ? 2 ,
此时面对主席台的队员人数为 240 ? (80 ? 48 ? 34) ? 2(16 ? 11 ? 6) ? 4 ? 2 ? 136 ;



同理可以计算出自左至右第 1 位至第 105 位队员中,面对主席台的队员人数有 60 名, 因为所报数字不是 3、5、7 的倍数的队员没有转动,所报数字是 3、5、7 中两个数字 的倍数的队员转动两次也面对主席台,其余转动 1 次或 3 次,一定背对主席台,因此 从 106 开始考虑符合条件的队员所报数字:应该是 106、107、109、113、116、118、 120、?,因此,第 61 位队员所报数字是 106. 13.下面是一个除法竖式,请把它补充完整 . □ □ □ □ □ □ □ 7 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

□□□ □ □ □ □ □ □ □ □ □

□ □ □ □ □ □ □ □ 0 9
7

答案:补充竖式: 8 3 0 1 9 6

1

2 4

1 1

2 1

1 1 9 8 1

27 8 6 6 6 0 9 8 8 0 9 1 1

3 2 1 1 1 1 6 6

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