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2015年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷


2015 年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设 a ?

??
24 i ?1

i ,其中 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,集合 A ? x x ? N且x整除a ,,则 A 中

?

?

?

>
元素的个数是 A.4 B.6

C.8

D.12

2. 若 ?ABC 的 三 边 a, b, c 成 等 比 数 列 , 边 a, b, c 的 所 对 的 角 依 次 为 A, B, C 且

sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1 ,则角 B 为 ? ? ? 2? A. B. C. D. 4 3 2 3
3.已知函数 f ? x ? ? x ? 53 x ? 196 ? x ? 53 x ? 196 ,则 f ?1? ? f ?2 ? ? ... ? f ?50 ? ?
2 2

A.660

B.664

C.668

D.672

4.已知数列 ?an ? 是由正整数组成的递增数列,且 an ? 2 ? an ?1 ? 2an ?n ? N ? ,若 a5 ? 52 ,,则

a7 ?
A.102 B.152 C.212 D.272

5.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA1 ? 1 ,AD ? 2 , 则异面直线 A1 D 与 B1 D1 的距离为 A.1 B.

1 2

C.

2 3

D.

3 2

F

E

6. 如图, M , N 分别为正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 、

CE 的内分点 , 且

??
3 3
1 3

AM CN A ? ? ? ,若 B, M , N 三点共线 , 则 AC CE
B

N M C

D

A.

B.

C.

2 2

D.

1 2

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.已知复数 z ? a ? i ?a ? R ? 在复平面内对应的点在第二象限,且 z ?1 ? i ? ? 2 ,则实数 a 的取 值范围是_______. 8.若实数 a, b 满足 a ? lg a ? 10 , b ? 10 ? 10 ,则 lg?a ? b ? ? _______.
b

9. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ?

1 ,且对任意正整数 m, n 都有 am ? an ? am an ,若 5

S n ? a 对任意 n ? N 恒成立,则实数 a 的最小值为_______.
10.立方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M , N 分别在线段 AB , BB1 上(不包括线段的端点),并且

AM ? B1 N ,则 A1M 与 C1 N 所成角的取值范围是_______.
1 1 1 , , ,其中 a, b, c 都是小于 10 a b c 7 的正整数.现甲乙丙同时独立解答此题,若三人中恰有一人解出此题的概率为 , 则甲乙丙三 15
11.一道数学竞赛题,甲,乙, 丙单独解出此题的概率分别为 人都未解出此题的概率为_______. 12.设 F1 , F2 为椭圆 C 的两个焦点,若 AB 为椭圆一条过点 F2 的弦,且在 ?F1 AB 中, F1 A ? 3 ,

AB ? 4 , BF1 ? 5 ,则 tan ?F2 F1 B ? _______.
三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13.(本小题满分 20 分)设实数 a, b, ? ,满足 0 ? a ? b , 0 ? ? ? 1 。 (1)证明: ln a ? 1 ?

a ln a ? b ln b ? ln b ? 1 ; a ?b

(2)证明 ??a ? ?1 ? ? ?b ?ln??a ? ?1 ? ? ?b ? ? ?a ln a ? ?1 ? ? ?b ln b 。 14.(本小题满分 20 分)如图,直角三角形 ABC 外接圆圆心为 O, ?C ? 90? ,过 C 作 AB 的垂 ⌒ ⌒ 线,垂足为 D,作圆 O1 分别切弧BC,边 CD,DB 于 E,F,G,同样作圆 O2 与弧AC,边 CD,DA 相切, 设圆 O1 半径为 r1 ,圆 O2 半径为 r2 ,△ABC 内切圆半径为 r ,证明: r ? C

1 ?r1 ? r2 ? . 2

O2 A

F O1 O D G

E B

15. (本小题满分 25 分)已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 ,关于 x 的方程 x ? an ?1 cos x ? 2an ?1 ? 0 有唯
2

一解. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? ?1 ?

? ?

? 1 ? n ,求证: bn ? 3 . log 2 ?an ? 1??

(3)设 cn ? n an ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 S n .
2

16. (本小题满分 25 分)双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 的左右两个焦点分别为 F1 , F2 ,P 为双曲线上一 4 5

动点,且在第一象限内,已知 ?PF1 F2 的重心为 G,内心为 I. (1)问是否存在点 P,使得 IG // F1 F2 ?若存在,求出点 P;若不存在,请说明理由; (2)设 A 为双曲线 C 的左顶点,直线 L 过右焦点 F2 与双曲线 C 交于 M,N 两点,若 AM,AN 的 斜率 k1 , k 2 ,且 k1 ? k 2 ?

1 ,求直线 L 的方程. 2


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