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等比数列中不容忽视的一点


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3小时) ( .  

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注 :这里 , 充分 跨 跃 “ 知太 多 ” 门坎 , 整 体 上 把 握 所 求 的 数 量 关 系 , 这 些  未 的 从 在 数量 关 系 中 见到 未 知就 设 元 当作 已知 , 容 易找 到 解决 问题 的 思路 了 . 就  

总之 , 象上 面这样 , 量 将 题 目中 的 “ 知 ” 字 母 代 表 “ 知 ” 再 利 用 这 些 “ 尽 不 用 已 , 已  知” 和题 中的 已 知条 件 建立 起 相 关 的关 系式 ( 数式 、 代 方程 式 、 程 组 、 等式 、 方 不 函数 式 
等 ) 既使 不用 求 出这些 字 母 的值 , 会 找 到解 决 问题 的途 径 . , 也  

口  山 东省 邹平 县教委 教研 室

姜坤 崇 

设 s  是 公 比为 q的等 比数 列 {  的前  项 和 , 当 q= 一1且 Y为 偶 数 时 ,   n} 则 / s


0 此 时 它 ( 其某 些 组合 ) 能 作 为 一 个新 的等 比数 列 中的 一 项 . , 或 不 在解 题 中若 忽 视 

了这 一 点 , 容 易 导致 错 误 的结 论 . 就  

例 1 已知 数 列 {  是等 比数 列 ,  是其 前 Y项 的和 , 证 s , l一s , 2— n} s / 求 7 s4 7s I   sl 等 比数 列 . k  , 4 成 设 ∈N 问  , 2   , 3 s 一 s 一s  等 比数 列吗 ? 2成   这 是全 日制普 通 高 级 中学 教科 书 ( 验修 订 本 ? 试 必修 ) 学 第 一册 ( ) 13页  数 上 第 3
上 的 一道 练 习题 . 配套 的 教师 教 学用 书 中 , 在 当给 出 了 S , 1 一S , 2 一S 4 等 比  7 S4 7 S 1 l 成 数 列 的证 明 之后 写道 : 可类 似 证 明  , 2   , 3 S  等 比 数 列 .  , 2   “ S  一 S  一 2 成 ” S  一


S   2果 真 成等 比数 列 吗 ? 否 !事 实 上 , 3 一S   当公 比 q= ~1且 k为 偶 数 时 , ,    

S  一 , 3 一S   为零 , 2   S   2均 显然 它们 不 成 等 比数 列 . 使 所 给 三项 成 等 比数 列 , 将  要 须 条件 限定为 : 比 口 一1 或 q= 一1且 k为奇 数 . 公 ≠ ,  

例 2 已知 数 列 {  是 等 比数 列 ,  是其 前  项 的 和 , n} S 若  ,  2, +   ,  n     ( k
∈N 成 等 差 数 列 , 2 k S   S  一S    ) 问 S , 2, 4 2是否 成 等 比数 列 ? 若 是 , 给 出证 明 ; 不  试 若 是, 说明理由. 请  

解 : 等 比数 列 {  的 公 比为 q 由  , +   +成 等 差 数 列 , 得  设 n} ,   2,   可
2  + k n a 2 =  +n  , 即 2 1”  +   a q  = n  一 1  +Ⅱ  1 .  

上式 两 边 同除 以 n  l ( )当 口 1 ≠1时 ,  

得 , q =1   . 是  2  + 于

2c-k 半  [ q 。— )  S S= 4 2  k        —   )lq (  1 卜

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i  

i: 二  !    
( 一q   1 )


二     i: ±  ! 一  !    
一   ( 一q  1 )

二 :    

;1   )( 一 ) (+  1   

q  :( 2) ) S   

qk 2)  

( ) q:1 , S =2 als 女 k l S 女 2 =2 al同样 有 2 女 s 女 2当 时 2 女 k , 2 =2 a , 4 一S   k ’ S ( 4 一s    2)


( 2) . S    

综 上 ,s , 2, 4一s 女 等 比数列 . 2   s 女s 女 2成   剖析 :以 上解 答 看似 天 衣无 缝 、 懈 可 击 , 际上 却 是错 误 的 !错 因也 是 忽 视 对  无 实
公 比 q= 一1的讨论 . 实 上 , 事 当公 比 q= 一l且 k为偶 数 时 ,  =Ⅱ 2 Ⅱ    =口   S  不成 等 比数 列 . 此本 题 的答 案 是 否定 的 . 因   , 显  然 Ⅱ Ⅱ 2 ,  女 等 差 数 列 , 2 女 S 女 4 一S 女 , 时 2 女 S 女 s 女      + k Ⅱ 成 但 S = 2 =S 女 2 =0 此 s , 2, 4 一

澄麓 筐域 匈 楚剧 挎 画泌 嬲      砥  
口  山东省平 邑县 实验 中学  赵 怀 季  杜 磊 
“ 域”“ 围” 值 、范 是代 数 运算 中 出现频 率 较 高 的两 个 名 词 , 它们 既 有 联 系又 有 本 质  的 区别 .值 域 ” “ 是所 有 函数 值 的集 合 , 合 中 的元 素与 函 数 值 具 有 一 一 对 应 的关 系 . 集   “ 围” 常 是 指某 个 数 或 某个 代 数式 在 数 量 上 的特 征 , 数 和 该 代 数 式 的值 一定 具  范 通 该 有“ 围” 描 述 的 数量 特 征 , 范 所 但反 之 未必 成 立 , 因此 ,值 域 ” 定 是 “ 围 ” 但 “ 围” “ 一 范 , 范  

不一 定 为 “ 域 ”如 果把 二者 混 同 , 会 出现 错 误 结 论 . 面 具 体 谈 谈 常 见 的错 误 情  值 . 就 下
形.  

1 误 把“ . 值域 ” 范 围” 用  当“ 应

例 1 若 函数 Y=l 。  +, 一m) 口>0 口 1 的 值域 为 R, 实 数  的 取  o ( g 村 ( ,≠ ) 求
值范围.  

错 解 : “= +, 一 , Y=l 。 因为 函数 Y=l 。 设   村   则 o “, g o “的 值 域 为 R, 以 “ g 所   = +, 一 恒 为正 值 ,   村   由此得 △:   +4 <0 解 得 一4   <0    , < . 辨析 :在 上述 解 法 中 , “ 把 值域 ” R理解 成 了“ 围 ”   因 而 导致 结论 错 误 . 为 范 yE R,  

事 上“ + 一 (十 ) 盟 ≥ 盟 ,一< 0 , 实 , z,  = 号    = 村   一 一  当 4  < 时  
一  

>0 “只 能 取某 些 正数 , 能取 所 有正 数 , , 不 因此其 值 域 不 是 R.  

正 解 : : 2 ,   :   )一 确 法1 设   +村一 (+   华
一  

, 小 为 其最 值  



因 为 函 数  的 值 域 为 R的 充 要 条 件 为 “的 最 小 值 不 大 于 零 , 以  所

20 0 2年第 1— 2期 一 一  


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