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广西南宁三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


广西南宁三中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 2 1.设集合 S={x|x>﹣2},T={x|x +3x﹣4≤0},则(?RS)∪T=( ) A. (﹣2,1] B. (﹣∞,﹣4] C. (﹣∞,1] D. 点评:本题考查由

三视图还原几何体的直观图,解题时要注意,本题要求组合体的表面积,注 意有一部分面积在两个图形拼接时去掉了,注意运算时不要忽略.

6.有两个等差数列{an},{bn},它们的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 A. B. C. D.

=

,则

=(

)

考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质把要求的比值, 通过等差数列的求和公式转化为它们前 n 项和的比值, 代公式即可得答案. 解答: 解:在等差数列中,S2n﹣1=(2n﹣1)an,





故选:A. 点评:本题考查等差数列的性质与求和公式,准确转化是解决问题的关键,属中档题. 7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是( )

A.﹣1

B.

C.

D.4

考点:循环结构. 专题:计算题. 分析:直接利用循环结构,计算循环各个变量的值,当 i=9<9,不满足判断框的条件,退出 循环输出结果即可. 解答: 解:第 1 次判断后循环,S=﹣1,i=2, 第 2 次判断后循环,S= ,i=3, 第 3 次判断后循环,S= ,i=4, 第 4 次判断后循环,S=4,i=5, 第 5 次判断后循环,S=﹣1,i=6, 第 6 次判断后循环,S= ,i=7, 第 7 次判断后循环,S= ,i=8, 第 8 次判断后循环,S=4,i=9, 第 9 次判断不满足 9<8,推出循环,输出 4. 故选 D.

点评:本题考查循环框图的作用,正确计算循环变量的数值,是解题的关键,考查计算能力. 8.已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D.
2

考点:直线与圆锥曲线的关系;点到直线的距离公式. 专题:计算题. 分析:先确定 x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线,再由抛物线的定义得到 P 到 l2 的距离等于 P 到 2 抛物线的焦点 F(l2,0)的距离,进而转化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(l2, 0)和直线 l2 的距离之和最小,再由点到线的距离公式可得到距离的最小值. 2 解答: 解:直线 l2:x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离, 2 故本题化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(l2,0)和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(l2,0)到直线 l2:4x﹣3y+6=0 的距离, 即 d= ,
2

故选 A. 点评:本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,考查基础知识的综合应用.圆锥曲线是 2015 届高考的热点也是难点问题,一定要强化复习. 9.若函数 y=f(x)+cosx 在 A.1 B.cosx 上单调递减,则 f(x)可以是( C.﹣sinx D.sinx )

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析:由三角函数的单调性,代入选项,化简后可得单调性,进而可得答案.

解答: 解:代入验证:A,y=1+cosx 在 故错误; B,y=2cosx 在 C,y=﹣sinx+cosx= 故函数在 D,y=sinx+cosx= 故函数在 上单调递增, cos(x+ ) ,由 x+

上单调递增,

上单调递减,

上单调递减,故错误; ∈,可得 x∈ ,

上单调递减,故正确; cos(x﹣ ) ,由 x﹣ ∈,可得 x∈ ,

上单调递减,故错误.

故选 C 点评:本题考查三角函数的单调性,涉及三角函数公式的应用,属基础题. 10.如图,正方形街道 OABC,已知小白从 A 出发,沿着正方形边缘 A﹣B﹣C 匀速走动,小 白与 O 连线扫过的正方形内阴影部分面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的大致图象是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:常规题型;函数的性质及应用. 分析:利用面积公式,确定是一次函数即可. 解答: 解:设小白速度为 v,则在 OB 段时,t 时刻的面积 故图象为线段,同理,BC 段也是线段. 故选:A. 点评:本题考查了函数的图象的特征,属于基础题. ,面积成匀速变化,

11.设 F1,F2 是双曲线

的两个焦点,P 是 C 上一点,若 )

|PF1|+|PF2|=6a,且△ PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|,|PF2|,进而确定最小内角,再利用余弦定理和 离心率计算公式即可得出. 解答: 解:不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a. 则∠PF1F2 是△ PF1F2 的最小内角为 30°,∴ , ∴(2a) =(4a) +(2c) ﹣ 化为 =0,解得 .
2 2 2





故选 C. 点评:熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键. 12.小白散步后不慎走丢了,家里很着急,小新和阿呆等 6 人分配到 A,B,C 三条街道中寻 找,每条街道至少安排 1 人,其中小新和阿呆同组,且小新不能分配到 A 街道,则不同的分 配方案有( )种. A.132 B.150 C.80 D.100 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:排列组合. 分析:由题意小新和阿呆同组,可将他们看成 1 个单位,故总体个数为 5,则可分为 3﹣1﹣1, 2﹣2﹣1 两种情况,小新和阿呆分到哪一组都概率一样,根据据分类计数原理求得答案. 解答: 解:小新和阿呆同组,可将他们看成 1 个单位,故总体个数为 5,则可分为 3﹣1﹣1, 2﹣2﹣1 两种情况, 小新和阿呆分到哪一组都概率一样,小新不能分配到 A 街道, 第一种情况,有 ? =40 种,

第二种情况,有 ?

=60 种,

根据分类计数原理得,不同的分配方案有 40+60=100 种. 故选:D.

点评:本题主要考查了分组分配的问题,小新不能分配到 A 街道,利用概率解答方便快捷, 属于基础题. 二、填空题:本大题共四小题,每题 5 分. 13.在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P,则△ PBC 的面积小于 的概率是 .

考点:几何概型. 专题:计算题. 分析:根据△ PBC 的面积小于 S 时,可得点 P 所在区域的面积为矩形面积的一半,从而可求 相应概率. 解答: 解:设 P 到 BC 的距离为 h ∵矩形 ABCD 的面积为 S, ∴△PBC 的面积小于 S 时,h≤ BC ∴点 P 所在区域的面积为矩形面积的一半, ∴△PBC 的面积小于 S 的概率是 故答案为: 点评:本题考查几何概型,解题的关键是根据△ PBC 的面积小于 S 时,确定点 P 所在区域的 面积为矩形面积的一半 14.如图,在△ ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长 为 .

考点:余弦定理. 专题:综合题. 分析: 先根据余弦定理求出∠ADC 的值, 即可得到∠ADB 的值, 最后根据正弦定理可得答案. 解答: 解:在△ ADC 中,AD=5,AC=7,DC=3, 由余弦定理得 cos∠ADC= =﹣ ,

∴∠ADC=120°,∠ADB=60° 在△ ABD 中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,

由正弦定理得 ∴AB= 故答案为: .



点评: 本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用, 在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和 余弦定理.属基础题.

15.在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域内的面

积等于 2,则 a=3. 考点:简单线性规划.

分析:先根据约束条件

(a 为常数) ,画出可行域,求出可行域顶点的坐标,再

利用几何意义求关于面积的等式求出 a 值即可. 解答: 解:当 a<0 时,不等式组所表示的平面区域, 如图中的 M,一个无限的角形区域,面积不可能为 2, 故只能 a≥0, 此时不等式组所表示的平面区域如图中的 N,区域为三角形区域, 若这个三角形的面积为 2, 则 AB=4,即点 B 的坐标为(1,4) , 代入 y=ax+1 得 a=3. 故答案为:3.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思想, 属中档题.

16.已知函数 f(x)= 值范围是

则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时,实数 a 的取

(2)求二面角 A﹣PB﹣E 的大小.

考点:二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连结 PD,由已知得 PD⊥AB,BC⊥AB,DE⊥AB,由此能证明 AB⊥PE. (2)由已知得 PD⊥AB,PD⊥平面 ABC,DE⊥PD,ED⊥AB,从而 DE⊥平面 PAB,过 D 做 DF 垂直 PB 与 F,连接 EF,则 EF⊥PB,∠DFE 为所求二面角的平面角,由此能求出二面 角的 A﹣PB﹣E 大小. 解答: (1)证明:连结 PD,∵PA=PB,∴PD⊥AB. ∵DE∥BC,BC⊥AB,DE⊥AB. 又∵PD∩DE=E,∴AB⊥平面 PDE, ∵PE?平面 PDE,∴AB⊥PE. (2)解:∵平面 PAB⊥平面 ABC, 平面 PAB∩平面 ABC=AB,PD⊥AB,PD⊥平面 ABC. 则 DE⊥PD,又 ED⊥AB,PD∩平面 AB=D, DE⊥平面 PAB, 过 D 做 DF 垂直 PB 与 F,连接 EF,则 EF⊥PB, ∴∠DFE 为所求二面角的平面角 ∴DE= ,DF= ,则 ,

故二面角的 A﹣PB﹣E 大小为 60°.

点评:本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题,注意空 间思维能力的培养.

20.已知椭圆 C 方程为

+

=1,已知 P(2,3) 、Q(2,﹣3)是椭圆上的两点,A,B 是

椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点.

(1)若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; (2)当 A、B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y= x+t,代入 得到二次方程,运用韦达定理,再由四边形 APBQ 的面积 S= + =1 中整理

|PQ|×|x1﹣x2|,即可得到最大

值; (2)当∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为 ﹣k,将 PA、PB 的直线方程分别代入椭圆方程,然后运用韦达定理,求出 x1,x2,再由而 kAB= 化简即可得到定值.

解答: 解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y= x+t,
2 2

代入

+

=1 中整理得 x +tx+t ﹣12=0,
2

△ >0?﹣4<t<4,x1+x2=﹣t,x1x2=t ﹣12, 则四边形 APBQ 的面积 S= 6×|x1﹣x2|=3 , |PQ|×|x1﹣x2|=

故当 t=0 时 Smax=12 ; (2)当∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0, 设直线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为﹣k, PA 的直线方程为 y﹣3=k(x﹣2) ,代入
2 2

+

=1
2

中整理得(3+4k )x +8(3﹣2k)kx+4(3﹣2k) ﹣48=0, 2+x1= ,

同理 2+x2=

,x1+x2=

,x1﹣x2=



从而 kAB=

=

= ,即直线 AB 的斜率为定值.

点评:本题考查椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数,得到二次方程,运用韦达定理求 解,考查基本的运算能力,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=2x﹣3 (1)证明:f(x)>g(x) ; (2)证明: (1+1×2) (1+2×3)…(1+2014×2015)>e
2×2014﹣3



考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)构造函数 F(x)=f(x)﹣g(x) ,利用导数求出函数的最小值为 3﹣e,问题得证. (2)由题意得得 ,令 x=1+n(n+1) ,利用放缩法加以证明.

解答: 证明: (1)令 F(x)=f(x)﹣g(x)=xlnx﹣2x+3, (x>0) ∴F'(x)=lnx+1﹣2=lnx﹣1, 令 F'(x)=0,解得 x=e, ∴x∈(0,e) ,F'(x)<0, x∈(e,+∞) ,F'(x)>0, ∴当 x=e 时函数 F(x)有最小值,即为 F(e)=elne﹣2e+3=3﹣e>0, 故 f(x)>g(x) . (2)由(1)xlnx>2x﹣3, 得 令 x=1+n(n+1) , 故 ∴ , ,

= 即 ln>2×2014﹣3

则(1+1×2) (1+2×3)…(1+2014×2015)>e 成立. 故问题得以证明. 点评:本题主要考查了导数以函数的最值的关系,以及利用放缩法证明不等式成立的问题,属 于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 22.已知 a,b,c∈R ,a+b+c=
+

2×2014﹣3

,求证:a +b +c ≥1.

2

2

2

考点:不等式的证明. 专题:证明题;不等式的解法及应用. 分析:利用基本不等式、以及不等式的性质,证得要证的不等式. 解答: 证明:依题意得: (a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ac≤a +b +c +(a +b )+(b +c )+ 2 2 (a +c ) 2 2 2 =3(a +b +c ) . ∵a+b+c= , 2 2 2 ∴a +b +c ≥1. 点评:本题主要考查利用基本不等式、不等式的性质,利用综合法证明不等式,属于中档题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


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